雙缸型直線壓縮機非線性動力學特性分析*

2015-06-09 12:36:07秦朝舉高玉國原彥鵬宋立業

振動、測試與診斷 2015年3期

秦朝舉, 高玉國, 原彥鵬, 宋立業

(1.華北水利水電大學機械學院鄭州，450045) (2.北京理工大學機械與車輛學院北京，100081)

雙缸型直線壓縮機非線性動力學特性分析*

秦朝舉1,2, 高玉國1, 原彥鵬2, 宋立業2

(1.華北水利水電大學機械學院鄭州，450045) (2.北京理工大學機械與車輛學院北京，100081)

為獲得雙氣缸式直線壓縮機工作過程中的活塞運動特性，耦合壓縮機氣體作用力方程和直線電機推力方程，建立了工作過程活塞非線性動力學模型。運用能量平衡原理對非線性振動方程進行了求解，獲得了動力學模型的近似解析解，分析了活塞運動的穩定性特點和工作過程幅頻關系。研究結果發現：雙缸型直線壓縮機工作過程具有明顯的自激振動特點，初始時刻壓縮機運動狀況不影響最終的運行結果，經過一定時間后，活塞運動會趨于穩定的極限環，最終達到恒頻恒幅運動；活塞運動頻率不具有“固定頻率”屬性，它不僅受到壓縮機物理結構參數的限制，同時也受到電機推力和進氣壓力的影響；隨著進氣壓力的增加，活塞運動頻率增大，且在高負荷狀態下，壓縮機活塞運動頻率主要受進氣壓力決定。

動力學；非線性模型；頻率特性；直線壓縮機；活塞

引言

直線壓縮機作為一種電磁力驅動的新型直線混合動力裝置，它利用直線電機的往復運動壓縮氣缸內的氣體[1-3]。與傳統往復活塞式壓縮機相比，其最大的特點是省去傳統壓縮機中的曲柄連桿機構，具有結構簡單、能量轉換效率高、調控方便等多種優勢[2-4]。

在直線壓縮機動力學過程研究領域，張金權等[5]利用數值求解方法計算了阻尼、彈簧剛度對活塞運動過程的影響規律，結果表明壓縮機最高效率時，活塞運動頻率并非系統固有頻率。Deuk等[6]分析了彈簧回復式直線壓縮機動力學特征，發現活塞運動頻率主要受回復彈簧的剛度決定。另外，牛津大學、浙江大學等也開展了直線壓縮機活塞運動特性的研究[7-9]。當前，關于直線壓縮機活塞動力學的研究主要集中在動力學過程的數值仿真和單自由度運動系統共振特性方面，這些研究通常將其中的氣體非線性作用力通過等效處理為線性彈力，并由此得出系統的“固有頻率”，進而分析系統的頻率特性等[5-9]。事實上，直線壓縮機工作過程作為一個非線性系統不存在固有頻率，其工作頻率與激勵力大小等諸多因素有關；因此，將其簡化為線性振動難以準確反映系統的動力學特征。為此，筆者擬通過對該非線性動力學過程進行解析計算，獲得直線壓縮機工作過程的活塞運動變化狀況和工作頻率變化，從而更準確地揭示直線壓縮機的工作特性，為實際樣機設計與分析提供理論依據。

1 基本結構與工作原理

圖1 雙缸型直線壓縮機結構示意圖Fig.1 Structure of free-piston linear alternator

目前，研究直線壓縮機普遍采用單活塞單缸式，考慮到雙缸型直線壓縮機在功率密度方面的優勢，筆者以雙活塞雙缸式為研究對象，其基本結構如圖1所示。主體部件為直線電機和2個壓縮機氣缸，其中左右兩側氣缸活塞通過連接桿件與直線電機動子(永磁體)連接在一起。工作時，在電機線圈中通入電流后，動子受到電磁力的作用進行直線運動，從而帶動活塞壓縮氣缸內的氣體。由于動子在兩個方向的運動均能夠排氣，因此直線雙缸壓縮機的排氣更加均勻連續。另外，由于兩側均有氣體力的持續作用，從而可以省去單缸型直線壓縮機中的回復彈簧，減小其設計難度。

雙缸型直線壓縮機工作原理為通過直線電機產生的電磁力往復推動活塞運動，實現吸氣-壓縮-排氣-膨脹過程。整個過程中，壓縮機活塞受到的作用力為運動件的慣性力、電機電磁推力、兩側缸內氣體作用力和摩擦阻尼力。

以壓縮機活塞運動位移為參照，分析上述4個作用力的相位關系。因為慣性力包含位移的2階導數，所以慣性力相位滯后180°；由于摩擦阻尼力包含位移的1階導數，所以摩擦力相位超前90°；氣體作用力超前位移一定角度；電機推力與位移相差一定角度[9]。在滿足一定的輸出前提下，為了減小壓縮機功耗，提高系統的能量轉換效率，要求最大限度地減小作用于活塞上的電機力。由相位關系可知，此時即要求電機力與活塞速度同相位，因此本研究中壓縮機工作時電機力通過控制保持與活塞速度方向相同。

