基于證據理論和直覺模糊集的群決策信息集結方法

陳云翔,蔡忠義,張諍敏,項華春

(空軍工程大學裝備管理與安全工程學院,陜西西安710051)

基于證據理論和直覺模糊集的群決策信息集結方法

陳云翔,蔡忠義,張諍敏,項華春

(空軍工程大學裝備管理與安全工程學院,陜西西安710051)

針對多屬性群決策信息集結問題,利用D-S證據理論和直覺模糊集的相關方法,提出基于直覺模糊熵的屬性權重確定方法,并將專家對屬性的直覺模糊評價信息轉化為Mass函數形式,將專家關于方案集的多屬性證據信息進行了修正和合成;為了便于度量任意兩個專家之間評價證據的沖突程度,提出基于證據沖突度的專家權重確定方法,并將所有專家關于方案集的證據信息進行修正和綜合集成。結合算例驗證了方法的有效性和合理性。

多屬性群決策;D-S證據合成;直覺模糊熵;證據沖突度

0 引 言

證據理論是Dempster[1]于1967年提出,后經他的學生Shafer[2]進行了推廣和完善,故又稱為Dempster-shafer理論(簡稱D-S證據理論)。D-S證據理論不需要先驗概率和條件概率密度,僅依靠各種證據的積累便可不斷縮小假設集。作為一種不確定性推理方法,D-S證據理論在不確定性的表示、量度和組合方面具有優勢,先后推廣應用于概率范圍和模糊集。

直覺模糊多屬性群決策問題是指通過對各方案屬性評價值的綜合以及各決策者給出的直覺模糊判斷信息的集結,從而對備選方案進行優選與排序的過程[3-5]。針對此類問題,國內外學者提出了許多信息集結方法,如基于直覺模糊的有序加權平均(intuitionistic fuzzy ordered weighted averaging,IFOWA)算子[67]、逼近于理想解的排序方法(technique for order preference by similarity to an ideal solution, TOPSIS)[89]、基于D-S證據合成的集結方法[1013]等;但D-S證據合成規則應用于沖突證據合成時會出現有悖常理的現象。如文獻[12]對專家給出的每個方案的屬性值和屬性權重未經修正就直接進行合成,因而忽視了這兩類證據之間的潛在沖突。

基于上述考慮,本文通過對各專家給出的直覺模糊信息進行充分挖掘,利用D-S證據合成方法,提出基于證據理論的直覺模糊多屬性群決策方法。首先介紹了證據理論和直覺模糊集的相關概念;然后提出了基于模糊熵的屬性權重確定方法,并對考慮了屬性權重的證據進行修正與合成;最后,采用融合了沖突系數和Jousselme距離的證據沖突度計算模型,求出了專家個體的權重值并對所有專家的評價證據信息進行修正和綜合集成。

1 預備知識

1.1 證據理論

定義1[12]對于某一問題,人們所能認識到的可能結果稱為對問題的假設。各個假設之間互斥且完備地描述了問題的所有可能,這些假設構成的集合Θ為識別框架。

定義2[12]如果集函數m:2Θ→[0,1]滿足下列公式:①m(?)=0,②∑A?Θm(A)=1,則稱函數m為Θ上的基本概率分配或Mass函數。m(A)表示分配給A本身的置信測度,即支持命題A本身發生的程度。若A?Θ,且m(A)＞0,則稱A為證據的焦元。所有焦元的集合稱為核。

定義3[12]設Θ為識別框架,集函數m:2Θ→[0,1]為識別框架Θ上的Mass函數,?A,B?Θ,則稱由Bel(A)所定義的函數Bel:2Θ→[0,1]為Θ上的信任函數。

定理1[12](D-S合成) 設Bel1,Bel2,…,Beln為同一識別框架Θ的信任函數,m1,m2,…,mn是其對應的Mass函數,則

其中

式中,“⊕”表示直和;k為證據沖突系數,1/(1-k)為歸一化因子。

1.2 直覺模糊集

定義4[3]若論域X上的兩個映射為μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1],使得x∈X|→μA(x)∈[0,1]和x∈X|→νA(x)∈[0,1]并滿足條件0≤μA(x)+νA(x)≤1,則稱μA和νA確定了論域X上的一個直覺模糊集A,可簡記為A= {〈x,μA(x),νA(x)〉|x∈X},分別稱μA(x)和νA(x)為元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度,稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為元素x屬于A的猶豫度。

