不確定性因素對某橡膠隔振器連接剛度的影響*

陳學前， 沈展鵬， 劉信恩， 王玉軍

(中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽，621999)

不確定性因素對某橡膠隔振器連接剛度的影響*

陳學前， 沈展鵬， 劉信恩， 王玉軍

(中國工程物理研究院總體工程研究所 綿陽，621999)

設計了兩類可以分離某橡膠隔振系統不確定性源的模態試驗，并對每類試驗進行了重復試驗。根據試驗結果，基于傳統有限元模型修正方法對隔振系統的連接剛度進行了識別。基于貝葉斯方法并結合馬爾可夫鏈蒙特卡羅(Markov chain Monte Carlo, 簡稱MCMC)抽樣研究得到了連接剛度的概率密度，并結合隨機變量的運算量化了各不確定性源對隔振器連接剛度的影響，最后通過確認試驗驗證了連接剛度不確定性模型的有效性。研究結果表明，隔振系統裝配不確定性對連接剛度的影響比隔振器橡膠材料分散性的影響低一個數量級。

橡膠隔振器; 不確定性源; 貝葉斯方法; 不確定性量化

引 言

在航空、航天及武器工程結構中，為了降低電子設備在實際工作環境中受到的各種振動，各種形式的隔振器被廣泛采用，其中橡膠隔振器由于其結構簡單、工藝性好、成本低等優點，是目前工程中應用最廣泛的一類隔振器[1]。為了深入認識隔振器的靜、動態力學行為，以便更好為設計服務，許多學者研究了其靜、動態特性。張平等[2]利用某橡膠材料各種受力狀態下的試驗應力-應變關系曲線，計算了某汽車動力總成橡膠隔振器x，y和z方向靜剛度。Richards等[3-4]設計了不同試驗裝置，研究了某橡膠隔振器的非線性靜、動剛度，建立了連接的Maxwell模型。Ibrahim[5]對橡膠隔振器非線性本構模型的研究情況進行了總結。林松等[6]基于M-RT模型，研究了某橡膠隔振器的動剛度、動態阻尼與幅值、頻率之間的關系。國內外對橡膠隔振器連接剛度及本構模型的研究，均沒有考慮不確定性的影響，但由于橡膠材料本身力學參數就具有較大的分散性，且加工成隔振器構件后，這種不確定性將顯現得更明顯。為了研究并建立隔振器連接剛度的不確定性模型，需要開展多次重復試驗研究，但由于時間及經費限制，試驗次數通常不會很多，利用傳統概率統計方法去量化不確定性剛度可能帶來較大誤差，此時通常采用貝葉斯方法來修正并量化不確定性參數。如Miranda等[7]采用貝葉斯方法，根據試驗測得某地下巖石彈性模量的一批數據，修正并建立了該巖石彈性模量的概率模型。

筆者在對某橡膠隔振器連接結構進行大量模態試驗的基礎上，對每一試驗工況下橡膠隔振器的連接剛度進行了識別，并基于貝葉斯方法并結合MCMC抽樣建立了各不確定性源對隔振器連接剛度影響的概率模型，并且分析了各不確定性源對連接剛度的影響程度。

1 橡膠隔振器的模態試驗

1.1 試驗方法

用于橡膠隔振器連接結構的模態試驗的試驗裝置包括Agilent公司的VXI/E1432A數據采集硬件、MTS I-deas Test數據采集分析軟件、PCB力錘、壓電加速度傳感器、E3242A信號調理模塊等，如圖 1 所示。力錘敲擊試件激起響應，加速度傳感器測得的振動信號輸入到VXI/E1432A數據采集系統，進行數據存貯及分析。

圖1 試驗測試系統配置圖Fig.1 Test system scheme map

本試驗用的隔振器由2個T型中空的橡膠構件通過鋼制套筒組合而成，如圖2所示。試驗件由厚基礎圓型鋼板(直徑為230 mm，厚為10 mm，質量為3.26 kg)、配重塊(直徑為79 mm，高度為26 mm，質量為1.12 kg)及4個隔振器組成。由于筆者主要研究不確定性因素對橡膠隔振器連接剛度的影響，故在試驗裝置中包含的不確定性因素越少越好。相比較，自由狀態比固支狀態的模態試驗包含更少的不確定性因素，有利于更好分離影響隔振器連接剛度的不確定性因素，故通過橡皮繩懸掛試件對其進行自由狀態模態試驗，如圖3所示。

