雙機驅動無擺動振動機的自同步理論研究*

李 鶴， 劉 丹， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819)

雙機驅動無擺動振動機的自同步理論研究*

李 鶴， 劉 丹， 趙春雨， 聞邦椿

(東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819)

對一種雙機驅動無擺動振動機的自同步理論進行了研究。該振動機由內、外兩個質體組成，兩偏心轉子的旋轉中心與內質體質心在同一條豎直軸上，使得兩偏心轉子的慣性力對該軸的力矩為零，從而消除了振動機的擺動。首先,利用拉格朗日方程建立了振動機的運動微分方程，分別得到了振動機運動自同步及其穩定性條件;然后，通過數值方法驗證了理論分析的正確性，并發現系統的自同步能力與兩偏心轉子質量比正相關，與豎直方向頻率比、共振激勵角、內質體與振動系統質量比負相關。

自同步運動； 振動機； 穩定性； 振動同步傳動

引 言

自同步振動機械的發明源于自同步現象。Huygnens最早發現了機械系統的振動自同步現象。他把兩個鐘擺并排懸掛在同一木梁上，兩個鐘擺在擺動一段時間之后實現了同步擺動。Rayleigh等在非線性電路中發現了同步現象，并稱這種現象為“頻率捕獲”。20世紀60年代，Blekhman等[1-3]提出了雙偏心轉子振動機的同步理論。當安裝在同一振動體上的兩臺感應電動機在具備一定條件時，可實現同步運轉。當系統受到外界干擾導致兩電機的轉速或相位差發生變化時，系統可以通過自我調整而重新回到同步狀態。對于已經實現同步運轉的系統，如果切斷一臺偏心電機的電源，兩臺電機仍然能夠同步運行。Wen Bangchun[4]發現，在某些非線性振動系統中，通過調節系統參數，可以實現各次諧波的倍頻同步。Zhao Chunyu等[5-7]利用改進的平均小參數法發展了雙電機驅動和四電機驅動振動機的自同步理論，并深入闡述了振動機的耦合動力學特性和動態對稱性，通過數值模擬分析了電機的自同步過程，從轉速和相位差兩個方面驗證了兩個電機可以實現自同步運動[8]。此外，很多學者還研究了系統參數對自同步運動及其穩定性的影響。韓清凱等[9]以反向回轉激勵的振動系統為對象，建立了考慮驅動電機機械特性的動力學方程，通過數值仿真計算, 研究了激振器的偏心矩、電機功率、偏心轉子回轉摩擦阻矩等參數對自同步運動的影響。Yamapi等[10]分析了系統的質量、剛度和激振器參數之間的相互影響的規律，討論了雙激振電機的耦合同步過渡過程。

在雙機驅動的振動機自同步運動過程中，由于兩個偏心轉子相位不一致，振動機的直線振動會伴隨擺動，即振動機繞一水平軸做往復運動，它會使振動機不能完全按照所需要的振動方向振動，有可能影響振動機篩分或輸運等工藝效果。筆者對一種雙機驅動無擺動振動機的自同步理論進行了研究。該振動機由內、外兩個質體組成，兩偏心轉子的旋轉中心與內質體質心在同一條豎直軸上，使得偏心轉子的慣性力對該軸的力矩為零，從而消除該振動機的擺動。

1 振動機的自同步理論

圖1為雙機驅動無擺動振動機的動力學模型，由內質體m1、外質體m2以及兩偏心轉子m01和m02組成。內質體m1在x和y方向分別通過彈簧kx和ky與外質體m2相連接，外質體m2支撐在彈性基礎kz上，且在x和y方向被固定。兩偏心轉子分別由感應電動機1和2驅動，對稱安裝在內質體m1質心O所在水平面xOy的兩側，其旋轉平面與該水平面成δ角(共振激勵角)，且兩偏心轉子旋轉中心與內質體質心在同一條豎直軸上，因此，偏心轉子對該豎直軸產生的力矩為零，從而消除了該振動機的擺動。俯視時，兩偏心轉子同向回轉。

圖1 振動機的動力學模型Fig.1 Dynamic model of the vibrating mechanism

利用拉格朗日方程，可得到振動機的運動微分方程。

(1)

其中：M1為振動系統在x，y方向的振動質量，M1=m1+m01+m02；M2為振動系統在z方向的振動質量，M2=m1+m2+m01+m02；kx，ky，kz為振動系統在x，y，z方向彈簧剛度；fx，fy，fz為振動系統在x，y，z方向阻尼系數；f1，f2為兩電動機的阻尼系數。

