基于稀疏重構的L型陣列MIMO雷達降維DOA估計

梁 浩，崔 琛，代 林，余 劍

（電子工程學院通信對抗系，安徽合肥230037）

基于稀疏重構的L型陣列MIMO雷達降維DOA估計

梁 浩，崔 琛，代 林，余 劍

（電子工程學院通信對抗系，安徽合肥230037）

針對L型陣列多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達二維空間角估計問題，提出一種基于協方差矩陣聯合稀疏重構的降維波達方向（direction of arrival，DOA）估計算法。該算法根據L型陣列MIMO雷達聯合流型矢量的特點，通過降維矩陣的設計及回波數據的降維變換，最大程度地去除了所有的冗余數據；通過協方差矩陣聯合構造稀疏線性模型，將2維角參量空間映射到1維空間，極大降低字典長度和求解復雜度的同時，不犧牲陣列孔徑，實現了二維空間角度的有效估計和參數的自動配對。理論分析與實驗仿真表明：與RD_MUSIC算法相比，本文降維處理有效提高陣元利用率的同時，最大程度地降低了回波數據的維數；與傳統子空間類算法相比，基于協方差矩陣聯合構造的稀疏線性模型充分利用了陣列孔徑，無需預先估計目標數目，參數估計性能在低信噪比及小快拍數據長度下優勢明顯。最后，仿真結果驗證了本文理論分析的正確性和算法的有效性。

多輸入多輸出雷達；L型陣列；稀疏重構；波達方向估計

0 引 言

多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達［1-2］能有效提高雷達參數識別性能［3］及目標空間分辨力；同時因其具有數字化、多通道化、低輻射等特點，已成為現代新型雷達發展趨勢的綜合體現和典型代表。目標角度估計［25］是雷達信號處理中一個重要的研究方向，目前對單基地MIMO雷達的研究大多僅限于一維參數估計；事實上，當收、發陣列均采用二維天線構型時，意味著目標參數維度的擴展，對目標的描述也就更準確，相應的參數估計也就更為復雜；在眾多的平面天線構型中，L型陣列結構簡單、陣列冗余度較小，能夠實現空域目標二維角度定位，且已被證明具有優于其他交叉陣列結構的波達方向（direction of arrival，DOA）估計性能［67］；因此深入研究L型陣列MIMO雷達的參數估計問題具有重要意義和實用價值。

關于L型陣列MIMO雷達的研究主要集中在傳統子空間類算法的擴展應用。文獻［8- 9］基于單基地MIMO雷達研究了不同平面流型配置下陣列整體的流型敏感性以及陣元的重要程度，為MIMO雷達系統的天線設計提供了依據。文獻［10］基于DOA矩陣思想，實現了目標二維角度的估計，并進一步提出聯合對角化DOA矩陣方法解決了角度兼并問題；但該模型采用收發陣列垂直分置的L型配置，因此算法并不適用于收發均為L型陣列的共置MIMO雷達。文獻［11］建立了L型陣列配置的單基地MIMO雷達，并基于MIMO-Capon算法實現了目標方位角和俯仰角的二維估計，但需要二維的譜搜索；文獻［12］針對文獻［11］算法計算復雜度較高的問題，提出一種基于MUSIC算法的L型陣列多輸入多輸出雷達降維DOA估計算法。算法通過構造降維矩陣對回波數據進行降維預處理后，利用二次優化方法將二維DOA估計分解為兩個一維DOA估計，一定程度上降低了運算復雜度，但降維矩陣的設計并沒有最大程度地降低回波數據的維數，沒有去除所有重復的虛擬陣元，回波數據中仍存在冗余；此外在利用二次優化進行降維求解過程中，對方向向量中各元素的約束較弱［13］，造成估計精度較差，同時協方差矩陣的構建和特征分解以及兩次一維譜搜索仍存在較高的運算量。

