基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法

姜 磊，王 彤

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710071）

基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法

姜 磊，王 彤

（西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710071）

機(jī)載雷達(dá)的陣元誤差會(huì)影響運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)與定位性能。為了解決這個(gè)問題，提出一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法。該方法首先利用雜波譜分布結(jié)構(gòu)和雷達(dá)構(gòu)型參數(shù)計(jì)算雜波空時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣，接著利用截?cái)嗟钠娈愔捣纸馇蠼怆s波幅度矢量并重構(gòu)雜波數(shù)據(jù)，最后將實(shí)際的數(shù)據(jù)矩陣與重構(gòu)的數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行Frobenius范數(shù)擬合來(lái)估計(jì)陣元誤差。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在低脈沖數(shù)目、低樣本數(shù)目的情況下均具有較好的參數(shù)估計(jì)精度與穩(wěn)健性。

機(jī)載雷達(dá)；陣元誤差估計(jì)；雜波數(shù)據(jù)重構(gòu)；截?cái)嗥娈愔捣纸猓环稊?shù)擬合

0 引 言

機(jī)載雷達(dá)在下視工作時(shí)會(huì)受到地面雜波的影響。由于載機(jī)與地面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，雜波多普勒譜會(huì)出現(xiàn)展寬，給運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)帶來(lái)困難。空時(shí)自適應(yīng)處理［13］（space time adaptive processing，STAP）是一種聯(lián)合空域和時(shí)域的二維濾波技術(shù)，它可以有效抑制雜波，提高雷達(dá)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)能力。

在理想情況下，STAP可以取得較好的性能，然而在實(shí)際的工程應(yīng)用中，機(jī)載雷達(dá)系統(tǒng)不可避免地存在著各種誤差。在目前的技術(shù)水平下，時(shí)間維的精度通常較高，其誤差一般可以忽略不計(jì)；空間維則不一樣，由于制造工藝的限制，各個(gè)接收陣元之間的幅相特性常常存在不一致性。當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)中存在陣元誤差這種非理想因素時(shí)，基于STAP的運(yùn)動(dòng)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)與定位性能受到很大的影響［4-5］。因此，陣元誤差的估計(jì)或校正具有重要的實(shí)際意義。

陣元誤差的校正主要可以分為有源校正和自校正兩類。有源校正［6-7］是利用外部精確已知的輔助信源對(duì)陣元誤差進(jìn)行離線校正的方法，該方法理論上可以取得較好效果，但對(duì)輔助信源有較高的性能要求，并且增加了系統(tǒng)的復(fù)雜度。本文關(guān)注于陣元誤差的自校正方法。自校正是將陣元誤差校正轉(zhuǎn)化為一個(gè)參數(shù)估計(jì)問題，即利用接收的回波數(shù)據(jù)對(duì)陣元誤差進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于機(jī)載動(dòng)目標(biāo)顯示雷達(dá)來(lái)說，其接收的回波主要為雜波分量，此時(shí)就可以利用雜波數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)陣元誤差。文獻(xiàn)［8］提出基于相鄰陣元干涉的方法，該方法以一個(gè)陣元作為參考，利用參考陣元與其他陣元接收回波間相位歷程的關(guān)系來(lái)估計(jì)陣元誤差。該方法運(yùn)算量低，但是在雜噪比較低、駐留時(shí)間較短的情況下性能較差。文獻(xiàn)［9］提出基于主瓣雜波特征矢量的方法，該方法取主瓣雜波對(duì)應(yīng)的多普勒頻率的數(shù)據(jù)計(jì)算空域協(xié)方差矩陣，然后將空域協(xié)方差矩陣特征分解取最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量作為實(shí)際的導(dǎo)向矢量。該方法在雷達(dá)多普勒分辨率較高時(shí)可以取得較好的效果，然而機(jī)載動(dòng)目標(biāo)顯示雷達(dá)為了實(shí)現(xiàn)對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)較高的重訪率，其在單個(gè)波位發(fā)射的脈沖數(shù)目較少，此時(shí)主瓣雜波特征矢量法性能下降。文獻(xiàn)［10］提出基于雜波子空間的方法，該方法利用雜波分布構(gòu)型參數(shù)與實(shí)際數(shù)據(jù)，分別構(gòu)造理論雜波正交補(bǔ)空間與實(shí)際雜波子空間，然后利用兩者的正交性估計(jì)陣元誤差。該方法在雷達(dá)相干積累時(shí)間較短的情況下，可以取得較好的效果，然而內(nèi)雜波運(yùn)動(dòng)、通道失配等因素會(huì)導(dǎo)致子空間泄漏［11］，此時(shí)子空間正交性下降，陣元誤差估計(jì)性能出現(xiàn)下降。

