重復控制在磁懸浮高速轉子振動抑制中的應用*

韓邦成， 劉 洋 ， 鄭世強

(1. 北京航空航天大學慣性技術重點實驗室 北京，100191)

(2. 新型慣性儀表與導航系統技術國防重點學科實驗室 北京，100191)

重復控制在磁懸浮高速轉子振動抑制中的應用*

韓邦成1，2， 劉 洋1，2， 鄭世強1，2

(1. 北京航空航天大學慣性技術重點實驗室 北京，100191)

(2. 新型慣性儀表與導航系統技術國防重點學科實驗室 北京，100191)

針對高速磁懸浮電機磁軸承的不平衡振動問題，分析了磁懸浮電機轉子不平衡振動的周期性特性，建立了磁軸承不平衡力模型，提出了一種用于抑制高速磁懸浮電機磁軸承不平衡振動的插入式重復控制器，對閉環系統的穩定性、穩態性能和干擾抑制能力進行了分析，并進行了仿真和實驗驗證。在4kW磁軸承電機上進行的實驗結果表明，該重復控制器有效地抑制了轉子的不平衡振動，在10 kr/min的轉速下，轉子x，y向位移峰峰值分別減小了33%和37%，轉頻處轉子x，y向位移振動峰值分別減小了42.1%和45.4%，有效提高了磁懸浮軸承的控制精度和穩定性。

磁懸浮電機； 磁軸承； 不平衡振動； 重復控制器

引 言

主動磁懸浮軸承作為一種新型的機電一體化產品，通過控制系統主動控制電磁力以支承轉子，并以其無接觸、無摩擦、無需潤滑、高精度、長壽命等優點[1-6]，已廣泛應用于航天和民用的眾多領域[7]，而磁懸浮電機就是磁懸浮軸承的應用之一。隨著磁懸浮技術的日益成熟，磁懸浮電機被廣泛應用到諸如磁懸浮分子泵、空氣壓縮機等民用產品中。由于磁懸浮分子泵和空氣壓縮機等產品性能的要求，其主要動力部件——磁懸浮電機，必須在高轉速下才能提升產品的性能指標。然而，由于材料分布不均勻和機械加工、裝配精度等原因，磁軸承轉子質量分布不可能完全均勻，從而造成其慣性中心軸與其幾何中心軸不重合，導致轉子在高速旋轉時產生很大的同轉頻的振動。如果不對這些振動進行抑制，則會嚴重影響磁懸浮電機的穩定性和安全性，甚至損壞電機。

磁軸承不平衡振動的抑制自20世紀70年代引起研究人員關注后，取得了重要的發展，很多抑制方法先后被提出。如在控制反饋回路中添加陷波器[8]，濾除控制信號中的同頻成分，但因為串入陷波器改變了閉環傳遞函數，嚴重影響系統臨界頻率附近的穩定性。最小均方(least mean square，簡稱LMS)自適應濾波的方法被廣泛應用于磁軸承不平衡位移和不平衡電流的濾除[9]，無需知道系統影響系數矩陣T，便可實現轉子不平衡控制，但計算量較大。Shafai等[10]提出了一種自適應平衡方法，通過自適應能量辨識環節獲得與輸入同頻信號幅值相同、相位相反的疊加信號，使磁軸承對同頻信號不響應。Mohamed等[11]采用Q參數方法對不平衡擾動進行了辨識與抑制，但只進行了仿真研究。此外，國內外研究人員還提出了將變增益H∞算法、神經網絡算法等先進控制算法引入磁軸承不平衡控制，但其共同的缺點是算法復雜，不易實現，計算量大，容易造成高轉速下的計算延遲，影響高速時的穩定性。中野道雄[12]提出的重復控制方法已被證明對周期性擾動具有很好的抑制作用。重復控制是一種基于內模原理的控制方法，可實現對周期性信號的高穩態精度跟蹤控制[13-15]。重復控制方法與其他控制方法相比有諸多優點，如充分利用磁軸承轉子擾動信號的周期重復性，減輕控制難度，算法簡單，具有較好的穩態性能等。

筆者將一種插入式重復控制器應用在磁軸承控制中，用以消減轉子位移信號中的同頻分量，從而抑制磁軸承轉子因其質量不平衡而引起的周期性振動，減小轉子的位移跳動量，同時進行了仿真，并以一臺4kW磁懸浮電機為實驗對象進行了實驗驗證。

