平面向量在解題中的應(yīng)用

王為權(quán)

摘 要：在新一代的課改中，向量作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)標(biāo)志之一，已經(jīng)進(jìn)入了高中數(shù)學(xué)教材中。向量是溝通幾何與代數(shù)的重要工具，促進(jìn)了幾何的代數(shù)化。有些幾何問題用常規(guī)的幾何證明方法去解決往往會(huì)比較復(fù)雜，那么運(yùn)用向量把“幾何問題”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)運(yùn)算”，會(huì)使解題過程大大的簡(jiǎn)化，同時(shí)也更容易理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常提到的“數(shù)形結(jié)合”的思想。

關(guān)鍵詞：向量；解析幾何；復(fù)數(shù)；數(shù)形結(jié)合；解題

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2015）04-114-02

平面向量是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，平面向量作為一種重要的解題工具，一直是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容，向量的基礎(chǔ)性和工具性一直備受關(guān)注.本文通過一些例子來談?wù)勂矫嫦蛄吭诮忸}中的應(yīng)用.向量在幾何中有著十分廣泛的應(yīng)用。在具體問題當(dāng)中，先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量運(yùn)算，特別是向量數(shù)量積來研究點(diǎn)、線段等幾何元素之間的關(guān)系，最后將結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何問題，特別是在有些情況下，應(yīng)用向量還能起到事半功倍的效果。

一、向量在平面幾何中的應(yīng)用

1、利用向量求直線夾角

例1：已知直線 ，求 和 夾角的余弦值。

2、利用向量研究直線的垂直與平行

3、利用向量求解曲線方程

當(dāng)然向量在幾何問題當(dāng)中還有好多方面的應(yīng)用，在這里僅舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子以說明向量的應(yīng)用問題，巧用向量，就能很容易地解決相關(guān)問題。

二、向量在解析幾何中的應(yīng)用

在直角坐標(biāo)系里研究橢圓，雙曲線，拋物線的性質(zhì)是平面解析幾何的主要內(nèi)容，由于向量與坐標(biāo)有著天然的聯(lián)系，因此，坐標(biāo)結(jié)合向量研究曲線的性質(zhì)更為方便。

例3：（2000年全國(guó)高考題）橢圓 的焦點(diǎn)為F F ，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F P F 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解：F1（- ，0）F2（ ，0），設(shè)P（3cos ，2sin ）

為鈍角

∴

=9cos2 -5+4sin2 =5 cos2 -1<0

解得： ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是（ ）

點(diǎn)評(píng)：解決與角有關(guān)的一類問題，總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值，通過坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式，簡(jiǎn)潔明了。

三、向量在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

在復(fù)平面上，點(diǎn)，向量與復(fù)數(shù)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。可見復(fù)數(shù)與向量有著密切的聯(lián)系，將向量與復(fù)數(shù)結(jié)合起來，可方便地解決某些涉及到旋轉(zhuǎn)的圖形問題。

例5 平面上有兩個(gè)正三角形ABC，A1B1C1（頂點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，如圖7-32），邊BC與B1C1有共同的中點(diǎn)O，求證AA1⊥BB1，且AA1BB1=3 （第六屆俄羅斯奧賽題）。

證：→OB=a、→OB1=b，則

→OA=i3 a， →OA1=i3 b

→AA1= i3 （b-a）， →BB1=b-a

∴→AA1= i3 →BB1，→AA1由→BB1旋轉(zhuǎn)π2并放大3 倍得到，所以→AA1⊥→BB1，且|→AA1|=3 |→BB1|

必須注意，當(dāng)用復(fù)數(shù)表示向量時(shí)，兩向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的復(fù)數(shù)表達(dá)式相差一個(gè)? 或-?的因子。因?yàn)閺?fù)數(shù)沒有內(nèi)積運(yùn)算，所以不能用→AA1·→BB1=0來證→AA1⊥→BB1

四、向量在解決三角問題中的應(yīng)用

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉八芝：向量在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]，鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào)2003年第2期。

[2] 吳雪梅.構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用[J]，2008版

[3] 滕文秀.構(gòu)造法證明不等式例談[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2008，版

[4] 袁擁軍.中學(xué)生數(shù)學(xué).2007年3月上.第317期（高中）

[5] 張 卓·淺議向量運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006