一條焦點(diǎn)弦 年年高考題
——由一道課本例題到高考題的再探討

曹鳳山 (余杭高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

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一條焦點(diǎn)弦 年年高考題
——由一道課本例題到高考題的再探討

曹鳳山 (余杭高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 311100)

筆者曾在拙文[1，2]中對(duì)課本一道例題(人教A版選修2-1第69頁(yè)例4)如何演變到高考題，以及該例題本身作了一些引申、推廣.從近2年的高考題可以看出，從該例題“生發(fā)”出的高考題依然源源不斷，且命題手段不斷翻新，對(duì)該例題的進(jìn)一步挖掘也仍然很有意義.

例1 斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于點(diǎn)A,B，求線段AB的長(zhǎng).

圖1

由圖1可以看出，該例題涉及的直線上有不少重要的點(diǎn)，可謂一條名副其實(shí)的“珍珠鏈”，如焦點(diǎn)F，直線與拋物線2個(gè)交點(diǎn)A,B，與y軸的交點(diǎn)C，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)G以及弦AB的中點(diǎn)H等.從命題角度看，其中任意取2個(gè)點(diǎn)就有長(zhǎng)度問(wèn)題，3(或4)個(gè)點(diǎn)就有線段比值問(wèn)題，結(jié)合原點(diǎn)等直線外的點(diǎn)就有面積(比)問(wèn)題等.這些問(wèn)題都涉及核心知識(shí)，命題手法多種多樣，解題通性通法突出.由于圓錐曲線的統(tǒng)一性，對(duì)于橢圓、雙曲線的相應(yīng)問(wèn)題也有很大的挖掘空間.

1 長(zhǎng)度問(wèn)題

首先給出大家熟知的結(jié)論：

結(jié)論1 如圖1，過(guò)拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)F、傾斜角為θ的直線l交拋物線于點(diǎn)A,B，則

從結(jié)論1可以看出，拋物線的通徑為2p，是最短的焦點(diǎn)弦.

變式 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，焦點(diǎn)弦

例1中，k=1(即θ=45°)，p=2,故|AB|=8.

高考類(lèi)題

1.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于點(diǎn)A，B，則|AB|=

( )

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷文科試題)

2 線段比問(wèn)題

2.1 焦點(diǎn)分焦點(diǎn)弦的情形

圖2

如圖2，設(shè)BF=a,由拋物線的定義知BB1=a，AA1=λa.在△ABC中，AC=|λ-1|a,AB=(λ+1)a,從而

結(jié)合結(jié)論1，知：

高考類(lèi)題

2.設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F且與C交于點(diǎn)A,B.若|AF|=3|BF|,則l的方程為

( )

A．y=x-1或y=-x+1

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考課標(biāo)卷文科試題)

(這里p=2，λ=3,由結(jié)論2知，k2=3，故選C.)

(2012年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

4.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線交C于點(diǎn)A,B．設(shè)|FA|>|FB|，則|FA|∶|FB|=______．

(2008年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2010年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖3 圖4

2.3 拋物線上點(diǎn)分焦點(diǎn)與準(zhǔn)線交點(diǎn)的情形

故

高考類(lèi)題

圖5 圖6

( )

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

3 以線段為直徑的圓問(wèn)題

y2-2pty-p2=0,

從而

y1+y2=2pt,y1y2=-p2.

于是

圖7

高考類(lèi)題

( )

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考大綱卷理科試題)

8．設(shè)拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5,若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為

( )

A．y2=4x或y2=8xB．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16xD．y2=2x或y2=16x

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷理科試題)

4 面積問(wèn)題

根據(jù)結(jié)論1和結(jié)論2，在拋物線中的面積問(wèn)題，易得以下結(jié)論：

結(jié)論7 過(guò)拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)F、傾斜角為θ(斜率為k)的直線l交拋物線于點(diǎn)A,B，則

結(jié)論8 過(guò)拋物線y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)F、傾斜角為θ(斜率為k)的直線l交拋物線于點(diǎn)A,B，則

高考類(lèi)題

9.設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為30°的直線交C于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為

( )

(2014年全國(guó)數(shù)學(xué)高考新課標(biāo)卷試題)

10.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,點(diǎn)O是原點(diǎn).若|AF|=3,則△AOB的面積為

( )

(2012年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

( )

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考課標(biāo)卷文科試題)

12.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與該拋物線相交于點(diǎn)A,B,其中點(diǎn)A在x軸上方.若直線l的傾斜角為60°,則△OAF的面積為_(kāi)_____.

(2012年北京市數(shù)學(xué)高考理科試題)

[1] 曹鳳山.從課本例(習(xí))題到高考題的若干命題途徑[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2012(1):26-28.

[2] 曹鳳山.你能看出結(jié)果嗎？——以一道例題的探究為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考:上半月,2011(9):37-39.