為了提高陣元誤差的估計(jì)精度與穩(wěn)健性，本文提出一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法。該方法通過擬合實(shí)際接收的雜波數(shù)據(jù)與由雜波譜分布軌跡重構(gòu)得到的雜波數(shù)據(jù)來(lái)得到陣元誤差的估計(jì)。仿真實(shí)驗(yàn)分析表明，本文方法在低樣本數(shù)目、低脈沖數(shù)目的情況下均能取得良好的參數(shù)估計(jì)精度與穩(wěn)健性。

1 信號(hào)模型

機(jī)載脈沖多普勒雷達(dá)幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示。載機(jī)速度為v，速度方向沿x軸正方向，載機(jī)高度為h。陣列為由N個(gè)陣元組成的等距線陣，陣元間距為d，陣列軸向沿x軸方向。雷達(dá)在一個(gè)相干處理間隔內(nèi)發(fā)射M個(gè)脈沖，脈沖重復(fù)頻率為fr，雷達(dá)工作波長(zhǎng)為λ，地面雜波塊相對(duì)于雷達(dá)的方位角與俯仰角分別為φ與θ。雷達(dá)在接收時(shí)對(duì)每個(gè)陣元的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣、錄取。

圖1 機(jī)載雷達(dá)平臺(tái)幾何結(jié)構(gòu)

按照?qǐng)D1的平臺(tái)幾何結(jié)構(gòu)，地面雜波塊相對(duì)于雷達(dá)的歸一化多普勒頻率為

歸一化空間頻率

則雜波塊對(duì)應(yīng)的時(shí)域?qū)蚴噶颗c空域?qū)蚴噶靠梢员硎緸?/p>

對(duì)應(yīng)于單個(gè)距離環(huán)，各個(gè)陣元接收的雜波分量的信號(hào)形式為

式中，⊙表示Hadamard積；?表示Kronecker積；α為不同方位角對(duì)應(yīng)的雜波塊的接收電壓幅度；ts為陣元響應(yīng)矢量，具體形式為

式中，γi為陣元幅度誤差；βi為陣元相位誤差。將式（3）進(jìn)行適當(dāng)整理，可以得到

式中，v＝vt?vs為雜波空時(shí)導(dǎo)向矢量；t＝1?ts為錐削矢量，表示陣元對(duì)雜波信號(hào)的調(diào)制。

雷達(dá)在每個(gè)距離單元接收的空時(shí)快拍數(shù)據(jù)為

式中，xn表示高斯白噪聲分量。

2 算法原理

2.1 基于截?cái)嗟钠娈愔捣纸獾碾s波數(shù)據(jù)重構(gòu)

此時(shí)在角度多普勒域?qū)㈦s波離散化采樣后，重構(gòu)的雜波信號(hào)可以表示為

為了使實(shí)際的量測(cè)數(shù)據(jù)與重構(gòu)的雜波數(shù)據(jù)之間均方誤差最小，可以得到以下優(yōu)化問題：

式中，‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù)；X＝［x1，…，xK］為量測(cè)的數(shù)據(jù)矩陣。

將式（9）展開，可以得到

式（10）可以等效為K個(gè)獨(dú)立的優(yōu)化問題，即

式中，‖·‖2表示2范數(shù)。

式（11）是一個(gè)線性欠定最小二乘問題，理論上可以采用正規(guī)方程或QR分解法求解。但由于空時(shí)導(dǎo)向矢量矩陣V是一個(gè)超完備矩陣，其列矢量之間存在相關(guān)性。在這種情況下，矩陣V的條件數(shù)cond（V）數(shù)值過大：