1 磁軸承轉子不平衡振動的周期性特性

圖1為主動磁軸承結構示意圖，采用電渦流位移傳感器測量轉子位移信號，位移信號經過數字控制器的處理產生電流控制信號，由控制電流產生電磁力將轉子懸浮在穩定位置。主動電磁軸承的電磁力表達式為

(1)

其中：n為電磁線圈的匝數；A為磁鐵表面積；μ0為真空磁導率；s0為轉子在平衡位置時的位移。

圖1 磁軸承結構示意圖Fig.1 Structure of a magnetic bearing

在工作點附近施加于轉子的電磁力可以近似線性化[1]為

Fm=khx+kiix

(2)

其中：kh；ki分別為位移剛度和電流剛度。

單端磁軸承平面處的轉子剖面圖如圖2所示。假設轉子的幾何中心面與慣性中心面在同一個平面，轉子繞幾何中心旋轉。Og為轉子的幾何中心，設其與磁軸承中心重合，Oi為轉子的慣性中心，ε為質量偏心，θ為初始相位。當轉子繞軸承中心旋轉時，由于質量偏心而產生的離心力，即不平衡力為

(3)

其中：fubx,fuby分別為x,y方向的不平衡力；ω為轉子轉速；m為轉子質量。

圖2 軸承平面處轉子剖面示意圖Fig.2 Section plane of the rotor in the position of a magnetic bearing

根據牛頓第二定律，轉子的運動方程可寫為

(4)

其中：Fmx，Fmy分別為x,y方向的軸承力。

將式(3)代入式(4)得到

(5)

在比例積分微積分(proportional integral derivative，簡稱 PID)控制方式下，式(5)中的電流可表示為

(6)

其中：kP，ti和kd為PID的控制參數。

將式(6)代入式(5)，求解方程的穩態解，可得到

(7)

由式(7)可以看出，轉子的位移量中包含由質量不平衡帶來的與轉速ω同頻的干擾信號，因此，可以將此干擾作為加到系統中的周期性擾動進行處理。

2 用于磁軸承系統的重復控制器的設計

重復控制思想源于控制理論內模原理，它是把作用于系統外部信號的動力學模型植入控制器，從而構成高精度反饋控制的一種設計思想。從本質上看，重復控制就是通過對誤差的周期性補償，實現穩態的無靜差目標。

當內模中的數學模型描述的是周期性信號時，閉環控制系統就能無靜差地跟蹤周期信號。如果系統的給定信號或擾動為單一頻率的正弦信號，那么只要在控制器內植入與給定信號或擾動同頻的正弦信號模型，即可實現系統的無靜差跟蹤。理想的重復控制器如圖3所示，但是這種結構的控制器的穩定性對G(s)的參數極其敏感，很容易受到干擾而進入不穩定的區域。

圖3 理想重復控制框圖Fig.3 Block diagram of an ideal repetitive controller

筆者采用了插入式的重復控制結構，相比于理想重復控制結構有著諸多優點，如：重復控制器的設計可以與原始系統控制器的設計相互獨立；對于一個沒有使用重復控制的系統，不需要對原系統參數做任何修改，只需要將延時環節和補償器并聯到前向通道就可以將重復控制器插入到原始系統中。忽略陀螺效應，單端磁軸承x，y兩向可以認為是獨立解耦的，引入插入式重復控制器的單自由度磁軸承系統控制框圖如圖4所示。

圖4 引入插入式重復控制器的磁軸承系統控制框圖Fig.4 Block diagram of magnetic bearing controlling system with plug-in repetitive controller

圖4中虛線內部分為插入式重復控制器，其中：T為擾動周期；e-sT為延時環節，是實現誤差周期性補償的關鍵模塊；Q為延遲環節的增益，其值大小與系統的穩定性與穩態性能有關；K(s)為補償器，用于保證系統的穩定行并減小跟蹤誤差；C(s)為系統原有的控制器；P(s)為被控對象。連續系統中的延時環節e-sT在離散系統中可表示為z-N，其中：N=fs/fd；fs為系統的采樣頻率；fd為擾動頻率。