利用平均小參數法可以得到偏心轉子的無量綱耦合方程，再由該耦合方程零解的存在條件可以得到振動機實現自同步運動的條件為

(2)

其中：TS為振動機的同步力矩；ΔTR為兩電機剩余電磁轉矩差。

式(2)表明，振動機的同步力矩大于或者等于兩電機剩余電磁轉矩差的絕對值，和文獻[8]所得結論一致。

將振動系統的同步力矩與作用在兩電機上負載力矩的比值定義為振動系統的同步能力系數ζ[7]

(3)

其中：TL為振動系統作用在兩電機上的負載力矩。

(4)

其他參數為

Ws0=rma(μxcos2δsinγx+μysinγy+σμzsin2δsinγz)

Wc0=rma(μxcos2δcosγx+μycosγy+σμzsin2δcosγz)Wcs=ηrma(μxcos2δsinγx+μysinγy-σμzsin2δsinγz)

Wcc=ηrma(μxcos2δcosγx+μycosγy-σμzsin2δcosγz)

將式(4)代入式(3)可得

(5)

同步能力系數ζ表示振動傳送力矩克服兩電動機電磁轉矩實現同步的能力，當其值大于1時表示系統可實現振動同步傳動，即一個電動機停止電源供電，系統仍然可保持同步運行[7]。

根據勞斯-胡爾維茨判據可以得到振動機同步運行穩定條件為

(6)

其中：H=4H1H2-H0H3；H0，H1，H2，H3為無量綱結構參數η，σ，rma，δ，nz的函數。該穩定性條件和文獻[11]所得結論一致。

2 振動機的自同步運動的數值分析

2.1 振動機的自同步運動

設計內質體的質量m1=2 200 kg，外質體的質量m2=300 kg，兩偏心轉子的質量m01=40 kg，m02=40 kg，偏心距r=0.2 m。從而可確定振動系統的結構參數：η=1.0，rma≈0.017 5，σ≈0.883 7。選取兩電機為鼠籠式三相異步電動機(380 V，50 Hz，6-pole，Δ連接)，電機1(3.7 kW，980 r/min)，電機2(0.75 kW，980 r/min)。為了使振動系統在z方向達到共振以獲得足夠大振幅，選取系統結構參數nz=0.99，nx=ny=4.0，ξx=ξy=ξz=0.07。分別選取共振激勵角δ=20°和δ=10°，并在6 s時撤去電機2的電磁轉矩及9 s時對偏心轉子2施加10°的相位擾動，數值仿真結果如圖2、圖3所示。

由圖2可知：當共振激勵角δ=20°時，振動系統經過4 s左右，兩電機轉速達到相同，約為989.4 r/min，此時兩偏心轉子相位差穩定在182.3°左右，此時振動系統為π相位同步；當6 s撤去電機2的電磁轉矩時，兩電機的同步轉速下降并穩定在988.0 r/min,而兩偏心轉子相位差增加并穩定在183.1°左右；當9 s對偏心轉子2施加10°的相位擾動時，兩偏心轉子相位差變為193.1°，兩電機轉速也發生波動，但經過約1 s后恢復到受干擾前的穩定狀態。由圖2可知，當共振激勵角δ=20°時，振動系統可實現π相位同步運行、振動同步傳動以及對相位擾動的抗干擾能力即同步運行的穩定性能力。

圖2 δ=20°時振動機自同步運動數值仿真結果Fig.2 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=20°

圖3 δ=10°時振動機自同步運動數值仿真結果Fig.3 Results of numerical simulation for the synchronization motion of the vibrating mechanism with δ=10°

由圖3(a),(b)可知：當共振激勵角δ=10°時，振動系統經過3.2 s左右，兩電機轉速達到相同，約為994.0 r/min，此時兩偏心轉子相位差穩定在181.1°左右；當6 s撤去電機2的電磁轉矩時，兩電機的同步轉速下降并穩定在993.0 r/min,而兩偏心轉子相位差增加并穩定在181.6°左右；當9 s對偏心轉子2施加10°的相位擾動時，兩偏心轉子相位差變為191.6°，兩電機轉速也發生波動，但經過約1 s后恢復到受干擾前的穩定狀態。由圖3可知,當共振激勵角δ=10°時，振動系統可實現π相位同步運行、振動同步傳動以及對相位擾動的抗干擾能力即同步運行的穩定性能力。