圖2 試驗用隔振器Fig.2 Isolators used to test

圖3 試件試驗狀態圖Fig.3 Test state of the structure

通過力錘敲擊配重塊中心附近位置，采用單輸入、多輸出方式采集模態試驗信號。由于筆者只關注各不確定性源對隔振器連接軸向剛度的影響，故只測試垂直于安裝板方向的信號。由于下面識別隔振器連接剛度時是根據其軸向1階伸縮頻率，因此，對測試信號分析時采用單自由度模態擬合方法。

1.2 試驗設計

為了量化研究各不確定性源對隔振器連接剛度的影響，需要分析試驗過程中可能存在的不確定性源，并設計試驗分離各不確定性源對剛度的影響。在該隔振器連接裝置的模態試驗中，不確定性源主要包括測試系統帶來的不確定性、裝配帶來的不確定性以及隔振器自身材料的不確定性。根據工程經驗，測試系統對這類結構的固有頻率測試帶來的不確定性很小，可忽略，筆者將其與裝配不確定性一起考慮作為一個不確定性源。因此，設計兩類模態試驗，Ⅰ類試驗用來研究測試系統及裝配帶來的不確定性，可以在某組隔振器選定的基礎上，每次試驗后重新拆裝隔振器試件再重復模態試驗，共重復25次，假定其影響隔振器連接剛度的不確定性量為A。Ⅱ類試驗包含上述所有不確定性，即每次試驗后重新拆裝隔振器試件，且每次更換不同的隔振器，共重復25次，假定其影響隔振器連接剛度的不確定性量為B。每次裝配時，保持隔振器相同的預壓量。根據上述兩個不確定性量，求出隔振器自身材料分散性對連接剛度的影響C=B-A。A，C為獨立的隨機變量，根據隨機變量的運算[8]，可以很方便得到隔振器自身材料分散性對連接剛度影響的均值與方差

(1)

var(C)=var(B)-var(A)

(2)

1.3 試驗結果

隔振器系統的連接剛度主要通過其1階軸向伸縮振型對應的頻率來識別。對測試點的傳遞函數進行模態擬合，得到各工況的傳遞函數，根據擬合曲線峰值識別系統的1階固有頻率。圖4為工況2的傳遞函數曲線。根據兩類試驗中各工況的傳遞函數曲線，分析得到隔振器連接的1階固有頻率如表1所示。

圖4 工況2的傳遞函數曲線Fig.4 Curves of transfer functions in case 2

表1 隔振器的1階固有頻率

Tab.1 First inherent frequency of the isolator

工況f/HzⅠ類試驗Ⅱ類試驗工況f/HzⅠ類試驗Ⅱ類試驗1163．45161．8114165．04164．672163．60180．9115164．19170．903164．64172．0516164．68169．904164．78167．6817163．79175．825165．64171．9518165．18179．296165．13180．0519163．49179．417163．85163．4520163．56164．688165．00181．3621163．77171．719163．44158．3522162．01162．0610165．03170．3723165．63162．8111165．79169．3324164．71171．0812164．85173．5125163．82182．5713165．30173．46

2 剛度的不確定性量化

2.1 參數識別

在ANSYS中建立試驗件的有限元模型，其中基礎鋼板與配重采用SOLID45單元離散，隔振器采用COMBIN14彈簧單元離散。這樣，系統中的不確定性就轉化為彈簧剛度參數的不確定性。針對每一次試驗工況，按照傳統有限元模型修正方法，可直接調用ANSYS的優化模塊完成剛度參數的識別，定義優化的目標函數為

(3)

其中：fc1，ft1分別為結構1階固有頻率的計算值與試驗值。

根據上述參數識別策略，識別出兩類試驗各工況的彈簧剛度(隔振器剛度疊加不確定性源對剛度的影響值)， 如表2所示。 根據表2中的數據， 結合貝葉斯推斷，可完成剛度的量化。

表2 彈簧剛度的識別結果

2.2 貝葉斯理論

若已知參數θ的先驗分布為p(θ)，試驗觀察集為y，則參數的后驗分布表示在獲得試驗觀察信息y后參數θ的分布規律，可以用如下貝葉斯公式求得

(4)