盡管傳統子空間類算法能夠實現二維空間角的有效估計，但普遍存在以下問題：①需要預先進行目標數目的估計，其準確性會嚴重影響后續子空間的劃分及算法的性能；②需要多次脈沖的數據來提高與理論協方差矩陣的逼近程度，在低信噪比及有限數據長度下，對信號子空間的估計會存在較大偏差，使得估計精度和穩健性能嚴重惡化。利用遠場目標的空域稀疏性，基于稀疏重構理論能夠很好的解決以上問題，文獻［14- 15］利用L型陣列的流型結構，通過二維稀疏線性模型分解和重新組合，利用其構造冗余字典可以將方位角和俯仰角的組合從2維空間映射到1維空間，極大降低字典的長度和求解的復雜度；文獻［16］更是將這種思想推廣到了頻域，實現了寬頻帶內目標方位與頻率的聯合估計。以上算法本質上是基于陣列流型，將二維參量解耦合，分維兩次基于傳統一維稀疏重構算法實現二維參量的估計；當MIMO雷達收發均為L型陣列時，這類算法僅能利用到部分虛擬陣元，造成孔徑的損失，這顯然與MIMO雷達通過虛擬孔徑提高分辨力的初衷是背馳的。本文針對L型陣列MIMO雷達二維空間角估計問題，提出一種降維預處理后基于協方差矩陣聯合稀疏重構（reduceddimensional joint sparse recovery of covariance matrix，RD_ JSRCM）的L型陣列MIMO雷達DOA估計算法。

1 問題建模

圖1 L型陣列MIMO雷達結構及角度配置關系

遠場空域內存在K個目標，第k（k＝1，2，…，K）個目標空間角為（?k，φk），滿足cos?＝cosθcosφ，cosφ＝cosθsinφ；其中（θ，φ）對應目標的俯仰角與方位角，（?，φ）對應目標分別與X、Y軸的夾角。則第q｛q＝1，…，Q｝次脈沖下接收端的輸出為

對yq進行列堆棧，即可得到Q次脈沖下L型陣列MIMO雷達的回波接收數據：

式中，η＝［β1，…，βQ］對應目標的散射系數；N＝［n1，…，nQ］

2 算法描述

2.1 接收數據降維預處理

L型陣列MIMO雷達虛擬擴展如圖2所示，顯然Mx＋My－1個實陣元經過MIMO雷達的虛擬擴展后，得到（Mx＋My－1）2個虛擬陣元，然而其中僅有MxMy＋Mx＋My－2為有效陣元，其余均為冗余陣元。則由信號模型可得

圖2 虛擬擴展及示意圖

式中

對應置換矩陣，構造方式與文獻［12］類似；顯然，g（?，φ）與ρ（?，φ）成線性關系，同時

則存在以下線性變換

式中，Πxy為置換矩陣，與Πx、Πy類似。由式（5）、式（7）和式（8）可得，存在降維矩陣Γ滿足

則式（4）中回波接收數據可表示為

式（15）證明略。從式（14）、式（15）可得，降維后回波數據Z等效長度MxMy＋Mx＋My－2的加權平面陣的回波信號，權值為（ΓHΓ）1／2的對角元素。由H（?，φ）及圖2可知，本文通過設計降維矩陣，將（Mx＋My－1）2維的回波信號降至MxMy＋Mx＋My－2，去除了所有的重復陣元，而文獻［12］降維多重信號分類（reduced-dimensional multiple signal classification，RD_MUSIC）RD_MUSIC算法僅僅是將（Mx＋My－1）2維的雷達回波信號降至MxMy＋Mx＋2My－4，降維后仍存在My－2個重復陣元。因此與之相比，本文降維預處理最大程度地降低了回波數據的維數，有效去除了原始回波數據中所有重復量，達到了降維的目的。