由圖3(c),(d),(e)可知，振動系統達到自同步運動時，在x和y方向的振幅接近于0，z方向振幅為0.83 mm，實現z方向振動。當撤去電機2的電磁轉矩和施加相位擾動后，雖然系統在各方向的振動發生波動，但都能在很短的時間內恢復到穩定狀態。這說明系統達到自同步時，可以實現穩定的z方向振動，并具有較大振幅。

2.2 振動機自同步能力及其穩定性

選取系統結構參數：nx=ny=4，ξx=ξy=ξz=0.07，通過數值方法可得同步能力系數ζ與兩偏心轉子質量比η以及z方向頻率比nz、共振激勵角δ和內質體與振動系統質量比σ的關系，如圖4所示。

圖4 自同步能力系數與系統結構參數的關系Fig.4 Relation between the self-synchronization ability coefficient and the structural parameters of the vibrating mechanism

由圖4(a)，(b)可知：在振動系統參數nz=0.99,σ=0.9條件下，當兩偏心轉子的質量相等(即η=1.0)時，振動系統的同步能力系數ζ達到最大；而隨著振動系統共振激勵角δ的增大，同步能力系數ζ迅速減小；當兩偏心轉子的質量相等且振動系統共振激勵角為0(即η=1.0，δ=0)時，同步能力系數ζ趨于無窮大。進一步分析圖2和圖3可知，雖然當共振激勵角分別為δ=20°和δ=10°時，振動系統均可實現π相位同步穩定運轉，但是，在滿足振動系統能夠實現振動同步傳動的范圍內，共振激勵角δ越小，振動系統越容易實現穩定同步運轉，從系統啟動至達到同步所需的時間越短，兩電機的同步轉速越快，兩偏心轉子的相位差越接近π。

由圖4(c)，(d)可知：在振動系統參數η=1.0，δ=π/8條件下，隨著工作頻率趨近于振動系統在z方向的固有頻率，即nz趨近于1.0，同步能力系數ζ迅速減??；隨著振動系統在x，y方向的振動質量趨近于z方向的振動質量，即σ趨近于1.0，同步能力系數ζ緩慢減小。

由圖4可知，同步能力系數ζ的值與振動系統的結構參數有關，其中，振動系統共振激勵角δ和振動系統在z方向頻率比nz對同步能力系數ζ影響顯著。適當地增大兩偏心轉子的質量比η，減小系統共振激勵角δ，減小振動系統在z方向頻率比nz以及減小振動系統在x，y方向的振動質量與在z方向的振動質量的比值σ，均能提高同步能力系數ζ的值。

振動系統實現自同步時，由系統同步運行穩定性條件知：當H0>0,H1>0,H3>0,H>0時，系統穩定運行。H0，H1，H3，H為無量綱結構參數η，σ，rma，δ，nz的函數，設兩偏心轉子的質量比η=1.0，振動系統在x，y方向的振動質量與在z方向的振動質量的比值σ=0.9，z方向頻率比nz=0.99，可得系統自同步運動穩定性參數H0，H1，H3，H的數值計算，結果如圖5所示。

圖5(a)為rma=0.05時，H0，H1，H3，H隨δ的變化情況。由圖可知，隨著δ的增大，H0，H1，H3，H始終大于0。因此，系統實現的自同步運動是穩定的。

圖5 自同步運動穩定性參數H0，H1，H3，H的數值仿真結果Fig.5 Results of the numerical simulation for self-synchronization motion stability parameters H0, H1,H3and H

圖5(b)為δ=0.1π時，H0，H1，H3，H隨rma的變化情況。由圖可知，隨著rma的增大，H0，H1，H3，H始終大于0，即系統實現的自同步運動是穩定的。

以上結果表明，振動系統的結構總能夠保證滿足式(6)的條件要求，即自同步運動總是穩定的[6-7]。

3 結 論

2) 通過數值仿真證明了該振動機能夠實現π相位同步、振動同步傳動、同步運行的穩定性。

3) 振動機的同步能力系數ζ為系統結構參數(兩偏心轉子質量比η、豎直方向頻率比nz、共振激勵角δ和內質體與振動系統質量比σ)的函數，且ζ與η為正相關，與nz，δ和σ均為負相關。

[1] Blekhman I I, Fradkov A L, Nijmeijer H, et al. On self-synchronization and controlled synchronization [J]． Systems & Control Letters, 1997,31:299-305.