重復控制器的設計實際上就是對Q和補償器K(s)的設計，其設計原則是在滿足穩定性的前提下，盡量提高誤差跟蹤性能和干擾抑制能力等性能指標。

2.1 重復控制器參數的選取與穩定性的關系

重復控制器設計的首要依據是引入重復控制單元后系統的穩定性，由小增益定理，可以得到插入式重復控制系統的指數漸進穩定條件[16]如下：

1)C(s)P(s)在虛軸上沒有零點；

2) [1+C(s)P(s)]-1C(s)P(s)為穩定的最小相位傳遞函數；

穩定條件1和2為引入重復控制器之前的原始系統的穩定性條件，與插入式重復控制器的設計無關，而傳統PID控制器已經使該閉環系統成為一個穩定的系統，因此，重復控制器的設計就變成了適當確定Q和K(s)，使其在滿足穩定條件3的前提下，提高重復控制器的性能。

系統原有的控制器C(s)采用的是PID控制，微分部分采用不完全微分，故其傳遞函數為

(8)

式(8)中參數的取值如表1所示。

P(s)為包括磁軸承執行機構、被控轉子和傳感器放大倍數在內的整體的傳遞函數，根據圖4，可推導出其表達式為

(9)

其中：kAMP為功放倍數；ki為電流剛度；wa為功率放大器截止頻率；ks為傳感器增益；kh為位移剛度，具體數值如表1和表2所示。

Q作為延時環節的系數，其選取一般有兩種方法，一是將其設計為低通濾波器，二是將其設為略小于1的常數。當選作低通濾波器時，可以增強系統低頻諧波抑制能力，并顯著提高基波幅值精度，但設計比較復雜[17]。筆者將Q選取為略小于1的常數，如0.95～0.98，其取值的原則主要是為了盡量提高重復控制器的穩態誤差性能和干擾抑制能力。當Q越小，系統的魯棒性能越好，但穩態誤差就會越大；當Q越接近于1，系統輸出的穩態精度越高，但容易造成系統振蕩。另外，可根據系統的實際運行情況適當地在線調整Q值。

補償器K(s)的作用之一在于保證系統的穩定性，若無補償器K(s)，則A的幅頻曲線如圖5中的虛線所示，無法滿足穩定條件3。補償器K(s)的另一個作用是減小跟蹤誤差，有效地增大運行帶寬。

圖5 A值與頻率關系圖Fig.5 Value of A in frequency domain

為保證穩定條件3，取A值小于1時對應的補償器參數a和k的值，如取k=0.1，a=0.1，則A的無窮范數如圖5中的實線所示。另外，可根據系統運行的具體情況，通過試湊法在線調整其取值。

圖6 A的幅值與補償器參數a和k關系圖Fig.6 Value of A in relationship with parameter a and parameter k

2.2 Q的取值與重復控制器性能的關系

系統的誤差傳遞函數為

e(s)=

(10)

其中：r(s)為目標輸入。

式(10)可改寫為

e(s)=

(11)

等式右邊第2項為插入重復控制器之前的系統誤差函數，第1項則可以稱為重復控制器的誤差衰減函數。在重復頻率點，e-jwT=1，則誤差衰減函數的幅值為

(12)

式(12)反映了重復控制器對周期性誤差信號的跟蹤能力，誤差衰減函數的幅值越接近于0，說明控制器對誤差信號的跟蹤能力越強，由式(12)可見，在保證系統穩定的基礎上，盡量使Q等于1，可有效提高系統的跟蹤能力。

控制系統的靈敏度函數能反映出系統的擾動抑制能力。系統的靈敏度函數可表示為

(13)

設等號右邊的第1項為原始靈敏度函數，等號右邊第2項為引入重復控制器之后的系統的靈敏度增益，反映的是引入重復控制器之后系統靈敏度的變化，其幅值越接近于0，則說明控制器對干擾的抑制能力越強。設

(14)

在頻率重復點，e-jwT=1。當Q接近于1時，M的值近似等于零，說明對干擾有很好的抑制作用。

3 仿真及實驗驗證

3.1 仿真驗證

為驗證重復控制器對周期性擾動的抑制能力，對磁懸浮軸承系統進行了仿真。由于磁軸承系統徑向4個通道可以認為是獨立解耦的，筆者只對其中一個通道進行了仿真。

表1 仿真控制器參數

Tab.1 Parameters of the simulated controller

參數名稱數值kp3kd0．01231kf0．00028261Ti12．5786ks6250kAMP0．1

圖7為使用原始PID控制方法與加入重復控制器的情況下轉子徑向位移的仿真波形對比，圖中虛線為使用原始PID控制的轉子位移波形，實線為加入重復控制器的轉子位移波形。由圖可以看出，重復控制器對于周期擾動信號有著明顯的抑制作用，轉子的位移峰峰值衰減了76.5%。