其中：p(θ|y)為參數的后驗分布密度函數；p(y|θ)為參數的似然函數。

考慮某隨機系列X=(x1,x2，…,xn)的均值μ和標準差σ是未知的，且它們無先驗信息。在沒有任何信息可以利用的條件下叫做無信息先驗，主要有Jeffreys先驗分布和共軛先驗分布等。下面僅考慮Jeffreys先驗，在先驗未知的情況下，均值μ和標準差σ的Jeffreys先驗有如下形式

(5)

根據貝葉斯理論，未知均值及標準差的后驗分布有如下形式

p(μ,σ2|X)∝p(μ,σ2)p(X|μ,σ2)∝σ-n-2×

(6)

(7)

(8)

2.3 剛度量化

后驗概率在工程上常通過采用MCMC求解貝葉斯公式獲得，常用的MCMC采樣方法有Gibbs采樣、Metropolis-Hastings算法等，筆者采用Gibbs采樣方法[9]求解后驗概率。針對Ⅰ類試驗，通過求解貝葉斯公式獲得其均值與標準差的后驗分布，假定裝配不確定性對剛度的影響是正態分布，重抽樣得到該類試驗下系統軸向剛度的概率密度,再將均值后驗及剛度后驗減去剛度后驗的均值(Ⅰ類試驗中隔振器的剛度)，得到不確定性對剛度影響的概率密度,如圖5所示。采用同樣的抽樣方法可以得到考慮所有不確定性的Ⅱ類試驗中系統軸向剛度的概率密度，如圖6所示。根據圖5、圖6中各曲線數據，再結合式(1)、式(2)可求出隔振器自身材料分散性對連接剛度影響的均值與標準差的概率密度，并假定其為正態分布，進而得到隔振器自身材料分散性對連接剛度影響的概率密度，如圖7所示。

從圖5(c)及圖7(c)可以看出，系統裝配不確定性對連接剛度的影響比隔振器自身材料不確定性對剛度的影響要低一個數量級。

圖5 裝配不確定性對系統軸向剛度影響的概率密度Fig.5 Probability density of the axial stiffness affecting by the assembling uncertainty

圖6 所有不確定性對系統軸向剛度影響的概率密度Fig.6 Probability density of the axial stiffness affecting by all of the uncertainty

圖7 隔振器自身材料不確定性對系統軸向剛度影響的概率密度Fig.7 Probability density of the axial stiffness affecting by the uncertainty of the isolator material

2.4 模型確認

通過對隔振器自身材料與裝配不確定性對隔振系統連接剛度的影響進行量化，得到了各自的概率模型。為了驗證量化結果的正確性，另外開展了兩個工況的Ⅱ類試驗，得到試驗系統1階固有頻率分別為161.45，170.51 Hz。同時，基于所建立各不確定性源的概率模型，通過蒙特卡羅抽樣仿真得到系統的1階固有頻率的概率密度曲線，如圖8所示。其95%置信區間為[156.33 184.97]，驗證試驗結果全部落在該區間。根據模型確認中的95%置信區間確認度量準則[10-11]，認為對各不確定性源的量化結果是正確的。

圖8 系統1階固有頻率計算結果的概率密度及95%置信區間Fig.8 Probability density and 95% confidence interval of the first inherent frequency computed

3 結束語

筆者基于模態試驗研究了某橡膠隔振器系統的主要不確定性源對其連接剛度的影響，采用貝葉斯方法并結合MCMC抽樣，量化了對剛度影響的不確定性。通過對比剛度的量化模型與驗證試驗結果，確認了量化模型的有效性。量化結果表明，試驗系統及裝配不確定性引起的不確定性比隔振器自身材料的不確定性要低一個數量級。通過研究可知，橡膠隔振器連接剛度的不確定性是客觀存在的，工程中根據設計要求選擇相應隔振器時需要考慮這一因素對隔振效果的影響。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.021

*中國工程物理研究院重點基金資助項目(2011A0203010，2013A0203007)

2013-03-21；

2014-04-08

TP306

陳學前，男，1975年11月生, 副研究員。主要研究方向為結構動力學分析與模型驗證及確認。曾發表《螺栓連接非線性振動特性研究》(《振動與沖擊》2009年第28卷第7期)等論文。 E-mail:cxqdd127@sohu.com