基于隱式基因混合遺傳算法的多脈沖交會導引

歐陽高翔，王小麗，孫成明，楊 新

（1.中國科學院光電研究院，北京100094；2.北京控制工程研究所，北京100090）

基于隱式基因混合遺傳算法的多脈沖交會導引

歐陽高翔1，王小麗2，孫成明1，楊 新1

（1.中國科學院光電研究院，北京100094；2.北京控制工程研究所，北京100090）

針對航天器交會遠程導引段時間非固定多脈沖軌道轉移問題，研究多約束條件下且脈沖數未知的共面橢圓交會燃料最省導引律設計。因不同脈沖數將造成多脈沖優化問題求解變量和約束條件個數隨之變化，為此在遺傳算法中引入隱式基因使得種群中樣本個體的基因具有長度可變特性，在單層迭代框架下可同時解出最優脈沖數和脈沖矢量。為進一步改善性能指標還將端點滑行時間作為優化變量，使得在最佳轉移時刻進行離軌脈沖作用。尋優過程首先由遺傳算法給出設計變量估計值，再由序列二次規劃（sequential quadratic programming，SQP）求解全局最優解。最后基于主矢量和最優控制判據，表明所設計的含隱式基因混合遺傳算法是求解復雜問題的有效全局優化方法，可解決一類優化變量個數可變的最優多脈沖遠程導引律設計問題。

多脈沖；共面橢圓交會；隱式基因；混合遺傳算法；序列二次規劃；主矢量

0 引 言

地球同步軌道衛星在通信、預警及電子偵察等領域起著舉足輕重的作用，是空間信息鏈路中高價值的關鍵信息節點。因此對其進行監測、維修、升級與補網等空間任務具有重要意義。實施該空間任務的一項關鍵技術便是交會對接，其中的一類共面橢圓交會過程可描述為機動航天器從橢圓轉移軌道出發，在規定時間內與共面圓軌道上的目標飛行器進行交會。常規交會過程可劃分為3個階段：調相段、遠程導引段與近程逼近段，本文僅研究遠程導引轉移段。遠程導引是指從轉移軌道出發，基于事先求解的最優路徑規劃策略，在軌注入到追蹤器后經過若干次軌道機動，逼近到目標器期望的相對距離和速度范圍內［1］。另外，因某些空間緊急救援任務需要在指定時間內與目標飛行器交會，而自身攜帶的燃料有限，因此上述航天任務對于燃料和轉移時間都有一定要求。

本文研究的共面橢圓軌道交會是以能量為性能指標，且推力、轉移時間、末端時刻、位置和速度均受約束的軌道機動優化問題。該優化問題在數學上可表示為兩點邊值問題，可基于不同數值方法進行求解。其中，間接法需要對共軛變量的初值進行猜測，因缺乏具體的物理含義而很難確定其合理的范圍，因此對于邊界初值選取較為敏感，會造成算法難以收斂［2］。此外，采用配點的直接法對于配點間隔有特殊要求，經柵格化后的數值積分需要步長與配點間隔長度相匹配，否者會造成數值計算上的困難［3］。對于上述軌道優化問題中將不同長度的轉移時間作為顯示優化變量，若采用直接配點法極易造成數值上的不可行。作為啟發式算法——遺傳算法（genetic algorithm，GA）僅計算由目標函數對應的適應度值，無需導數和描述函數的自身特性等其他輔助信息，就可確定進一步的搜索方向和范圍。此外，遺傳算法對轉移過程的時間域劃分方式并不關心，目前已被廣泛應用于解決軌道轉移優化問題［4］。

考慮到多脈沖軌道機動在滿足光照、測控和導航等條件方面具有較大的靈活性，因此工程中多采用多脈沖軌道轉移方式。然而，因涉及參數較多、機動過程更復雜，以及附加其他約束時都使得上述的軌道優化求解越發困難。目前，關于多脈沖的軌道轉移問題已經獲得了大量的研究，對某些特定問題獲得了可行方案。文獻［2］通過計算主矢量值獲得中間脈沖添加位置信息進行多脈沖設計，但無法考慮其他約束條件，如交會末端時刻不固定情況等。此外，大量的文獻［4-8］僅關注軌道轉移，而對于轉移末端時刻和轉移時間均受限這類交會問題未給予足夠的重視。

