基于模態(tài)相似指數(shù)的PRCE虛假模態(tài)剔除*

章國穩(wěn), 馬婧華, 陳 卓

(1.杭州電子科技大學生命信息與儀器工程學院 杭州，310018) (2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044)

(3.重慶交通科研設(shè)計研究院橋梁結(jié)構(gòu)動力學國家重點實驗室 重慶，400067)

基于模態(tài)相似指數(shù)的PRCE虛假模態(tài)剔除*

章國穩(wěn)1, 馬婧華2, 陳 卓3

(1.杭州電子科技大學生命信息與儀器工程學院 杭州，310018) (2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室 重慶，400044)

(3.重慶交通科研設(shè)計研究院橋梁結(jié)構(gòu)動力學國家重點實驗室 重慶，400067)

針對多參考點復指數(shù)法虛假模態(tài)影響識別結(jié)果問題，提出了基于模態(tài)相似指數(shù)的虛假模態(tài)剔除方法。通過對系數(shù)矩陣施加不同的約束可以獲得兩組計算結(jié)果，兩組計算結(jié)果中，同一物理極點會出現(xiàn)于同一位置，而虛假極點則隨機分布。提出模態(tài)相似指數(shù)衡量兩組結(jié)果中同一極點的相似程度，對每一結(jié)果計算模態(tài)相似指數(shù)，根據(jù)虛假模態(tài)相似指數(shù)遠大于物理模態(tài)相似指數(shù)的特點剔除計算結(jié)果中由噪聲、模型過估計等因素引起的虛假模態(tài)。利用改進多參考點復指數(shù)法對一個3自由度的線性時不變系統(tǒng)和重慶朝天門長江大橋模型進行辨識，實驗結(jié)果表明，本研究方法可以在保留物理模態(tài)的前提下有效剔除計算結(jié)果中的虛假模態(tài)。

模態(tài)分析； 多參考點復指數(shù)法； 虛假模態(tài)； 穩(wěn)定圖

引 言

模態(tài)參數(shù)識別技術(shù)在故障診斷[1-2]、動力響應分析以及模型修正等領(lǐng)域發(fā)揮著重要的作用。多參考點復指數(shù)法(poly-reference complex exponential，簡稱PRCE)[3]是一種多輸入多輸出整體識別法，是目前商業(yè)模態(tài)分析軟件包中的主要分析方法之一[4]。該方法不受阻尼大小、模態(tài)密集程度和噪聲干擾等限制，對實模態(tài)及復模態(tài)均可使用，同時利用所有激勵點和響應點的數(shù)據(jù)進行分析,從總體上識別模態(tài)參數(shù),具有很高的識別精度。以脈沖響應函數(shù)為輸入數(shù)據(jù)，聯(lián)合自然激勵技術(shù)(natural excitation technique, 簡稱NExT)[5]或隨機減量 (random decrement, 簡稱RD)[6]后，可進行環(huán)境激勵下結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別。

PRCE識別過程中如何準確確定結(jié)構(gòu)階次是關(guān)鍵，為了避免遺漏物理模態(tài)，通常先對系統(tǒng)階次進行過估計，然后從含有虛假模態(tài)的結(jié)果中選取物理模態(tài)。目前，物理模態(tài)的選取主要是利用穩(wěn)定圖[7]完成，在穩(wěn)定圖中，滿足條件的穩(wěn)定極點理論上被認為是系統(tǒng)的真實極點,從而可以確定出系統(tǒng)的物理模態(tài)。但是在采集信號噪聲污染嚴重時，會出現(xiàn)大量的噪聲模態(tài)，其與模態(tài)過估計帶來的計算模態(tài)會嚴重干擾正確結(jié)果的拾取。因此，為PRCE引入一種虛假模態(tài)剔除方法是一項亟待解決的工作。

筆者針對PRCE的虛假模態(tài)問題，提出一種模態(tài)相似指數(shù)的模態(tài)可靠性衡量指標。在計算過程中對系數(shù)矩陣施加不同約束獲得兩組計算結(jié)果，利用模態(tài)相似指數(shù)衡量兩組結(jié)果之間的相似程度，根據(jù)虛假模態(tài)相似指數(shù)值遠大于物理模態(tài)相似指數(shù)值的特點剔除計算結(jié)果中由噪聲、模態(tài)過估計等因素引起的虛假模態(tài)，并通過一個數(shù)值仿真以及實例分析驗證了本研究方法的有效性。

1 多參考點最小二乘復指數(shù)法原理

定義一個N階系統(tǒng)在l點單位脈沖作用下的k維離散時間響應向量

(1)