式中，cond（·）表示矩陣的條件數(shù)；σmax、σmin分別為V的最大與最小奇異值。

根據(jù)擾動(dòng)分析理論［12］，最小二乘方法參數(shù)估計(jì)精度的界限為

由式（13）可以看出，當(dāng)cond（V）數(shù)值過大時(shí)，線性系統(tǒng)式（11）的敏感程度較高，微小的噪聲擾動(dòng)將導(dǎo)致估計(jì)值嚴(yán)重偏離實(shí)際值。

為了提高數(shù)值求解的穩(wěn)健性，本文采用截?cái)嗟钠娈愔捣纸猓╰runcated singular value decomposition，TSVD）方法［1314］求解式（11）。此時(shí)，將導(dǎo)向矢量矩陣V展開，并且對(duì)其進(jìn)行秩r截?cái)啵梢缘玫?/p>

式中，ui、wi與σi分別對(duì)應(yīng)于V的左奇異矢量、右奇異矢量與奇異值。r為V的數(shù)值秩（或稱為有效秩），可以按照以下準(zhǔn)則計(jì)算

式中，η為一個(gè)接近于1的常數(shù)。選取使式（15）成立的最小q值作為V的數(shù)值秩r。

根據(jù)式（14）可以計(jì)算得到秩r截?cái)嗪笮碌膶?dǎo)向矢量矩陣的條件數(shù)為cond（Vr）＝σ1／σr，其遠(yuǎn)小于原有的量測(cè)矩陣的條件數(shù)cond（V）＝σ1／σNM。因此，線性系統(tǒng)的穩(wěn)健性得到提高。

此時(shí)式（11）對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題需修正為

對(duì)應(yīng)的解為

2.2 基于Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)

由于雜波信號(hào)通過天線時(shí)會(huì)受到陣元誤差的影響，為了提高重構(gòu)的雜波信號(hào)的準(zhǔn)確性，需對(duì)做相應(yīng)處理，以補(bǔ)償陣元誤差帶來(lái)的影響。由式（5）可知，陣元對(duì)雜波信號(hào)的調(diào)制表現(xiàn)為理想雜波信號(hào)點(diǎn)積上錐削矢量。按照這個(gè)模型，將重構(gòu)的雜波信號(hào)修正為

此時(shí)可以通過擬合實(shí)際的量測(cè)數(shù)據(jù)與補(bǔ)償后重構(gòu)的雜波數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為