在多脈沖交會設計中對于脈沖個數往往事先難以確定，需要綜合實際約束條件后多次迭代優化獲得。多脈沖交會問題從數學上可看作是多個兩點邊值問題的拼接，而每個兩點邊值問題都對應一組優化變量，且后一組變量的初始值依賴于前一組計算得到的末端值［8］。可見隨著中間脈沖個數的增加，最終的優化變量個數也隨之成倍增加，在脈沖數未知情況下其優化問題的困難集中體現為優化變量數可變造成數值求解的困難。文獻［7］采用混合遺傳算法進行多脈沖軌道轉移設計，由于樣本基因長度固定僅能處理脈沖個數確定的軌道轉移。盡管文獻［9］采用多層迭代結構進行多脈沖尋優求解，但算法結構復雜，外層優化變量若選取不當極易造成內層優化過程難以收斂。文獻［10］通過引入點火開關函數的時序結構，迭代求解多點邊界值問題獲得最優多脈沖解，但需要人為干預。

本文借鑒文獻［11］中的深空星際轉移遺傳優化算法，通過在常規遺傳算法的基礎上對樣本個體添加隱式基因，使其具有某種長度可變特性，克服了傳統遺傳算法基因長度固定的局限，因而可處理這類優化變量個數可變的尋優問題，具體算法實現將在第2節中詳細介紹。隱式基因的引入在計算上確保了種群各階段進化操作的可行，同時緩解了傳統遺傳算法樣本基因長度固定帶來的優化困難。這種基于隱式基因的遺傳優化求解在算法結構上僅為單層迭代，算法的收斂性完全與常規遺傳算法一致。然而，文獻［11］中隱式基因算法因其自身的概率特性，最終的優化結果存在很大的不確定性，對于轉移時間、末端位置等諸多約束條件也并未加以考慮。

此外，共面橢圓交會導引不同于一般圓軌道轉移，因為需要和目標星交會，它對追蹤器的末端交會時刻、位置和速度均有要求。加之轉移軌道為橢圓軌道，因此存在一個以燃料為基準的最佳離軌轉移時刻，這里僅考慮兩航天器不同初始相位差對最終尋優結果的影響。為此，在建立沖量機動模型［12］時考慮了有端點滑行等待階段的軌道機動，即將初始滑行時間作為優化變量，尋求一系列離散時刻中最佳時間點作為離軌時刻。最后為保證算法始終運算有解，機動過程的最后兩個脈沖采用Lambert方法求解［13］。當脈沖數為2時優化求解則退化為兩脈沖Lambert軌道轉移。考慮到遺傳算法作為一種概率搜索算法，其尋優結果具有一定隨機性，且隨著優化參數增多極易陷入局部最優解［14］，另外也很難同時處理多約束。因此，本文設計了一種含隱式基因遺傳算法與序列二次規劃（sequential quadratic programming，SQP）串行的混合遺傳算法，以保證最后的優化結果的確定性和全局最優性。最后，基于主矢量計算及最優控制判據，可知本文給出的混合遺傳算法獲得了全局最優解。

1 問題描述

多脈沖遠程導引變軌任務規劃問題在數學上是多個兩點邊值問題，其數學模型可表述為：在遠程導引過程中及終端的各種等式、不等式約束下，規劃變軌物理量——初始端滑行時間、變軌次數、變軌時刻、沖量方向和沖量大小，使其給定的推進劑消耗性能指標最優，這里脈沖數事先不確定。另外，因轉移軌道的偏心率造成不同初始相位差在相同轉移時間下，飛行路徑的長短也會存在差異，使得最終優化指標計算結果也隨之變化。上述初始相位差盡管可在交會調相段加以修正，但因存在誤差而造成遠程導引前的相位差并非最佳。為進一步改善優化結果，以性能指標為參考基準搜索最佳轉移時刻。實事上雙星初始相對位置隱含了上述轉移時刻的條件約束，通過離軌脈沖作用前調整追蹤器的軌道位置來獲得最佳轉移時刻。為此，在優化模型中加入初始端點滑行過程，并將滑行時間作為優化設計變量之一。優化計算模型可表示為式（1）、式（2）和式（5）。式（1）給出了優化設計變量xn：

