全變差正則化圖像去噪模型的求解算法研究

潘晨

摘 要：提出基于全變差（TV）模型的圖像去噪算法，并給出針對該模型的Bregman迭代正則化算法，在此基礎上提出了快速迭代方法。實驗和數據分析的結果表明，該算法改善了全變差模型去噪中出現的收斂速度慢、塊效應問題，也較好的保留了圖像中的邊緣信息，該方法要明顯優于傳統的全變差圖像去噪方法。

關鍵詞：全變差；圖像去噪；Bregman算法

圖像去噪是圖像處理的一個重要部分。由于物理條件的限制、實際設備的不完善以及人為因素，所獲得的圖像不可避免的存在各種噪聲，噪聲的存在將影響圖像處理后續工作的正常進行。圖像去噪則是利用各種方法從獲得的含噪圖像中去除噪聲部分，并盡可能保留圖像邊緣等細節特征。圖像去噪的方法有很多，在頻域處理中，有小波去噪；在空間域處理中，有以高斯濾波為代表的線性濾波，也有以中值濾波為代表的非線性濾波。高斯濾波因其計算簡單而成為一種用途非常廣泛的去噪方法，但由于其同時將噪聲與信號進行了處理，使得其在去噪的同時也降低了圖像的對比度，同時還造成圖像邊緣的漂移。為了改進這一問題，提出許多非線性去噪方法，其中基于偏微分方程的圖像去噪是具有代表性的一類方法。該方法從一個新的角度來闡述圖像去噪過程，其中最具代表性是PM（Perona-Malik）方程和全變分算法（Total Variation，TV）。

本文討論的主要是TV算法。Rudin、Osher和Fatime在1992年提出的全變差正則化模型（TV模型）是迄今最為成功的圖像去噪模型之一，在圖像去噪領域得到廣泛的研究與運用。TV模型的求解一直是學者的研究重點，Rudin等人提出的人工時間演化算法是目前使用最為廣泛的求解算法，即利用變分原理，求解TV模型對應的Euler-Lagrange偏微分方程。由于該PDEs存在非線性圖像數據量龐大的特點，受CFL影響，在圖像的平坦區域該算法收斂速度很慢。為消除CFL的影響，Vogel和Oman提出固定點迭代算法，直接求解穩定的Euler-Lagrange偏微分方程，該方法只線性收斂，收斂速度慢的問題仍然存在。Chan等使用TV模型的雙變量描述，得到具有魯棒性的求解方法。上述各種求解算法均存在收斂速度慢的問題。本文將在研究Bregman迭代正則化的基礎上，建立求解TV模型的快速迭代算法。

1 全變差正則化模型

由于噪聲和圖像的細節特征主要集中于圖像高頻部分，因此在對圖像進行去噪的過程中，常會使圖像的某些重要特征（如邊緣、細小紋理等遭到破壞）。對于加性噪聲模型，令u為清晰的原始信號，為含噪的觀測信號，即：

=u+n

其中n為具有零均值、標準差為的高斯白噪聲。

與圖像去噪的逆濾波方法、偽逆方法和最大熵方法相比，TV方法在保護圖像邊緣和平滑噪聲的問題上更勝一籌。TV方法通過引入一定的約束將圖像去噪轉換成適定問題，并能確保圖像去噪結果的存在性、唯一性，且具有受噪聲干擾較小的優點。

RUDIN等研究發現，含噪聲圖像的總變差（如圖1）明顯比無噪圖像的總變差大，因此將總變分定義為梯度幅值的積分：

其中：分別為圖像u在x和y方向的梯度；為圖像u的定義域。降低總變差則能降低噪聲，因此，圖像去噪問題可轉化為以下最小化問題

圖1表明，全變差最小化可以降低噪聲，但不能對解進行平滑作用，這樣將會造成在最小化全變差過程中，圖像邊緣被保存。如果將作為平滑性的度量，則對于圖1中的3個函數來說，有：

即曲線3是最平滑的，曲線2次之，曲線1最不平滑。在最小化時，大的跳變將最先被平滑。在圖像去噪過程中，全變差具有保留圖像邊緣的作用。

由Lagrange乘子法則，全變差最小去噪問題相當于求解E（u）的最小化問題：

式中，為正則化參數。

2 構建快速迭代算法

為提高圖像去噪的效果，將全變差圖像去噪模型轉化成如下模型：

將輔助變量，引入到式中，那么上式等價于如下的有約束最優化問題：

將上式轉化為無約束最優化問題，以方便對上式約束問題進行求解，即

其中，和是引入的輔助變量。在Goldstein和Osher提出的分裂Bregman迭代算法的基礎上，求解各向異性TV去噪模型。首先將上面的問題分解成為以下幾個子問題：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

Jia已證明：當時，對于給定的，子問題（1）等價于

（6）

對（6）式兩邊關于求導，可得

（7）

由于，那么（7）式可轉換成以下形式：

又由（4）、（5）兩式得到

與，

則

即

（8）

設去噪圖像的初始條件為：，那么根據（8）式可以得到（1）的最終求解格式

采用shrink算子來求解（2）、（3）兩子問題，即

又因為，那么式（2—5）可簡化為

，

對于，將算子cut定義如下

令，，可得快速迭代算法（Fast Iteration Algorithm， FIA）

（9）

（10）

（11）

Jia已證明：對于，且由迭代步驟（9），（10）與（11）可得，當時，有。因此可以保證快速迭代算法收斂到全TV模型的最優解，即。

3.實驗結果及分析

為了證明快速迭代算法的高效性，現在在Matlab 7.0的環境下進行實驗，利用峰值信噪比與平均結構相似度來評價圖像去噪質量。用Lena、Cameraman圖像為例，分別用分裂Bregman迭代算法與快速迭代算法來數值計算。實驗仿真中，輸入圖像的大小都是256256，灰度級是256，加性噪聲的標準差分別是20、30和40。迭代次數是10，參數分別是0.08，迭代過程滿足以下停機準則：

10-4

圖2 去噪前后的Lena圖像（噪聲標準差δ=20）

圖2 去噪前后的Cameraman圖像（噪聲標準差δ=30）

表1 圖像去噪方法的實驗結果比較（時間單位：s）

測試圖像 評價標準 含噪圖像 分裂Bregman

算法 快速迭代

算法

Lena PSNR 21.446 29.019 30.082

MSSIM 0.4373 0.8301 0.8368

Cameraman PSNR 18.630 26.249 28.341

MSSIM 0.2962 0.6813 0.7633

MSSIM 0.6273 0.8811 0.9075

從實驗結果可以看出，本文提出的基于Bregman迭代正則化方法的快速迭代求解算法不僅能快速去除噪聲，還能保留圖像邊緣等細節信息，所得去噪圖像在主觀視覺效果、峰值信噪比和平均結構相似度等方面都有非常大的提高。

參考文獻

[1] 吳斌，吳亞東，張紅英. 基于變分偏微分方程的圖像復原技術[M]. 北京： 北京大學出版社， 2008： 153-174.

[2] RUDIN L， OSHER S. FATEMI E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms[J]. Physical D， 1992， 60（1/4）： 259-268.

[3] Rosenfeld A ， Kak A C. Digital Picture Processing. New York. USA： Academic Press， 1982.