2.2 對稱置換預處理

為后續處理方便，首先對降維后的回波數據Z進行權值歸一化操作

在得到預處理的回波數據Zx和Zy后，即可利用子空間類算法（如文獻［12］RD_MUSIC、2D_MUSIC等）獲取對信號子空間H（?，φ）的估計，實現二維空間角的估計。考慮到子空間類算法在低信噪比及小數據快拍長度下估計性能較差的缺陷，利用遠場空域目標稀疏的先驗信息，將DOA估計轉化為從測量矢量中重構稀疏信號的問題，能夠獲得目標方位信息的超分辨估計。直接構建二維過完備字典，則意味著后續高維復雜度的迭代重構；由圖2可知，經過MIMO雷達虛擬后，陣列仍呈現為近似L型，通過二維稀疏線性模型分解和重新組合，利用其構造冗余字典可以將二維空間映射到一維空間，但問題是這樣只能利用MIMO雷達的部分虛擬陣元（只利用到X軸上的2Mx－1陣元和Y軸上的2My－1陣元），降低了雷達整體的孔徑利用率，從而不能很好發揮MIMO雷達的高分辨性能；為此本文利用預處理后的回波數據Zx和Zy構建相應的稀疏線性模型，提出一種基于協方差矩陣聯合稀疏重構的L型陣列MIMO雷達降維DOA估計算法。

2.3 聯合稀疏模型建立

式中，Vx＝diag｛Wx｝。對Rxx進行列向量化操作得

式中，k＝1，…，K；n＝1，…，Nx。則式（29）可以重寫為

同樣可以利用Zy構建角參量φ的稀疏線性模型

2.4 模型求解

式（33）和式（34）中，由于ex與ey均服從高斯分布，因此可以采用2范數來約束擬合誤差，則稀疏線性模型的目標優化函數可表示為：

λ對應正則化參數，平衡控制著擬合誤差與μ稀疏性，可以通過L-Curce、廣義的SURE（generation SURE，GSURE）等方法進行調整和選取。直接求解式（35）是困難的，一方面考慮擬合誤差服從高斯分布，可以采用文獻［19］中的平滑零范數，通過一類高斯函數近似逼近零范數求解最小化問題，重構出相應的稀疏信號，但該方法重構性能以及精度與高斯函數和映射函數的選取相關；另一方面通過凸松弛類算法采用1范數來代替0范數進行凸松弛。本文考慮凸松弛類算法將非凸優化問題轉化為以下的凸優化問題

可以分別利用內點法求解，考慮式（36）中參數均為復數，則對應的二階錐規劃形式可表示為

顯然，關于角參量?和φ的求解是分開進行的，得到對應的估計值和后，定義低維的聯合過完備字典D（）為

可得重組后的聯合稀疏線性模型為

2.5 算法復雜度分析

本文降維預處理后采用文獻［15］分維稀疏重構算法簡稱為RD_JEVSD；本文降維預處理后基于協方差矩陣聯合稀疏重構的方法稱為RD_JSRCM算法。RD_JEVSD與RD_JSRCM算法在后續基于凸松弛類算法求解過程中，算法復雜度相差不大，盡管兩者構建的過完備字典的維數不同，但都要遠小于完備字典的長度Nx和Ny，因此算法復雜度主要為O｛N＋N｝；而在稀疏線性模型構建過程中，RD _JEVSD算法僅利用到（L型陣列MIMO雷達虛擬擴展后的陣列）X、Y軸的等效回波數據，算法運算量集中在協方差矩陣計算及特征分解：O｛Q（2Mx－1）2＋Q（2My－1）2＋（2Mx－1）3＋（2My－1）3｝；對應的RD_JSRCM算法運算量集中在zx和zy構造中協方差矩陣的計算：O｛Q（2Mx－1）2＋Q（2My－1）2＋Q（Mx－1）2＋Q（My－1）2｝，因此兩者的運算復雜度相當，但本文RD_JSRCM算法無需特征分解，不犧牲雷達孔徑，最大程度地利用了虛擬陣列，因此在估計性能及穩健性方面更優。