根據(jù)分塊矩陣的加法性質(zhì)，式（19）可以展開表示為

式（20）可以等效表示為

式中，Yk＝diag（）。

根據(jù)Kronecker積的性質(zhì)可以得到

式中，IN為N×N維的單位陣。

將式（22）代入式（21）中，同時(shí)令P＝（1?IN），可以得到

根據(jù)矩陣Frobenius范數(shù)的性質(zhì)，可以得到

式中，vec（·）為矩陣矢量化算子，表示將矩陣按列重排為一個(gè)列矢量。

因此，式（23）可以等效表示為

式中，Zk＝Y(jié)kP。

根據(jù)分塊矩陣乘法性質(zhì)，式（25）做適當(dāng)整理可以得到

此時(shí)可以看出，式（26）為一個(gè)無(wú)約束最小二乘問題，對(duì)應(yīng)的解為

本文所提出的基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法的主要步驟如下所示：

步驟1利用式（1）、式（2）與式（7）計(jì)算雜波譜線對(duì)應(yīng)的基矩陣V；

步驟2利用式（8）、式（17）重構(gòu)雜波數(shù)據(jù)矩陣；

步驟3利用式（19）、式（27）估計(jì)陣元誤差。

3 仿真分析

本節(jié)通過計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本文方法的性能。仿真實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：雷達(dá)載頻為1 200 MHz；脈沖重復(fù)頻率為2 000 Hz；天線陣元數(shù)目為10，陣元間距為0.125 m；載機(jī)高度為5 km，速度為100 m／s；雜噪比為50 d B；陣元誤差中幅度誤差為5%，相位誤差為5°；計(jì)算數(shù)值秩時(shí)的門限設(shè)為0.99。仿真時(shí)考慮無(wú)去相關(guān)效應(yīng)和有去相關(guān)效應(yīng)（內(nèi)雜波運(yùn)動(dòng)、通道起伏等非理想因素導(dǎo)致）兩者情況，其中雜波去相關(guān)的形式參考文獻(xiàn)［11］所提出的數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)中將本文提出的雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合法與文獻(xiàn)［8］提出的相鄰陣元干涉法，文獻(xiàn)［9］提出的主瓣雜波特征矢量法以及文獻(xiàn)［10］提出的雜波子空間正交法進(jìn)行對(duì)比分析。文中以均方根誤差（root mean square error，RMSE）為準(zhǔn)則衡量各方法性能，相應(yīng)的形式為

實(shí)驗(yàn)1中設(shè)置脈沖數(shù)目為128，分析各方法性能和距離樣本數(shù)目的關(guān)系，所得結(jié)果如圖2、圖3所示。由圖2、圖3可以看出，在樣本數(shù)目較少的情況下，雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法優(yōu)于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法。這是因?yàn)橄噜応囋缮娣ㄅc主瓣雜波特征矢量法在樣本數(shù)目較少的情況下受到噪聲起伏擾動(dòng)的影響較大。由圖2、圖3還可以看出，當(dāng)存在去相關(guān)效應(yīng)時(shí)，F(xiàn)robenius范數(shù)擬合法優(yōu)于雜波子空間正交法，這是因?yàn)槿ハ嚓P(guān)效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致雜波子空間擴(kuò)散，從而使得雜波子空間向噪聲子空間泄漏，兩者之間的正交性減弱，雜波子空間正交法性能下降，而Frobenius范數(shù)擬合法是一種基于范數(shù)擬合的參數(shù)化估計(jì)方法，其利用數(shù)據(jù)矩陣本身而不是對(duì)應(yīng)的子空間來(lái)估計(jì)陣元誤差，使得其對(duì)子空間泄漏問題具有穩(wěn)健性。

圖2 幅度誤差RMSE隨距離樣本數(shù)目變化曲線

圖3 相位誤差RMSE隨距離樣本數(shù)目變化曲線

實(shí)驗(yàn)2中設(shè)置距離樣本數(shù)目為100，分析各算法性能和發(fā)射脈沖數(shù)目的關(guān)系，所得結(jié)果如圖4、圖5所示。由圖4、圖5可以看出，在脈沖數(shù)目較少的情況下，雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法優(yōu)于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法。這是因?yàn)樵诿}沖數(shù)目較少的情況下，多普勒分辨率較低，天線主瓣對(duì)應(yīng)的多普勒帶寬較大。此時(shí)，相鄰陣元干涉法和主瓣雜波特征矢量法假設(shè)的主瓣雜波近似于單頻信號(hào)的模型不再成立，而Frobenius范數(shù)擬合法是一種基于原始空時(shí)數(shù)據(jù)擬合的方法，與多普勒分辨率的好壞無(wú)關(guān)，只要雜波譜線準(zhǔn)確，就可以獲得良好的參數(shù)估計(jì)精度。

圖4 幅度誤差RMSE隨脈沖數(shù)目變化曲線

圖5 相位誤差RMSE隨脈沖數(shù)目變化曲線

實(shí)驗(yàn)3中設(shè)置脈沖數(shù)目為32，距離樣本數(shù)目為20，分析本文方法性能與計(jì)算數(shù)值秩時(shí)的門限η的關(guān)系，所得結(jié)果如圖6所示。由圖6可以看出，當(dāng)η在0.99～0.998之間變化時(shí)，算法性能變化不大。這是因?yàn)榭諘r(shí)導(dǎo)向矢量矩陣V奇異值分解后得到的奇異值分為主奇異值與次奇異值兩部分。次奇異值是導(dǎo)致線性系統(tǒng)數(shù)值求解不穩(wěn)健的因素，而次奇異值的數(shù)值極小，其占總的奇異值能量的比重較小。η設(shè)為0.99或者0.998計(jì)算得到的數(shù)值秩r變化不大，因此參數(shù)估計(jì)性能也相對(duì)保持平穩(wěn)。需要指出的是，η取值不宜過于接近于1，因?yàn)榇藭r(shí)計(jì)算得到的r接近于NM，TSVD方法退化為傳統(tǒng)的正規(guī)方程法。