其中：T為時間采樣間隔。

可得系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程[8]為

(2)

其中:U∈R2N×2N為系統(tǒng)特征向量矩陣；Z=eΛT,Λ∈C2N×2N為一個對角陣，對角線由系統(tǒng)極點λi組成；G∈Rk×2N為觀察矩陣；z∈2N×1為系統(tǒng)初始狀態(tài)。

由式(1)和式(2)可得

(3)

根據(jù)普羅尼理論，必存在一個滿秩矩陣Q∈Rk×k(p+1),使得

(4)

將Q劃分為(p+1)個k×k的子矩陣

(5)

結(jié)合式(3)、式(4)以及式(5)可得

(6)

其中：F=GU。

結(jié)合式(3)和式(6)得

(7)

不失一般性，可令B(0)為單位矩陣，式(7)可以寫為

(8)

若激勵點l=1,2,…,m，m>k，時間序列起點n′=0,1,…,n，令B=[B(1)B(2) …B(p)]，可得

(9)

其中

Rl=[xl(p)xl(p+1) …xl(p+n′-1)]

式(9)是一個過定方程，可得B的最小二乘解

(10)

在得到矩陣B后可利用其得到系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，令z=eλT，于是可構(gòu)造z的矩陣多項式方程

(11)

解出z的p個根zi(i=1,2,…,p), 可以得到系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比

(12)

由上述多參考點復指數(shù)法識別過程可知，系統(tǒng)階次N需要事先給定，對于實際結(jié)構(gòu)往往難以精確給定，如果估計過低，將導致一些物理模態(tài)不能被提取。為了避免模態(tài)遺漏的情況出現(xiàn)，需要對系統(tǒng)階次進行過估計，然后利用一些工具在計算結(jié)果中提取物理模態(tài)。

穩(wěn)定圖是一種模態(tài)定階的有效工具，常被用在多參考點復指數(shù)法的物理模態(tài)拾取中。但是在實際應用中，由于模型階數(shù)的過估計，物理模態(tài)和大量的虛假模態(tài)都會出現(xiàn)在穩(wěn)定圖上，容易出現(xiàn)虛假穩(wěn)定點，將對物理模態(tài)的拾取造成很大麻煩。因此，在構(gòu)造穩(wěn)定圖前，如能先對部分虛假模態(tài)進行抑制，將使穩(wěn)定圖變得更加清晰，有利于后期物理模態(tài)拾取，保證識別結(jié)果的可靠性。筆者針對多參考點復指數(shù)法的虛假模態(tài)問題，提出一種模態(tài)可靠性衡量指標，以剔除計算結(jié)果中的虛假模態(tài)。

2 利用模態(tài)相似指數(shù)剔除虛假模態(tài)

由上述多參考點復指數(shù)法識別過程可看出, 矩陣Q是一個過定方程組的最小二乘解。為了去除系數(shù)的冗余，一般需要事先對Q進行約束，如在式(8)中令B(0)為單位矩陣。不同的系數(shù)約束，將導致不同的計算過程。

對于式(6)，令B(p)為單位矩陣，可以得到

(13)

(14)

其中

式(9)為一個過定方程，可得B1的最小二乘解

(15)

通過式(10)和式(15)都可以得到矩陣Q，對于物理極點來說，它反映了響應信號中所含的信息，不同的計算過程將得到一致的結(jié)果；而虛假極點是由噪聲、階次過估計等因素引起的，具有不確定性，不同的計算方法將會得到不同的虛假極點，即兩種方法所得結(jié)果將不會一致。

以一數(shù)值仿真說明上述兩種算法對虛假模態(tài)的影響。一個兩自由度線性時不變系統(tǒng)在一隨機激勵下振動，固有頻率分別為13.78，18.38 Hz，阻尼比為0.12%,0.16%。分別用式(10)和式(15)對響應信號進行參數(shù)識別(系統(tǒng)階數(shù)假設(shè)為38)，兩種算法結(jié)果的極點分布情況如圖1所示。

可以看出，兩種算法結(jié)果在物理極點(系統(tǒng)模態(tài))處所得的結(jié)果一致，成對地出現(xiàn)，說明兩種算法都有效地識別出了系統(tǒng)的物理模態(tài)；但虛假極點(虛假模態(tài))則是隨機分布，沒有成對出現(xiàn)。可以利用虛假模態(tài)和物理模態(tài)的上述特點剔除計算結(jié)果中的虛假模態(tài)。