式中，Δt0為初始端滑行時間；Δti（i＝1，2，…，n－1）為相鄰兩脈沖轉移時間；Δvj（j＝1，2，…，n－2）為慣性系下前n－2個脈沖矢量。與以往優化問題不同的是，脈沖數n也作為顯示設計變量之一，因此式（1）中的設計變量個數為可變，對應的約束條件也是可變的。這里優化約束條件為

式中，i＝1，2，…，n－2，n≥2；Δvi為脈沖增量；Φ（rn，vn，tn）表示終端約束條件；Π（ui）為推力約束條件；P（Δt0，…，Δti，…，Δtn－1）是轉移時間約束。函數f和g是追蹤星軌道狀態微分方程，如下：

式中，μ和req為引力常數和地球半徑；控制變量ui＝Δvi；動力學方程（3）僅考慮了地球非球形攝動力J2項。在每步優化迭代過程中經數值積分獲得追蹤器和目標器慣性系下的位置和速度，如式（4）所示：

式中，ti＋1－ti＝Δti為相鄰兩脈沖間的轉移時間，其初始值由遺傳算法提供。轉移時間將整個遠程轉移段分為了若干個間隔不等的區間，通過在其上積分獲得ti時刻的，可得到最終末端時刻tf追蹤星的位置和速度，并與目標星位置和速度比較獲得優化修正量，同時轉移時間亦作為顯示優化變量。最后，優化設計變量數為4·（n－2）＋2，其中數字4對應了脈沖矢量vi和轉移時間Δti二者的向量維數，n為脈沖數且為可變量，“＋”后的數字2對應為初始端的滑行時間和最后兩脈沖的轉移時間。優化性能指標為所有脈沖數增量的總和為

式中，最后兩脈沖計算則由Lambert方法求解。

2 隱式遺傳算法設計

2.1 隱式基因設計

遺傳算法中每個樣本個體都是由不同基因序列構成，這些基因由獨立的設計變量經編碼生成。通常基因長度依賴于設計變量個數，為保證在種群優化過程中的交叉等運算可行，設計變量個數必須固定。這種固定基因長度的遺傳算法僅能處理設計變量數固定的優化問題。對于第1節中的多脈沖軌道交會問題則不再適用，需采用某種方法使得遺傳算法中的樣本基因具有某種長度可變特性。為此，通過在群體庫中的每個樣本添加數量不等的基因，使其所有樣本基因數為可能的最大數，與各自樣本中設計變量所對應的基因數的差值便是新增基因個數。如圖1所示，其中深色部分表示有效基因，對應于實際優化變量；淺色部分表示隱式基因，這里的基因類型分組完全是基于個體基因參與適應度計算與否。

圖1 含隱式基因的樣本個體

2.2 編碼設計

考慮到運算效率和精度，此次采用浮點數編碼。把初始端滑行時間、脈沖的三軸分量和相鄰脈沖間的轉移時間作為編碼變量。為了能處理條件約束以及提高遺傳算法的搜索效率，對設計變量進行了歸一化處理，即引入變量ρi和εi∈［0，1］（i＝1，2，…，n－1）按式（6）進行編碼。

式中，變量ρi和εi在初始隨機生成；Δvmax為最大允許速度增量；Tmax為整個轉移時間上限。隱式基因編碼與常規編碼一致。

2.3 交叉變異運算

表1和表2給出了種群中脈沖數為4和5的兩個任意樣本個體，在相同序號位置對應的基因片段交叉運算過程示意，其中vi∈R4（i＝1，2，3）為慣性系下3個軸方向上的第i個脈沖矢量和點火時刻經實值編碼后的單個基因。

表1 原始樣本基因片

表1中4脈沖樣本個體對應的脈沖矢量決策變量數為10，而5脈沖樣本個體對應變量數則為14。首先定義x4∈R10和x5∈R14分別為4、5脈沖由式（1）所定義的決策向量，為了能對不同脈沖數進行尋優計算，需對4脈沖樣本個體的基因排序號10以后引入隱式基因，即擴維使x′4∈R14。如表1中的、、和即為4脈沖個體樣本中的隱式基因片，以淺色部分凸顯標注。對于不同脈沖數n的樣本個體均可通過引入隱式基因，使其達到最大nmax脈沖數對應維數4·（nmax－2）＋2。由于維數相同，使得不同脈沖數對應的樣本個體可以如常規遺傳算法進行種群交叉運算。