圖7 轉子位移仿真曲線對比Fig.7 A comparison of simulated displacements of the rotor

在原有PID控制器工作過程中插入重復控制器，轉子的位移波形如圖8所示。設置在仿真時間第0.05s之前，系統采用傳統控制器控制，在第0.05s時，加入重復控制器。

圖8 轉子位移仿真曲線Fig.8 The simulated displacement of the rotor

由仿真結果可以看出，在原有控制系統運行過程中可以直接切換到重復控制模式，轉子的位移峰峰值經過一定的響應時間后衰減到期望的幅值，并維持穩定狀態。

3.2 實驗驗證

筆者選用的實驗平臺是實驗室自主研制的4kW高速磁懸浮電機，如圖9所示。控制系統采用TMS320F28335+FPGA數字控制系統，根據轉子位移信號，計算控制量，生成PWM，驅動功放產生電流作用于磁軸承，實時控制磁懸浮高速轉子。徑向磁軸承技術參數如表2所示。

圖9 4 kW永磁偏置磁懸浮電機實驗平臺Fig.9 Experimental platform of a 4 kW magnetic suspension motor

表2 徑向磁軸承技術參數

Tab.2 Parameters of the radial magnetic bearing

參數名稱數值轉子軸質量/kg 6．75位移剛度/(N·μm-1)-0．70單邊保護間隙/mm0．2單邊磁間隙/mm0．4磁軸承線圈電阻/Ω3．03磁軸承線圈電感/mH22．4

圖10為磁軸承在加入重復控制器時，靜浮狀態下的沖擊響應曲線。轉子在0.092s時刻受到激勵作用，并在0.15s之前回到平衡位置，說明原始控制系統在加入重復控制器之后仍然具備良好的穩定行。

圖10 轉子沖擊響應曲線Fig.10 Shock response curve of a suspended rotor

圖11為轉子轉頻為167Hz，即轉速為10kr/min時，采用傳統PID控制和加入重復控制器時由位移傳感器采集到的轉子A端位移信號，從圖中可以直觀地看到，轉子的位移跳動量明顯減小。傳統PID控制下轉子x向位移峰峰值為0.039mm，y向位移峰峰值為0.038mm。加入重復控制器后轉子x向位移峰峰值為0.026mm，y向位移峰峰值為0.024mm，分別減小了33%和37%。

圖11 轉子位移跳動量Fig.11 Rotor's displacement

圖12為將圖11中的位移信號進行譜分解之后的各個頻率點處的位移幅值。由圖可以看出，在轉頻附近轉子位移幅值最大。虛線為采用傳統PID控制的轉子位移頻譜曲線，轉頻處x向最大位移幅值為0.247 5mm，y向最大位移幅值為0.207 5mm。實線為加入重復控制器之后的轉子位移頻譜曲線，轉頻處x向最大位移幅值為0.143 3mm，y向最大位移幅值為0.113 3mm，衰減率分別為42.1%和45.4%。

圖12 轉子位移信號頻譜圖Fig.12 Rotor's displacement in frequency domain

4 結束語

筆者針對磁懸浮軸承不平衡振動的周期性特性，設計了一種應用于磁懸浮電機的插入式重復控制器，分析了控制器的穩定性、穩態誤差以及干擾抑制能力等特性，并進行了仿真和實驗。實驗以一臺4kW磁懸浮電機為平臺，在電機轉速為10kr/min時加入重復控制器，轉頻處的轉子x,y向位移幅值分別衰減了42.1%和45.4%，有效地抑制了轉子的同頻振動，提高了系統的控制精度。實驗結果表明，所提出的重復控制器具有較強的工程實用價值。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.014

*國家自然科學基金資助項目(61203203);國家重大科學儀器設備開發專項基金資助項目(2012YQ040235)

2013-01-28；

2013-03-08

TP273; TH133

韓邦成，男，1974年2月生，副教授。主要研究方向為磁懸浮技術及應用、多學科設計優化。曾發表《磁懸浮控制力矩陀螺高速轉子的優化設計》(《光學精密工程》2006年第14卷第4期)等論文。 E-mail：Hanbangcheng@buaa.edu.cn