圖1 極點分布圖Fig.1 The distribution of poles

定義模態(tài)相似指數(shù)

(16)

其中：df，dξ分別表示頻率、阻尼比的容差，本研究選取為0.01，0.05；Wf，Wξ為頻率、阻尼比在計算相似系數(shù)中的權(quán)值，本研究取為0.5，0.5。

圖2給出了前述二階系統(tǒng)各識別模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)(modal similarity index,簡稱MSI)值，由圖可知，物理模態(tài)的MSI值要遠小于虛假模態(tài)的MSI值，因此可用MSI判斷識別相應模態(tài)是否為虛假模態(tài)。

利用模態(tài)相似系數(shù)剔除虛假模態(tài)，并將其結(jié)合穩(wěn)定圖進行物理模態(tài)拾取的基本步驟如圖3所示。

1) 分別利用式(10)和式(15)計算系統(tǒng)的系數(shù)矩陣B，得到兩組結(jié)果(頻率f和阻尼比ξ)。

2) 通過式(16)計算兩組結(jié)果中頻率最相近的模態(tài)i,j的模態(tài)相似指數(shù)rij，根據(jù)其值剔除計算結(jié)果中的虛假模態(tài)。如果模態(tài)i,j之間的頻率、阻尼比都在容差之內(nèi)，那么rij將小于1，因此一般設(shè)定距離閾值為1。如果rij小于閾值，則可以認為它們屬于同一模態(tài)，予以保留用以繪制出穩(wěn)定圖；反之，則可以認為是虛假模態(tài)予以剔除。

圖2 各估計模態(tài)的MSI值Fig.2 MSI for the estimated mode

圖3 利用模態(tài)相似指數(shù)剔除虛假模態(tài)過程Fig.3 The flowchart of spurious modes removing by MSI

3 數(shù)值算例

為了驗證本研究方法的有效性，設(shè)計了一個3自由度振動系統(tǒng)的數(shù)值仿真算例，結(jié)構(gòu)見圖4。

系統(tǒng)的各物理參數(shù)如表1所示，在該系統(tǒng)的m1處施加一隨機激勵f1，對3個測點加速度響應進行采集，采樣頻率為100 Hz，采樣時間為20 s，給每個通道加10%的隨機噪聲。

圖4 3自由度振動系統(tǒng)Fig.4 A system of 3 degrees of freedom

表1 系統(tǒng)的物理參數(shù)

Tab．1 Physical parameters of the system

i1234mi/kg888-ci/(N·s·m-1)3．51．523．5ki/(kN·m-1)14121014

表2 系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)理論值

Tab．2 The theoretical value of the modal parameter

Nf/Hzξ/%14．98970．365228．86290．6026311．15900．6061

依次以每個測點為參考點，利用NExT方法得到9個協(xié)方差信號，對協(xié)方差信號用多參考點復指數(shù)法進行分析，假定模型階數(shù)N從2到80。令lgMSI=lg(MSIi/max(MSIi))。圖5為各估計模態(tài)相應的歸一化模態(tài)相似指數(shù)柱狀圖(模型階次為80)。由圖5可見，3個物理模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)要遠小于虛假模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)。

圖5 各估計模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)(N假設(shè)為80)Fig.5 MSI for the estimated mode(N is assumed to be 80)

分別用傳統(tǒng)方法和本研究方法構(gòu)造出穩(wěn)定圖(其中:s表示穩(wěn)定點；v表示頻率和振型穩(wěn)定的點；d表示頻率和阻尼比穩(wěn)定的點；f表示頻率穩(wěn)定的點)。特征頻率、阻尼比、模態(tài)振型的容差分別為0.01，0.1，0.02。圖6為用傳統(tǒng)方法得到的穩(wěn)定圖。隨著系統(tǒng)階次的增大，穩(wěn)定圖上出現(xiàn)了大量極點，有系統(tǒng)的物理極點，同時也摻雜了許多虛假極點。在模態(tài)參數(shù)拾取時這些虛假極點將干擾物理極點的正確拾取，從而影響結(jié)果的可靠性。計算各假設(shè)模型階數(shù)下識別結(jié)果的模態(tài)相似指數(shù)，將模態(tài)相似指數(shù)小于1的模態(tài)構(gòu)造穩(wěn)定圖，結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)理論值(見表1)可知，圖中只有系統(tǒng)的物理模態(tài)極點，沒有了虛假極點的干擾。圖7為利用筆者提出方法得到的穩(wěn)定圖，結(jié)合系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)理論值(見表2)可以看出，原始穩(wěn)定圖中的虛假模態(tài)已大部分被清除，所構(gòu)造的穩(wěn)定圖將更加容易提取物理模態(tài)參數(shù)，可以在保留物理模態(tài)情況下有效剔除計算結(jié)果中的虛假模態(tài)。