論域X中的元素x屬于A的隸屬度與非隸屬度所組成的有序對〈μA(x),νA(x)〉稱為直覺模糊數,全體直覺模糊數的集合稱為直覺模糊集,其向量形式記為A:

定義5[3]對于任意zij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)都是直覺模糊數,則矩陣Z=(zij)m×n稱為直覺模糊矩陣。

根據證據理論中Mass函數定義,直覺模糊集向量A中的直覺模糊數可表示為識別框架Θ上Mass函數,則其Mass函數mA滿足以下條件:

直覺模糊集向量A中的直覺模糊數所構造出的公式(2)符合定義2中Mass函數所規定的條件。

2 屬性信息集結

2.1 問題描述

現有n個可行方案xj(j=1,2,…,n)組成方案集X= {x1,x2,…,xn},由K個專家Pk(k=1,2,…,K)組成一個決策群體對每個方案關于m個屬性oi(i=1,2,…,m)組成屬性集O={o1,o2,…,om}進行評價。

設專家Pk對方案xj關于屬性oi的評價值可表示為直覺模糊數,可得到專家Pk的直覺模糊集決策矩陣,即為

2.2 基于直覺模糊熵的屬性權重確定

對于直覺模糊數a=〈μA(x),νA(x)〉,可用直覺模糊熵[14-15]來度量所蘊含信息的不確定性程度,即表示為

對于任意直覺模糊數aij,由式(3)可計算出該直覺模糊數的熵值,記為eij。直覺模糊熵越小,說明該直覺模糊數所蘊含信息的不確定程度越小。

專家Pk關于屬性oi(i=1,2,…,m)的直覺模糊熵E為

專家Pk關于屬性oi的直覺模糊熵Eik為

專家Pk關于屬性oi的權重表示為

專家Pk關于屬性集的權重矩陣Wk表示為

2.3 考慮屬性權重的證據合成

已知專家Pk對屬性oi關于方案集評價的直覺模糊向量記為dki,即

根據證據理論,可將dki看作是一條證據,其Mass函數記為mki,可表示為

式中,mk(Θ)表示識別框架(即方案集)的不確定性程度。證據dki中的直覺模糊數所構造出的公式(7)符合定義2中Mass函數所規定的條件。

由于證據合成的前提是所有證據具有同等重要程度,而現實中的證據因具有一定噪聲而導致相互之間存在差異,并非同等重要。因此,在證據合成前需對參與合成的證據進行降噪和修正。

本文采用證據折扣算法[13],首先將專家Pk對屬性oi關于方案集的評價證據進行修正,即

其中

將專家Pk對屬性o1,o2,…,om關于方案集的修正后的Mass函數矩陣記為Mk,即

利用D-S合成公式,將專家Pk對所有屬性關于方案集修正后的評價證據進行合成,即

則專家Pk關于方案集的評價Mass函數向量記為mk,即

3 專家群決策信息集結

3.1 基于證據沖突度的專家權重確定

決策群中專家個體受自身專業背景的影響所做出的決策結果與其他專家的決策結果之間可能會存在差異和沖突,在專家賦權中應區別對待。例如,某專家提供的決策證據與其他專家之間差異較大,則該專家的意見被支持的程度應較小,賦予的權重也較小。因此,問題的核心在于如何科學確定各專家所給出的證據沖突程度。

目前常用方法有基于沖突系數的和基于Jousselme距離的證據沖突度量方法。但實踐表明,只是利用沖突系數或Jousselme距離來描述和表示證據沖突都是不完善的,前者表示證據合成時不相容焦元(交集為空集)結合產生的矛盾信息大小;后者表示證據間相容焦元Mass函數之間的差異,但這兩者具有一定的互補性。因此,本文提出融合了沖突系數和Jousselme距離的證據沖突計算模型[16]。

定義6[16](Jousselme距離) 設m1和m2是在識別框架Θ上的兩個Mass函數,則兩者之間距離可表示為

式中,m1和m2為Mass函數的向量形式的相

設群決策中方案集所構成的識別框架為Θ,專家Pk與Pl給出的證據之間沖突度記為cfkl,可表示為似性矩陣,其元素表示為

式中,kkl,dkl分別表示專家Pk與專家Pl提供的證據之間的沖突系數和Jousselme距離;θ為識別框架Θ上的任一假設,arg max(Bet Pm(θ))表示識別框架Θ上的最大支持