2 動力學模型

根據上節對雙缸型直線壓縮機工作原理的分析，工作時壓縮機活塞主要是一個受多個力作用的動力學過程。為了獲得活塞的動力學特性，對這些作用力分別進行了建模分析。

2.1 電機推力模型

為了使直線電機所消耗的能量盡量少，可以通過電機控制程序保證電機推力的方向始終保持與壓縮機活塞運動方向一致[9-12]。因此，電機推力可以表示為

(1)

其中：Fe為電機推力；Fm為電機輸出力；x為位移；t為時間。

2.2 氣體作用力模型

關于直線壓縮機氣缸內氣體壓力變化，諸多研究指出其壓力變化主要由氣缸容積變化和熱量交換兩方面因素引起[13]?？紤]到直線壓縮機工作過程中，氣缸內氣體溫度較低，因此在建模分析時，可以忽略壓縮機缸內氣體熱量交換的影響，此時缸內氣體壓力的變化可表示為

(2)

其中：p為氣體壓力；γ為壓縮機工作時缸內氣體的多變指數；V為氣缸壓縮體積。

為了進一步分析缸內氣體作用力，假設活塞處于整個壓縮機氣缸中點位置時位移x=0，因此壓縮機左右兩缸缸內氣體壓力可以表示為

(3)

(4)

此時，壓縮機缸內氣體作用力[10]為

(5)

其中：L為單個氣缸的長度；pL，pR為左右兩側氣缸的壓力；p0為進氣壓力；A為活塞截面積。

由式(5)可見，直線壓縮機工作過程中缸內氣體作用力具有明顯的非線性特征。筆者為了揭示直線壓縮機工作過程中的非線性特性，不采用“等效線性剛度”的方法，在此將式(5)進行級數展開，表示為

(6)

其中：n為級數展開階次。

2.3 活塞摩擦力模型

對于直線壓縮機，由于沒有傳統壓縮機的曲柄連桿機構，壓縮機工作時活塞幾乎沒有側向力的作用，因此建立活塞摩擦力模型時，可以忽略活塞的2階運動。此時，壓縮機活塞與氣缸之間的摩擦力主要為與速度相關的潤滑油黏性摩擦力，可以近似表示[14]為

Ff=Cfdx/dt

(7)

其中：Cf為摩擦阻尼。

2.4 動力學方程

根據牛頓第二定律，直線壓縮機工作過程中，活塞運動組件的非線性動力學方程為

(8)

(9)

其中：m為活塞組件的質量。

由于活塞位移一定小于氣缸的長度，即x/L<1，并且式(9)中分母項隨著n的增加會急劇加大，因此高次非線性項的影響非常小，可將高次項忽略，此時活塞組件的運動方程為

(10)

其中：k為平衡位置的線性剛度；ω0為自由振動頻率。

3 非線性模型分析

3.1 解析解分析

由式(10)可以發現，雙缸式直線壓縮機工作過程中，其活塞運動系統屬于2階非線性自治系統。為了進一步分析系統的動態特性，對該非線性自治方程進行近似解析求解。

將上述非線性系統表示為狀態方程

(11)

考慮到壓縮機活塞和直線電機運動件質量比較大，即參數μ較?。灰虼耍麄€壓縮機活塞運動系統狀態方程的解析解為擬諧運動。該2階非線性方程的響應可以表示為

(12)

(13)

將非線性動力學方程(10)等效改寫為

(14)

其中：阻尼ce和剛度ke為振幅a的函數。

結合非線性振動理論中的能量平衡原理，式(10)和式(14)的回復力和阻尼力在一個振動周期內的無功功率和有功功率的平均值相等[14]

(15)

(16)

其中：T為活塞運動周期。

聯立式(15)、式(10)和式(16)，解得

(17)

(18)

其中：φ=ω0t-θ。

(19)

(20)

結合式(19)、式(14)和式(20)，可得到直線壓縮機活塞運動過程的解析解為

(21)

其中：φ0為初始相位；a0為初始位移。

由式(21)可見，活塞的運動過程存在唯一奇點a0=0，此時如果系統不存在外部擾動，活塞外力保持平衡，活塞將處于靜止狀態。一旦系統受到額外的外力作用，即使僅存在微小位移擾動，活塞將離開奇點開始運動。

3.2 穩定性分析

由式(21)可知，當Cfπ<4Fe時，ne<0，活塞振幅a將隨時間t增大而加大，表明電機推力能夠克服系統的摩擦阻力，并有剩余能力，需要通過增加行程來消耗多余的能量；相反，當Cfπ>4Fe時，ne>0，這時振幅將隨時間增加而減小，表明電機推力不注意克服摩擦消耗，活塞的運動幅度會逐漸減小，并最終在一個合適的位置達到平衡；當Cfπ=4Fe時，ne=0，活塞運動振幅將不再變化?？梢婋p缸型直線壓縮機工作過程屬于單自由度自激勵振動系統，且屬于正阻尼振動系統，不管初始時刻系統存在如何的不穩定，但經過一段時間后，活塞運動相軌跡呈現逐漸穩定的運動狀態，最終系統達到恒頻恒幅振動。因此，直線壓縮機工作過程活塞運動是大區域穩定系統。