表2 交叉運算后樣本基因片

假定交叉運算隨機發生在樣本個體序列v2所對應的位置。如表2所示脈沖數為4和5的基因片段從v2起止于v3發生了基因互換，這其中包含了隱式基因。表2給出了表1中樣本個體x′4和x5經交叉運算后的新基因序列，這里交叉運算采用實值離散重組［14］，保證了脈沖數為n的基因排序號4·（n－2）＋2后的基因片段始終為隱式基因。對于變異過程則完全與常規遺傳算法的交叉運算一致，如式（7）所示：

可見，引入隱式基因是為了保證種群中具有不同個數設計變量的樣本在運算上可行，同時又可對上述含不同基因數的個體進行統一的數值尋優，進而一次獲得期望的最優軌道轉移解。更為重要的是這種含隱式基因的遺傳算法在收斂性與傳統遺傳算法一致，有效地避免了多層迭代優化內外層相互影響而造成收斂性難以保證的問題。

2.4 適應度計算

根據式（5）給出的性能指標和式（2）中終端條件進行適應度函數設計，其計算公式如下：

式中，變量α、β滿足α＋β＝1。

2.5 自適應調整

為避免早熟和增加種群多樣性，借鑒文獻［16］提出的自適應遺傳算法，使得pc和pm的選取能隨適應度函數式（8）自適應調整，其表達式為

式中，fmax為群體中最大適應度值；favg為每代群體的平均適應度值；f為個體當前適應度值。將式（9）中下標“c”換為“m”即為pm的計算式。

2.6 混合優化求解

由于式（2）中關于末端位置和速度等式約束在遺傳算法中很難加以考慮，而且通過算法獲得的時間域劃分并非最優。加之遺傳算法自身的概率特性使得單純的遺傳算法結果存在很大不確定性［14］。為此，需采用非線性尋優算法對其結果進一步優化。考慮到SQP是求解復雜非結性規劃最有效的方法，而且當約束條件為凸時則優化結果逼近全局最優解［17］。本次混合優化計算采用SQP，其優化求解問題表述為

式中，J是式（5）給出的性能指標；xn為式（1）所定義的決策變量；yi是包含追蹤星位置和速度的狀態變量；f是軌道狀態微分方程，這里遠程導引段結束后的近程逼近段采用R－bar接近方式［1］。為此，變量yend為追蹤器相對于目標器的軌道系下的距離，這里要求在目標星軌道系z軸方向上，即目標星質心與地心連線方向上要相距100 km。在末端速度上則要求與目標星一致。另外，因整個轉移交會段被作用脈沖分成了若干子區間，脈沖作用時刻ti被作為顯示優化變量。考慮因果關系ti＜ti＋1，需要對上述作用時刻優化變量t0，…，ti，…，tn附加如下約束：

由于轉移段中的每一個子區域上的積分初始值是前一子區域的積分值，因此計算式（10）中追蹤星末端值rc是一個串行積分形式

原始優化問題式（10）包含有強非線性約束，而SQP優化算法可通過將原始約束優化問題轉化非約束問題，對迭代點xk處目標函數J的值域附近進行泰勒二階項逼近，簡化后的優化求解問題如式（14）所示，并滿足相應KKT條件。

式中，dk為尋優方向，即為活性約束集合的零空間；Hk為上述轉化后的非約束Lagrangian函數的Hessian矩陣，但計算時采用quasi-Newton方法對其逼近［17］，更新計算

式中，變量qk和sk的求解表達式可參看文獻［17］，而決策變量xk的更新計算公式為

式中，αk為更新步長，該優化迭代過程需要對初始決策變量x0進行合理賦值，否者將造成優化過程不可行［17］，本文采用遺傳算法提供初值。最終，上述遺傳混合優化算法流程如圖2所示。

圖2 含隱式基因的混合遺傳算法流程

3 仿真計算及分析

3.1 仿真初始條件

首先給出兩航天器初始軌道根數，如表3所示。

表3 雙星軌道根數

表3中第1與第2行分別為追蹤星和目標星在UTC時間2013年2月11日20時18分19.3秒時的開普勒軌道6要素，其中追蹤星初始處在橢圓轉移軌道上，目標星在地球同步軌道上。雙星初始相位差為61.99°，目標星的軌道周期為86 176.04 s。

