冪函數(shù)過渡段復合變幅桿振動特性的研究

□ 張寧寧

渭南師范學院 物理與電氣工程學院 陜西渭南 714000

功率超聲振動系統(tǒng)通常是由超聲變幅桿、換能器和工具桿組成，其中變幅桿是決定聚集能量和放大振幅的最關(guān)鍵元件。目前對于各種單一形狀及其不同組合的變幅桿研究較多［1-6］，但對于三段以上變幅桿計算各性能參數(shù)時，如應(yīng)用傳統(tǒng)計算方法，各參數(shù)的求解繁瑣、復雜。本文應(yīng)用傳輸矩陣方法［5］，計算復合三段式冪函數(shù)變幅桿的頻率方程和放大系數(shù)，并以前后段長度相等為例作進一步分析，利用ANSYS軟件進行模態(tài)分析，結(jié)果表明，諧振頻率和放大系數(shù)模擬值與計算值誤差都較小，說明本文理論的正確性，其結(jié)果可為此類變幅桿的頻率修正提供理論依據(jù)和參考。

1 冪函數(shù)形復合變幅桿理論分析

圖1為冪函數(shù)形復合變幅桿的示意圖，其中Ⅰ和Ⅲ為等截面棒大小段部分，Ⅱ為冪函數(shù)形變截面棒部分，大小端橫截面積分別為 s1、s2，其面積函數(shù)為 s（x）=將作用在變幅桿輸入端及輸出端的力及振動速度分別記為 F1、、 F2、， 冪函數(shù)截面半徑為：（其中形狀參數(shù)a=（N-1），大小端半徑比

單一冪函數(shù)形變幅桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)各參量分別為 ［7］：

▲圖1 冪函數(shù)形復合變幅桿

應(yīng)用傳輸矩陣理論［5］可得到如下關(guān)系式：

式中：k 為波數(shù)；z1=ρCs1，z2=ρCs2，ρ、C 分別為材料密度及縱波速度；A11、A12、A21、A22分別為復合變幅桿的等效四端網(wǎng)絡(luò)各參量。

當兩邊界自由時，即F1=F2=0，得A12=0，通過矩陣運算可得：

由此可得到具有冪函數(shù)過渡段形狀的階梯形變幅桿頻率方程：

同理由矩陣運算得放大系數(shù)為：

2 數(shù)值分析

兩端長度相等而截面不同的階梯形變幅桿，它的振幅放大系數(shù)最大［8］，因此研究kL1=kL3的具有冪函數(shù)形過渡段的階梯形復合變幅桿顯得更具有實際意義。作為例子，對kL1=kL3的復合變幅桿進行分析，將kL1=kL3代入式（4），其頻率方程變?yōu)椋?/p>

以N為參變量，由上式即可描繪出在諧振條件下變幅桿過渡段參數(shù)kL2與階梯桿參數(shù)kL1之間的相互關(guān)系曲線，如圖2所示。由圖可知，當kL2＜1.5時，隨N的增大，kL1隨kL2的增大而下降較快，當kL2＞1.5 時，隨N的增大，kL1隨kL2的增大而下降較慢，并且 N愈大，這種現(xiàn)象愈明顯。

同樣把kL1=kL3代入式 （5），其振幅放大系數(shù)變?yōu)椋?/p>

▲圖2 諧振條件下kL1與kL2的關(guān)系曲線族

表1 N不同時模擬值與計算值的比較

表2 N相同、L2不同時模擬值與計算值的比較

為了驗證本文中所得結(jié)論的準確性，取變幅桿材料為45號鋼，楊氏模量E=216 GPa，泊松比σ=0.28；密度 ρ=7.84×103kg/m3。 用 ANSYS有限元模態(tài)分析，并與理論值進行比較，表1為N不同時模擬值與計算值的比較，表2為N相同、L2不同時模擬值與計算值的比較。表中：D1和D2分別為變幅桿大端和小端的直徑，f1和f2分別代表理論計算頻率和ANSYS模擬頻率，是頻率的相對誤差，M1為理論放大系數(shù)，M2為模擬放大系數(shù)，為放大系數(shù)的相對誤差。

由表1可以看出，隨著N的增加，頻率與放大系數(shù)都在增大，通過比較還可以看出，不論是諧振頻率還是放大系數(shù)，模擬值與計算值的相對誤差都較小，表明本文理論的正確性。由表2可以看出，當N相同、過渡段長度L2不同時，諧振頻率與放大系數(shù)的模擬值與計算值的相對誤差還是較小，同時還可以看出，隨著L2的增加，諧振頻率和放大系數(shù)都不斷減小，這為此類變幅桿的頻率修正提供了理論依據(jù)和參考［9－13］。

3 結(jié)論

利用傳輸矩陣推導了冪函數(shù)形復合變幅桿的頻率方程和放大系數(shù)，分析了過渡段對放大系數(shù)及頻率特性的影響，在此基礎(chