熱點題型 分類剖析

趙密密

分式在中考中占有一定的比例，它通常以填空題、選擇題、計算題和解答題的形式出現，主要考查分式的概念與分式的基本性質的運用，分式的運算，分式的化簡求值及利用分式方程解決實際問題等. 針對中考命題趨勢，在學習中應夯實基礎知識，注重對概念的理解，培養分析、解決問題的能力和對問題的探索能力.

一、 分式有意義、無意義或值為0的條件

例1 （2014·浙江溫州）要使分式有意義，則x的取值應滿足（ ）.

A. x≠2 B. x≠-1

C. x=2 D. x=-1

【分析】根據分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解.

解：由題意得，x-2≠0，

解得x≠2.

故選A.

【點評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：

（1）分式無意義?分母為零；

（2）分式有意義?分母不為零；

（3）分式值為零?分子為零，且分母不為零.

例2 （2014·貴州畢節）若分式的值為零，則x的值為（ ）.

A. 0 B. 1

C. -1 D. ±1

【分析】分式的值是0的條件：分子為0，分母不為0，由此條件解出x.

【解答】由x2-1=0，得x=±1.

當x=1時，x-1=0，故x=1不合題意；

當x=-1時，x-1=-2≠0，所以x=-1時分式的值為0. 故選C.

【點評】分式的值為0的條件中特別需要注意的是分母不能是0，這是經常考查的知識點.

二、 分式的運算

例3 （2014·云南）化簡求值：·x-

，其中x=.

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結果，將x的值代入計算即可求出值.

解：原式=·=x+1，

當x=時，原式=.

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

三、 解分式方程

例4 （2014·湖北孝感）分式方程=的解為（ ）.

A. x=- B. x=

C. x= D. x=

【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經檢驗即可得到分式方程的解.

解：去分母得：3x=2，

解得：x=，

經檢驗x=是分式方程的解.

故選B.

【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解. 解分式方程一定注意要驗根.

四、 分式方程的增根

例5 （2014·四川巴中）若分式方程-=2有增根，則這個增根是_____.

【分析】分式方程變形后，去分母轉化為整式方程，根據分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值，若還需求此時m的值，把x的值代入整式方程即可求得.

解：根據分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，則方程的增根為x=1. 故答案為x=1

【點評】此題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟解決：①使最簡公分母為0，確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關字母的值.

五、 分式方程的應用

例6 （2014·江蘇揚州）某漆器廠接到制作480件漆器的訂單，為了盡快完成任務，該廠實際每天制作的件數比原來每天多50%，結果提前10天完成任務. 原來每天制作多少件？

【分析】設原來每天制作x件，根據原來用的時間-現在用的時間=10，列出方程，求出x的值，再進行檢驗即可.

解：設原來每天制作x件，根據題意得：-=10，

解得：x=16，

經檢驗x=16是原方程的解，

答：原來每天制作16件.

【點評】此題考查了分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵，本題的等量關系是原來用的時間-現在用的時間=10.

六、 轉化思想、整體思想的運用

例7 （2014·四川涼山）先化簡，再求值：÷a

+2-，其中a2+3a-1=0.

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，已知方程變形后代入計算即可求出值.

解：原式=÷

=·

=

當a2+3a-1=0，即a2+3a=1時，原式=.

【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

七、 學科內綜合問題

例8 （2014·江蘇揚州）對x、y定義一種新運算T，規定：T（x，y）=（其中a、b均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算，例如：T（0，1）==b.

（1）已知T（1，-1）=-2，T（4，2）=1.

①求a，b的值；

②若關于m的不等式組T（2m，5-4m）≤4，

T（m，3-2m）>p恰好有3個整數解，求實數p的取值范圍；

（2）若T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立（這里T（x，y）和T（y，x）均有意義），則a，b應滿足怎樣的關系式？

【分析】（1）①已知兩對值，代入T中計算求出a與b的值；

②根據題中新定義化簡已知不等式，根據不等式組恰好有3個整數解，求出p的范圍即可；

（2）由T（x，y）=T（y，x）列出關系式，整理后即可確定a與b的關系式.

解：（1）①根據題意得：T（1，-1）==-2，即a-b=-2；

T（4，2）==1，即2a+b=5，

解得：a=1，b=3.

②根據題意得：

≤4， ①

>p. ②

由①得：m≥-；

由②得：m<，

∴不等式組的解集為-≤m<，

∵不等式組恰好有3個整數解，即m=0，1，2，

∴2<≤3，

解得：-2≤p<-；

（2）由T（x，y）=T（y，x），得到=，

整理得：（x2-y2）（2b-a）=0，

∵T（x，y）=T（y，x）對任意實數x，y都成立，

∴2b-a=0，即a=2b.

【點評】此題考查了分式的混合運算、解二元一次方程組，以及一元一次不等式組的整數解，弄清題中的新定義是解本題的關鍵.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）