圖6 傳統(tǒng)方法所得穩(wěn)定圖(數(shù)值算例)Fig.6 The stabilization diagram obtained by classical method (simulation example)

圖7 本研究方法所得穩(wěn)定圖(數(shù)值算例)Fig.7 The stabilization diagram obtained by improved method (simulation example)

4 實例分析

將本研究方法應用于重慶朝天門長江大橋模型進行模態(tài)參數(shù)識別。橋梁在橫向隨機激勵下振動，在橋梁的主拱橫向上共設(shè)置了8個測點，由加速度傳感器采集，每個測點的數(shù)據(jù)記錄長度為8 000，采樣頻率為200 Hz。實驗現(xiàn)場如圖8所示。

圖8 重慶朝天門大橋模型實驗現(xiàn)場Fig．8 The experimental site of the Chongqing Chaotianmen Bridge model

選取2個參考測點，得到18個協(xié)方差信號，對18個協(xié)方差信號采用PRCE進行分析，模型階數(shù)N假設(shè)從2到80，分別用傳統(tǒng)方法和筆者所提出的方法構(gòu)造穩(wěn)定圖，構(gòu)造參數(shù)與仿真數(shù)例中的相同。

圖9是用傳統(tǒng)方法構(gòu)造出來的穩(wěn)定圖，圖10是用本研究方法所構(gòu)造的穩(wěn)定圖，將模態(tài)相似指數(shù)大于1的模態(tài)作為虛假模態(tài)剔除。可以看出，隨著階次的增高，原始穩(wěn)定圖中出現(xiàn)了大量虛假模態(tài)，要從中拾取模態(tài)較為困難，而用本研究方法所構(gòu)造的穩(wěn)定圖則少了許多干擾，讓模態(tài)拾取變得容易。

將本研究方法與特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法(eigensystem realisation algorithm，簡稱ERA)[9]和多參考點最小二乘實現(xiàn)算法(polyreference least-squares complex frequency-domain estimator，簡稱p-LSCF)[10]方法所得到的結(jié)果進行對比，如表3所示。可以看出，3種方法的識別結(jié)果在頻率、阻尼比以及振型(相互之間的MAC值都接近于1)上是一致的，都識別出了5階模態(tài)。結(jié)合圖10，本研究方法構(gòu)造的穩(wěn)定圖中清晰展示出了這5階模態(tài)。綜上，利用模態(tài)相似指數(shù)可以在保留物理模態(tài)的情況下有效剔除虛假模態(tài)。

圖9 傳統(tǒng)方法所得穩(wěn)定圖(實例應用)Fig.9 The stabilization diagram obtained by classical method(application example)

圖10 本研究方法所得穩(wěn)定圖(實例應用)Fig.10 The stabilization diagram obtained by improved method(aplication example)

表3 參數(shù)識別結(jié)果對比

5 結(jié)束語

針對多參考點復指數(shù)法虛假模態(tài)問題，提出一種模態(tài)可靠性衡量指標稱之為模態(tài)相似指數(shù)。在識別過程中對系數(shù)矩陣施加不同約束獲得兩組計算結(jié)果，利用模態(tài)相似指數(shù)衡量兩組結(jié)果之間的相似程度，根據(jù)多參考點復指數(shù)法識別結(jié)果中物理模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)遠小于虛假模態(tài)的模態(tài)相似指數(shù)的特點剔除虛假模態(tài)。通過對一個3自由度線性時不變系統(tǒng)和重慶朝天門長江大橋模型進行辨識，驗證了該方法在保留物理模態(tài)的情況下能有效剔除虛假模態(tài)，從而提高了識別結(jié)果的可靠性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.015

*國家自然科學基金資助項目(51375514)；浙江省教育廳一般科研資助項目(GK14080127043)；浙江省質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督系統(tǒng)科研資助項目(20130272)

2013-08-13；

2013-10-09

TB122； TU311

章國穩(wěn)，男，1985年10月生，博士、講師。主要研究方向為實驗模態(tài)分析、結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測。曾發(fā)表《基于數(shù)據(jù)縮減的分頻段小波模態(tài)參數(shù)快速識別》(《振動工程學報》2012年第25卷第1期)等論文。 E-mail：zgw137@163.com