圖3給出了雙星在不同初始相位差，相同轉移時間條件下，兩脈沖速度增量變化，可知不同初始相位差對最終燃料消耗有較大影響。

圖3 不同初始相位角下的兩脈沖幅值變化

表4給出了遺傳算法參數的初始設置，并限定轉移總時間小于目標軌道周期，另外在軌道機動中采用沖量理論及其相關假設［12］。

表4 遺傳算法參數初始設置

這里假定了最大可能脈沖數為4，因在實際中過多的脈沖數反而會降低性能指標。

3.2 仿真結果

按照表4的參數設置，采用圖2給出的算法流程，上述隱式基因混合遺傳算法進行100次蒙特卡羅仿真，計算結果的均值如表5所示。

表5 3脈沖軌道轉移計算結果

表5中的點火時刻是表3所定義的UTC相對時間。按照性能指標式（5）最終解算出3脈沖方式為最優軌道轉移。速度增量總和為209.369 m／s，最后末端位置誤差為1.208 km，速度誤差為2.070 4 m／s，并滿足式（10）給出的全部約束條件。表5中第1個脈沖進行推力加速接近遠地點，在遠地點附近進行軌道轉移脈沖作用，最后一個脈沖則使追蹤器沿著目標軌道飛行，并迫使滿足末端位置和速度約束，即與目標星在軌道系中z軸方向上相距101.208 km。

圖4給出群體適應度值隨遺傳代數變化的過程，表明群體中適應度值較小的個體依次被淘汰，較優個體則被保留并逐漸趨于最優值。

圖4 適應度變化曲線

表6給出了不含隱式基因混合遺傳算法分別針對2、3、4脈沖進行100次蒙特卡羅計算的均值結果，并與含隱式基因混合遺傳算法得到的計算結果進行比較。

表6 不同脈沖數下的計算結果

從表6的計算結果可以看出，不同脈沖數下使用不含隱式基因的混合遺傳算法獲得的解基本一致，而且計算結果的方差較小。在滿足轉移總時間約束條件下，以燃料消耗和最終距離誤差綜合考慮，3脈沖下軌道轉移是最優的，這與含隱式基因混合遺傳算法的結果是一致的。

圖5 軌道轉移相平面示意圖

從圖5可清楚地看到，追蹤器在橢圓轉移軌道遠地點進行的第2次脈沖點火用于軌道轉移，之后的第3次脈沖用于調整末端位置和速度。上面軌道轉移過程與霍曼轉移非常相似，實際上針對表3給出的軌道參數，采用霍曼轉移計算結果是192.597 m／s，然而本文研究的軌道交會與之又有所不同。這里需兼顧目標器末端位置、速度和轉移時間，因此隱含了對最終交會時刻的約束，霍曼轉移并不考慮末端時刻和轉移時間約束，但是二者計算結果的相對偏差僅為8.7%。在不考慮時間約束的情況下，霍曼轉移是共面軌道轉移的最優解［19］，可見本文給出的計算結果非常接近最優解，下面將進一步采用主矢量判據進行計算結果的最優性分析。

3.3 最優判據及主矢量計算

主矢量p定義為關于速度的協態變量，即p≡λv。可將原始脈沖最優控制的必要條件轉為對主矢量的4個條件約束［2］：①主矢量及其一階導數連續；②脈沖作用時刻，主矢量與脈沖反向幅值為1；③主矢量幅值不大于1是多脈沖最優的必要條件；④脈沖作用時刻，端點除外的主矢量幅值導數為零。主矢量通過式（17）計算：

式中，Φ（t，t0）為狀態轉移矩陣，其形式為

依據文獻［18］，4個子矩陣Φ11、Φ12、Φ21和Φ22可有如下表示：

采用式（19）給出的狀態轉移矩陣可處理遠距離橢圓軌道的狀態外推，而主矢量計算如下：

基于前面對主矢量的最優條件和計算公式（20），可作為對本文算法結果的最優性評估的判據，進而驗證本文算法的最優性。

按照式（17）～式（20）進行軌道轉移過程的主矢量計算，其結果如圖6所示。結合表5的仿真結果和3.3節中最優控制判據，可知在脈沖點火時刻主矢量p接近1，而在其他時刻主矢量幅值均不大于1，且主矢量及其一階導數連續，因此表5給出的仿真結果滿足最優控制必要條件。再結合前面與霍曼轉移結果的比較，可知本文給出的算法計算結果無限接近全局最優解。