[2] Blekhman I I, Fradkov A L, Tomchina O P, et al. Self-synchronization and controlled synchronization: general definition and example design [J]. Mathematics and Computers in Simulatio, 2002,58:367-384.

[3] Blekhman I I, Sorokin V S. On the separation of fast and slow motions in mechanical systems with high-frequency modulation of the dissipation coefficient[J]． Journal of Sound and Vibration, 2010,329:4936-4949.

[4] Wen Bangchun. Research concerning frequency entrainment of nonlinear self-synchronous vibrating machines[C]∥Proceedings of 9th International Conference of Nonlinear Oscillations. Kiev, USSR：[s.n.], 1981.

[5] Zhao Chunyu, Zhu Hongtao, Wang Ruizi, et al. Synchronization of two non-identical coupled exciters in a non-resonant vibrating system of linear motion. part Ⅰ: theoretical analysis[J]. Shock and Vibration, 2009,16(5):505-515.

[6] Zhao Chunyu, Zhu Hongtao, Bai Tianju, et al. Synchronization of two non-identical coupled exciters in a non-resonant vibrating system of linear motion. part Ⅱ: numeric analysis[J]. Shock and Vibration, 2009,16(5):517-528.

[7] Zhao Chunyu, Zhu Hongtao, Zhang Yimin, et al. Synchronization of two coupled exciters in a vibrating system of spatial motion[J]． Acta Mechanica Sinica, 2010,26(3):477-493.

[8] 王得剛, 趙清華, 趙春雨,等. 同向回轉雙機驅動振動系統的自同步特性[J]. 振動、測試與診斷, 2010,30(3):217-222.

Wang Degang, Zhao Qinghua, Zhao Chunyu， et al. Self-synchronous feature of a vibrating system driven by two motors with the same rotation direction[J]. Journal of Vibration, Measurement & Diagnosis, 2010,30(3):217-222. (in Chinese)

[9] 韓清凱，楊曉光，秦朝燁,等. 激振器參數對自同步振動系統的影響[J].東北大學學報，2007，28(7)：1009-1012.

Han Qingkai, Yang Xiaoguang, Qin Chaoye, et al. Effects of exciter parameters on self-synchronous vibration system[J]. Journal of Northeastern University, 2007,28(7):1009-1012. (in Chinese)

[10]Yamapi R, Woafo P. Dynamics and synchronization of coupled self-sustained electromechanical devices [J]. Journal of Sound and Vibration, 2005,285(5):1151-1170.

[11]李葉，李鶴，耿志遠,等.手持式振動機械的同步問題[J]. 振動、測試與診斷, 2013,33(S1):9-14.

Li Ye, Li He, Geng Zhiyuan, et al. Self-synchronization of the hand-held vibrating machinery[J]. Journal of Vibration, Measurement and Diagnosis, 2013,33(S1):9-14. (in Chinese)

歡迎訂閱《振動、測試與診斷》

《振動、測試與診斷》由工業和信息化部主管，南京航空航天大學和全國高校機械工程測試技術研究會聯合主辦，是反映振動、動態測試及故障診斷學科領域的科研成果及其應用情況的技術性刊物。主要刊登國內外以振動測試與故障診斷為中心的動態測試理論、方法和手段的研究及應用方面的技術文獻，包括實驗測試技術、測試儀器的研制、方法和系統組成、信號分析、數據處理、參數識別與故障診斷以及有關裝置的設計、使用、控制、標定和校準等，不拘泥于行業和測試項目。

本刊為EICompendex數據庫收錄期刊和中文核心期刊，雙月刊，每逢雙月末出版，每本定價20元，全年120元。歡迎訂閱和投稿，歡迎在本刊刊登各類廣告和科技信息。

編輯部地址：南京市御道街29號 郵政編碼：210016 電話：(025)84893332

傳真：(025)84893332 E-mail:qchen@nuaa.edu.cn 網址：http:∥zdcs.nuaa.edu.cn

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.03.023

*國家自然科學基金資助項目(51175071)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金資助項目(N120203001,N130803001)；國家重大科學儀器設備開發專項資助項目(2013YQ470765)

2013-04-18；

2013-06-25

TH113

李鶴,男，1975年10月生，教授。主要研究方向為非線性振動、機床動力學。曾發表《Self-synchronization of two parallel-axis unbalanced rotors in a vibration system of spatial motion》(《International Journal of Nonlinear Sciences and Numerical Simulation》2010,Vol.11,No.11)等論文。 E-mail: hli@mail.neu.edu.cn