圖6 陣元誤差RMSE隨數(shù)值秩門限變化曲線

實(shí)驗(yàn)4中設(shè)置脈沖數(shù)目為64，距離樣本數(shù)目為60，分析系統(tǒng)參數(shù)存在誤差時(shí)本文方法的性能。Frobenius范數(shù)擬合法在計(jì)算雜波分布曲線時(shí)需要利用系統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)，其可以通過慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（inertial navigation system，INS）獲得。實(shí)際中由于INS的精度問題，雷達(dá)獲取的參數(shù)與實(shí)際的參數(shù)之間存在偏差，因此需要研究系統(tǒng)參數(shù)誤差對(duì)本文方法的影響。實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果如圖7所示。由圖7可以看出，當(dāng)存在系統(tǒng)參數(shù)誤差時(shí)，相鄰陣元干涉法、主瓣雜波特征矢量法、雜波子空間正交法以及Frobenius范數(shù)擬合法性能均出現(xiàn)下降。對(duì)于相鄰陣元干涉法與主瓣雜波特征矢量法，這是由于雜波多普勒中心計(jì)算不準(zhǔn)確；對(duì)于雜波子空間正交法與Frobenius范數(shù)擬合法，這是由于雜波分布曲線位置不準(zhǔn)確。因此，本文所提出的Frobenius范數(shù)擬合法在實(shí)施時(shí)，對(duì)系統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)的精確性有較高要求。

圖7 陣元誤差RMSE隨慣導(dǎo)精度變化曲線

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于雜波數(shù)據(jù)Frobenius范數(shù)擬合的陣元誤差估計(jì)方法，其基本思想是通過擬合由雜波分布譜線重構(gòu)的數(shù)據(jù)和實(shí)際的接收數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)陣元誤差。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在低樣本數(shù)目、低脈沖數(shù)目的情況下均能有較好的參數(shù)估計(jì)性能。此外，當(dāng)存在去相關(guān)效應(yīng)時(shí)，該方法仍然具有較好的參數(shù)估計(jì)精度，說明其具有較好的穩(wěn)健性。需要指出的是，本文方法能取得良好性能的重要前提條件是雜波分布曲線準(zhǔn)確已知，這就要求系統(tǒng)的構(gòu)型參數(shù)足夠精確。若系統(tǒng)參數(shù)不準(zhǔn)，將造成本文方法性能下降。一種不依賴于系統(tǒng)參數(shù)的全自適應(yīng)的范數(shù)擬合方法值得進(jìn)一步研究。

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［16］Boyed S，Vandenberghe L.Convex optimization［M］.Cambridge，U K：Cambridge University Press，2004.

Array error estimation based on Frobenius norm fitting of clutter data

JIANG Lei，WANG Tong
（National Lab of Radar Signal Processing，Xidian University，Xi’an 710071，China）

In the airborne radar system，the parameter estimation and geolocation accuracy of moving targets will be affected by array error.To deal with this problem，a array error estimation method based on Frobenious norm fitting of clutter data is proposed.Firstly，the clutter space-time steering matrix is computed by using the knowledge of clutter distribution and radar geometry parameters.Then，the truncated singular value decomposition method is utilized to estimate the clutter amplitude vector and reconstruct the clutter data.Finally，array error is estimated by minimizing the distance induced by the Frobenious norm between the

data and the reconstructed data.Numerical simulation results validate that the method can achieve a fine parameter estimation accuracy and provide robustness when the number of snapshots or pulses is limited.

airborne radar；array error estimation；reconstructed clutter data；truncated singular value decomposition；norm fitting

TN 959.73

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.08

姜 磊（198-7- ），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、空時(shí)自適應(yīng)信號(hào)處理。

E-mail：jianglei0823＠gmail.com

王 彤（197-4- ），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楹铣煽讖嚼走_(dá)成像、機(jī)載雷達(dá)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)檢測(cè)。

E-mail：twang＠m(xù)ail.xidian.edu.cn

1001-506X（2015）12-2713-06

2014- 12- 12；

2015- 03- 17；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015- 05- 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150528.0920.001.html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61372133）資助課題