3 仿真實驗與分析

假設均勻配置下的L型陣列MIMO雷達，陣元間距滿足dx＝dy＝λ／2，以多相碼為正交發射信號，分別進行以下實驗。

實驗1 算法的有效性驗證。不失一般性，假設陣元數滿足Mx＝My＝8，遠場空域存在K＝3個目標，與L型陣列MIMO雷達X、Y軸的夾角為（50°，60°），（70°，100°），（110°，120°）；信噪比為5 d B，快拍數Q＝200；進行100次蒙特卡羅實驗，驗證本文RD_JSRCM算法的有效性，其中過完備字典Dx（?′）和Dy（φ′）均在（0°，180°）內以0.1°為間隔均勻采樣構建而成，仿真結果如圖3所示。圖3（a）為100次蒙特卡羅實驗后本文RD_JSRCM算法與文獻RD_JEVSD算法的二維空間角的估計結果；圖3（b）為本文RD_JSRCM算法二維空間角經過自動配對后的星座圖。

圖3 目標二維空間參量?和φ的估計結果

由圖3可知，本文所提RD_JSRCM算法能夠實現對目標二維空間角的有效估計，且能實現參數的自動配對；同時由圖3也可以看出，與文獻［15］RD_JEVSD算法相比，本文RD_JSRCM算法空間譜估計更為準確和穩健，空間角度位置星座圖上的估計結果比較集中而沒有出現散布，一定程度上也反映了本文算法的穩健性。

實驗2 算法的估計性能比較。假設發射陣元數滿足Mx＝My＝6，遠場空域目標位置及個數不變；快拍數Q＝50，信噪比－10～30 dB，比較2D_MUSIC、RD_MUSIC、RD_JEVSD以及本文RD_JSRCM算法的估計性能，其中2D_MUSIC與文獻［12］RD_MUSIC算法的譜搜索步長均為0.1°，RD_JEVSD及本文RD_JSRCM算法的過完備字典構造均以0.1°為間隔采樣，仿真結果如圖4所示。

圖4 目標二維空間角估計的RMSE與SNR的關系

由圖4可以看出，隨著信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）的增大，4種算法對目標二維空間角估計的均方根誤差（root mean square error，RMSE）都逐漸變小，且信噪比越大，估計精度越高，這一點很好理解；同時與子空間類算法（2D_MUSIC和RD_MUSIC算法）相比，基于稀疏重構理論的RD_JEVSD和RD_JSRCM算法在低信噪比時，估計性能較優，高信噪比時角度估計性能趨于一致；與RD_JEVSD算法僅利用到X、Y軸（L型陣列MIMO雷達虛擬擴展后的陣列）的等效回波數據相比較，本文提出的RD_JSRCM算法基于協方差矩陣聯合構建稀疏模型，利用到了所有陣元回波數據，最大程度地利用了陣列孔徑，具有更高的估計性能。此外本文RD_JSRCM算法通過降維處理，去除所有重復項的同時，并沒有改變噪聲特性，保留了所有的目標信息，在利用降維處理后回波數據構建聯合稀疏模型時，權值歸一化操作，一定程度上也降低了噪聲的影響，提高了參數估計性能。

實驗3 算法的性能與參數之間的關系?？沼蚰繕宋恢谩€數與實驗2相同，快拍數Q＝50，陣元數Mx＝My＝4～12時，信噪比為5 dB，比較不同陣元配置本文RD_JSRCM算法與文獻RD_JEVSD算法的估計性能，仿真結果如圖5所示。陣元數滿足Mx＝My＝6，Q＝50～500變化，比較不同快拍數據下本文RD_JSRCM算法與文獻RD_JEVSD算法的估計性能，仿真結果如圖6所示。由圖5、圖6可以看出，隨著陣元數Mx，My的增大，對應陣列雷達孔徑也逐漸變大，因此兩種算法對二維空間角的估計性能也越好；隨著快拍數Q的增大，統計意義上稀疏模型的構建也就越準確，重構精度也就越高，因此角估計性能也就更好。同時由圖5、圖6的仿真結果可以看出，由于本文RD_ JSRCM算法利用了MIMO雷達所有虛擬陣元，沒有犧牲陣列孔徑，因此估計性能要優于文獻RD_JEVSD算法。