θ∈Θ假設。

由此可知,當專家Pk與專家Pl關于方案集的評價證據之間沖突最小時,cfkl=0;證據之間的沖突最大時,cfkl= 1。設專家Pk給出的評價證據被專家Pl的證據所支持程度記作spkl,則專家Pk的權重φk表示為

其中

則專家群權重矩陣Φ表示為

3.2 考慮專家權重的證據合成

同樣,在進行證據合成前需對專家P1,P2,…,PK關于方案集的評價證據進行修正,即

其中

同理,利用D-S合成公式,將專家P1,P2,…,PK修正后的證據進行合成,即可得到最終方案集的Mass函數向量記為m,即

4 算例分析

假設現有4個專家P1,P2,P3,P4組成一個決策群體,對某新型飛機機載設備的3個可靠性鑒定試驗方案xj(j= 1,2,3)進行選優。經過分析,選擇以下4個因素作為評估指標即屬性:方案可行性(o1)、方案經濟性(o2)、方案風險可承受性(o3)以及預期實施效果(o4)。運用專家咨詢法,可得各專家Pk(k=1,2,3,4)對于屬性集oi(i=1,2,3,4)的給出滿意度μikj與不滿意度νikj信息,具體數據見表1。

表1 專家對分配方案屬性的評估

由表1可以獲取專家Pk的直覺模糊集決策矩陣Dk;由式(5)和式(6)確定專家Pk關于屬性集O的權重矩陣Wk為

由式(7)～式(10)得到專家Pk關于方案集的評價Mass函數向量記為mk,即

由式(13)計算出兩兩專家之間關于方案集的評價證據的沖突度cfkl。

由式(14)和式(15)得到專家群權重矩陣Φ。

由式(16)和式(17)對專家P1,P2,…,PK關于方案集的評價證據進行修正,再運用D-S證據合成得到最終方案集的Mass函數向量記為m。

因此,可靠性鑒定試驗備選方案的優劣排序為x1＞x3＞x2,且x1為最滿意的方案。

5 結 論

針對直覺模糊信息環境下的多屬性群決策問題,在屬性權重和專家權重均未知的情況下,本文綜合運用D-S證據理論和直覺模糊集的相關概念,提出了基于模糊熵的屬性權重確定方法和基于證據沖突度的專家權重確定方法,分別對考慮了屬性權重和專家權重的相關證據進行修正與合成,從而實現了對專家群決策信息的綜合集成。結合算例驗證了方法的有效性和合理性,給出了備選方案的優劣排序。

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蔡忠義(1988-),通信作者,男,博士研究生,主要研究方向為裝備可靠性與系統工程。

E-mail:afeuczy@163.com

張諍敏(1964-),女,教授,碩士,主要研究方向為裝備系統工程。

E-mail:646297491@qq.com

項華春(1980-),男,副教授,博士,主要研究方向為裝備可靠性與系統工程。

E-mail:xhc09260926@163.com

Method for group decision-making information integration based on evidence theory and intuitionistic fuzzy set

CHEN Yun-xiang,CAI Zhong-yi,ZHANG Zheng-min,XIANG Hua-chun
(Equipment Management&Safety Engineering College,Air Force Engineering University,Xi’an 710051,China)

For information integration of multi-attribute group decision-making,the paper uses the Dempster-Shafer(D-S)evidence theory and relevant theories of the intuitionistic fuzzy set,puts forward a method for attribution-weight determination based on intuitionistic fuzzy entropy,turns the intuitionistic fuzzy evaluation information of the attribute into the Mass function form,and modifies and synthesizes the multi-attribute of the expert group towards the project set.In order to get the conflict degree of two experts’evaluation evidence,the paper puts forward a method for expert-weight determination based on the evidence conflict degree,and modifies and integrates the evidence information of all experts towards the project set.An example is used to verify the effectiveness and rationality of this method.

group decision-making of multi-attribute;D-S evidence synthesization;intuitionistic fuzzy entropy;evidence conflict degree

C 93

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2015.03.19

陳云翔(1962-),男,教授,博士,主要研究方向為裝備管理與決策、裝備維修保障。

E-mail:cyx87793@163.com

2014 03 04;

2014 07 01;網絡優先出版日期:2014 10 19。

網絡優先出版地址:http://w ww.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20141019.2344.003.html

總裝“十二五”國防預先研究項目資助課題