4 動力學特性分析

根據上面分析可知，雙缸型直線壓縮機在穩定的運動狀態工作時，活塞的運動方程為

(22)

(23)

在直線壓縮機工作穩定后，活塞運動振幅保持恒定，意味著兩側壓縮機氣缸壓縮比是固定的。考慮到直線壓縮機正常工作時，需要對外輸出一定壓力的高壓氣體。由于壓縮比和缸內氣體的壓力有著對應關系，因此直線壓縮機要能夠輸出足夠壓力的高壓氣體，需要滿足一定的壓縮比，即直線壓縮機工作時的振幅恒定位置需要大于高壓負載的最小極限壓縮比εc；同時為了防止活塞頂部與氣缸蓋底部發生碰撞，振幅恒定位置還需要小于壓縮機物理結構上的最大極限壓縮比εm，即

(24)

進而可以確定直線壓縮機正常工作時驅動電機推力范圍為

(25)

另外，由非線性方程的近似解析解可以獲得直線壓縮機工作過程的頻率變化關系

(26)

由式(26)可見，直線壓縮機活塞運動過程并不存在嚴格意義上的系統固有頻率，其工作頻率與諸多因素有關，且不僅受到直線壓縮機物理結構參數的限制，同時也受到工作過程中運行參數的約束。

為了說明非線性動力學模型與等效線型模型之間的差異，同時驗證非線性模型的準確性，以某一樣機為例分析其活塞動力學特性。其主要結構參數見表1，其中等效線性模型處理方法參見文獻[5，9]。

表1 樣機主要結構參數

對比采用等效線性剛度獲得的直線壓縮機固有頻率和筆者分析所得的非線性工作頻率，如表2所示。由表2可以發現，非線性模型的近似解頻率與數值計算的結果更為接近，而采用的等效線性分析的模型，頻率保持恒定，可見采用非線性模型更能準確反應直線壓縮機實際的工作特性。

表2 運行頻率對比

進一步對直線壓縮機頻率特性進行分析，可以發現：a.工作頻率由壓縮機氣體介質的非線性剛度影響項和直線電機輸入的激勵影響項組成；b.當L趨于零時，直線壓縮機工作頻率趨向于無窮大，這表明直線壓縮機氣缸的長度對運行頻率會產生較大影響(不管何種結構的壓縮機氣缸，總有一定的尺寸大小，因此工作頻率不存在無窮大的可能性)；c.對于特定的直線壓縮機，運行過程中其結構參數通常是不能發生變化的(如壓縮機缸徑、活塞質量和氣缸總長度等)，因此如果需要改變直線壓縮機的工作頻率，則只能通過控制電機的激勵力和壓縮機的進氣壓力來調整。

通過直線壓縮機動力學特性分析可見，直線壓縮機工作過程活塞運動頻率與運動位移存在耦合聯系，即頻率是振幅的函數關系，如式(26)所示。為了更方便、直觀地研究，將壓縮機工作頻率、活塞振幅和進氣壓力之間的關系圖用圖2表示。

圖2 壓縮機活塞動力學幅頻特性Fig.2 Frequency characteristics of linear compressor

由圖2可知，壓縮機活塞運動行程小于15 mm時，活塞運動頻率隨振幅的增加而減小；當活塞運動振幅大于15 mm后，運動頻率呈現增加趨勢，但頻率變化幅度不明顯。因此，可以認為直線壓縮機在高負荷(輸出較高壓力的氣體)工作時，壓縮機工作頻率較穩定，不同負荷下的壓縮機活塞運動頻率差異不大。另外，由壓縮機的進氣壓力對活塞運動頻率影響顯著，隨著進氣壓力的增加活塞運動頻率明顯增大，其頻率變化幅度較活塞行程變化所導致的頻率變化更加突出。綜合工作頻率、活塞振幅和進氣壓力之間關系曲線還可以發現，高壓縮比下，壓縮機活塞運動頻率主要受進氣壓力決定。

5 結論

1) 雙缸型直線壓縮機活塞運動過程是一個單自由度自激振動過程，無論初始時刻壓縮機運行狀況如何不穩定，但經過一段時間后，活塞運動會趨于穩定的極限環，最終達到恒頻恒幅運動。

2) 活塞運動頻率不具有“固定頻率”屬性，它不僅受到壓縮機物理結構參數的限制，同時也受到工作過程中電機推力的影響。

3) 直線壓縮機的進氣壓力對活塞運動頻率影響顯著，隨著進氣壓力的增加，活塞運動頻率增大，且在高負荷狀態下，壓縮機活塞運動頻率主要受進氣壓力決定。

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