圖5 二維空間角估計的RMSE隨陣元數的變化

圖6 二維空間角估計的RMSE隨快拍數Q的變化

4 結 論

本文針對L型陣列MIMO雷達二維空間角估計問題，提出一種基于協方差矩陣聯合稀疏重構的L型陣列MIMO雷達降維DOA估計算法。理論分析與仿真表明：①與文獻RD_MUSIC算法相比，本文算法通過降維矩陣的設計及回波數據的降維變換，最大程度地降低了回波數據的維數，進一步降低了所需處理的回波的數據量，有效提高了陣元的利用率；②基于協方差矩陣聯合的稀疏線性模型，將二維角參量空間映射到一維空間，極大降低字典長度和求解復雜度的同時，充分利用陣列孔徑，實現了二維參量的聯合估計及參數的自動配對；③與傳統子空間類算法相比，本文算法無需預先估計目標數目，估計性能在低信噪比及小快拍數據長度下優勢明顯。

［1］Huleihel W，Tabrikian J，Shavit R.Optimal adaptive waveform design for cognitive MIMO radar［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2013，61（20）：5075- 5089.

［2］Tang B，Tang J，Zhang Y，et al.Maximum likelihood estimation of DOD and DOA for bistatic MIMO radar［J］.Signal Processing，2013，93（5）：1349- 1357.

［3］Arash K.Efficient transmit beamspace design for search-free based DOA estimation in MIMO radar［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2014，62（6）：1490- 1500.

［4］Li J F，Zhang X F.A method for joint angle and array gain-phase error estimation in bistatic multiple input multiple output nonlinear arrays［J］.IET Signal Processing，2014，8（2）：131- 137.

［5］Jiang H，Zhang Y，Li J，et al.A parafac-based algorithm for multi-dimensional parameter estimation in polarimetric bistatic MIMO radar［J］.EURASIP Journal on Advances in Signal Processing，2013，2013（1）：1- 14.

［6］Cheng Q，Hua Y.Further study of the pencil-MUSICalgorithm［J］.IEEE Trans.on Aerospace Electronic Systems，1996，32（1）：284- 299.

［7］Hua Y，Sarkar K，Weiner D.An L-shaped array for estimation 2-D directions of wave arrival［J］.IEEE Trans.on Antennas and Propagation，1991，39（2）：143- 146.

［8］Chen H W，Li X，Jiang W D，et al.MIMO radar sensitivity analysis of antenna position for direction finding［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2012，60（10）：5201- 5216.

［9］Chen H W，Zhou W，Yang J，et al.Manifold sensitivity analysis for MIMO radar［J］.IEEE Geoscience and Remote Sensing Letters，2012，9（5）：999- 1003.

［10］Fu W B，Zhao Y B，Su T，et al.DOA matrix method based on MIMO radar with L-shape arrays［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2011，33（11）：2398- 2403.（符渭波，趙永波，蘇濤，等.基于L型陣列MIMO雷達的DOA矩陣方法［J］.系統工程與電子技術，2011，33（11）：2398- 2403.）

［11］Xie R，Liu Z，Liu Y F.Multi-target identification and localization in MIMO radar with L-shape arrays［J］.Systems Engineering and Electronics，2010，32（1）：49- 52.（謝榮，劉錚，劉韻佛.基于L型陣列MIMO雷達的多目標分辨和定位［J］.系統工程與電子技術，2010，32（1）：49- 52.）

［12］Wang W，Wang X M，Li X，et al.Reduced-dimensional DOA estimation based on MUSIC algorithm in MIMO radar with L-shaped array［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2014，36（8）：1954- 1959.（王偉，王曉萌，李欣，等.基于MUSIC算法的L型陣列MIMO雷達降維DOA估計［J］.電子與信息學報，2014，36（8）：1954- 1959.）

［13］Cai J J，Bao D，Li P，et al.Two-dimensional DOA estimation using reduced-dimensional MUSIC algorithm with strong-constraint optimization［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2014，36（5）：1113- 1118.（蔡晶晶，鮑丹，李鵬，等.強約束優化降維MUSIC二維DOA估計［J］.電子與信息學報，2014，36（5）：1113- 1118.）