圖6 軌道轉移過程主矢量變化值

最后對3脈沖下初始端有、無滑行的100次蒙特卡羅仿真均值結果進行比較，如表7所示。

表7 初始端有無滑行結果對比

可見加入初始端滑行后，對性能指標有一定改善，另外不同初始相位差改善程度也有差別。

4 結 論

通過向種群中的樣本個體添加隱式基因，使得遺傳算法具有了某種基因長度可變的特性，本質上是擴大了數值尋優的集合空間，豐富了個體的差異性。在算法結構上僅為單層迭代，使得在收斂性上與傳統遺傳算法一致。基于該隱式基因遺傳算法可同時解出脈沖個數和脈沖矢量等優化變量，而且對整個轉移時間區間進行了合理的劃分。最后，通過采用SQP對遺傳算法的計算結果進一步尋優，進而保證了結果的確定性和最優性。通過比較有等待和無等待階段性能指標值，可知合理地在航天器交會策略中添加等待滑行段可以消耗更少的能量而實現軌道交會。本文盡管僅針對某一特定的初始相位差進行軌道轉移，但因加入了初始端滑行來調整雙星相位差，故該方法可以推廣到任意初始相位差的共面橢圓軌道轉移。

最后基于數值計算結果表明：含隱式基因的混合遺傳算法能夠很好地處理各種約束條件下的優化問題，特別是針對設計變量個數可變的復雜尋優計算，而以往常規遺傳算法對此問題則很難獲得求解。基于主矢量和霍曼轉移計算值可知所獲得的結果是無限逼近于全局最優解。

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Hidden hybrid genes genetic algorithm for multi-impulse rendezvous maneuvering

OUYANG Gao-xiang1，WANG Xiao-li2，SUN Cheng-ming1，YANG Xin1
（1.Academy of Opto-Electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China；2.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100090，China）

The spacecraft rendezvous problem of transferring between two coplanar elliptical orbits with free time is studied，which looks for multi-impulsive transfer at the expense of fuel optimization under lots of constraints.Different number of pulses will change the number of variables to solve optimization problems.Through the introduction of hidden genes in the genetic algorithm，the individuals in the gene groups have a variable-length feature.The optimal solution to the number of pulses and impulse vectors is obtained at the same time.In order to further improve the optimal solution，an initial coast is introduced to be as an optimal variable，which results in the just pulse moment of de-orbit for chaser.Firstly，a genetic algorithm is applied to find initial guess values，and then the sequential quadratic programming（SQP）algorithm is used to iteratively improve the above non-optimal solution and converge to a global optimal transferring.Finally，on the base of the primer vector theory and control optimal criterion，it indicates that the hidden genes hybrid genetic algorithm can serve as an effective optimization method to solve effectively a class of complex problems，in addition the multi-pulse rendezvous guidance law design which includes variable number of variables optimized also can successfully be done.

multi-pulse；coplanar elliptical orbits；hidden genes；hybrid genetic algorithm；sequential quadratic programming（SQP）；primer vector

V 412.4

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.12.22

歐陽高翔（197-7- ），男，高級工程師，博士，主要研究方向為飛行器設計。

E-mail：oygx210＠163.com

王小麗（198-3- ），女，工程師，碩士，主要研究方向為航天器魯棒控制。

E-mail：shalyli＠126.com

孫成明（198-4- ），男，副研究員，博士，主要研究方向為空間目標光學探測與識別。

E-mail：sunchengming2008＠163.com

楊 新（1967- ），男，研究員，博士，主要研究方向為飛行器設計。

E-mail：yangxin＠aoe.ac.cn

1001-506X（2015）12-2810-07

2014- 12- 04；

2015- 05- 10；網絡優先出版日期：2015- 08- 31。

網絡優先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150831.1945.018.html

國家自然科學基金（61308101）資助課題