［14］Wang L B，Cui C.L-shaped array-based two dimensional direction-of-arrival estimation in a sparse reconstruction framework［J］.Journal of Astronautics，2012，33（7）：964- 970.（王粒賓，崔琛.基于稀疏重構的L型陣列的二維波達方向估計［J］.宇航學報，2012，33（7）：964- 970.）

［15］Cui C，W L B.L-shaped array-based joint elevation and azimuth direction finding by spatial sparsity［J］.Journal of Circuits and Systems，2013，18（1）：297- 303.（崔琛，王粒賓.利用空域稀疏性的L型陣下二維波達方向估計［J］.電路與系統學報，2013，18（1）：297- 303.）

［16］Li P F，Zhang M，Zhong Z F.Two dimensional DOA estimation based on sparse representation of space angle［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2011，33（10）：2402- 2406.（李鵬飛，張旻，鐘子發.基于空間角稀疏表示的二維DOA估計［J］.電子與信息學報，2011，33（10）：2402 -2406.）

［17］Zhang X，Xu D.Low-complexity ESPRIT-based DOA estimation for colocated MIMO radar using reduced-dimension transformation［J］.Eletronics Letters，2011，17（47）：283- 284.

［18］Liao B，Chan S C.Direction finding with partly calibrated uniform linear arrays［J］.IEEE Trans.on Antennas and Propagation，2012，60（2）：922- 929.

［19］Hyder M M，Mahata K.An improved smoothed L0 approximation algorithm for sparse representation［J］.IEEE Trans.on Signal Processing，2010，58（4）：2194- 2205.

Reduced-dimensional DOA estimation based on sparse reconstruction in MIMO radar with L-shaped array

LIANG Hao，CUI Chen，DAI Lin，YU Jian
（Department of Communication Countermeasure，Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

Aiming at the problem of two dimensional angles estimation for multiple-input multiple-output（MIMO）radar with L-shaped array，a new reduced-dimensional direction of arrival（DOA）estimation method based on sparse reconstruction is proposed.Giving the steering vector of MIMO radar with L-shaped array，a reduced-dimensional matrix is employed，and data redundancy of high dimensional

data at the greatest degree can be removed via the reduced-dimensional transformation.Through the joint construction of the twodimensional sparse linear model with covariance matrix，the dimension of the dictionary is reduced to one-dimension from two-dimensional space，and the length of the redundant dictionary and computation complexity is largely reduced.Furthermore，the method，without costing the aperture of array，can realize two dimensional spatial angles estimation with automatic pairing.Compared with reduced-dimensional（RD）MUSIC，the proposed method can reduce the dimension of received data at the greatest degree and enhance sensors efficiency.Compared with the traditional subspace algorithms，the proposed method，which is based on the joint sparse linear model of the covariance matrix，makes the best of all apertures of array and can achieve better estimation performance under lower signal-noise-ratio（SNR）and a few snapshots without pre-estimation for the number of targets.Finally，simulation results verify the correctness of the theoretical analysis and the effect of the proposed algorithm.

multiple-input multiple-output（MIMO）radar；L-shaped array；sparse reconstruction；direction of arrival（DOA）estimation

TN 958

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.10

梁 浩（198-7- ），男，博士研究生，主要研究方向為陣列信號處理以及MIMO雷達信號處理。

E-mail：lhmailhappy＠163.com

崔 ?。?96-2- ），男，教授，博士研究生導師，主要研究方向為雷達信號處理。

E-mail：kycuichen＠163.com

代 林（198-6- ），男，博士研究生，主要研究方向為壓縮感知雷達信號處理。

E-mail：dailin513＠163.com

余 劍（1980- ），男，講師，博士，主要研究方向為雷達信號處理、射頻信號處理。

E-mail：yujianeei＠163.com

1001-506X（2015）12-2725-08

2014- 12- 05；

2015- 04- 15；網絡優先出版日期：2015- 07- 07。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150707.1353.002.html

國家自然科學基金（60702015）資助課題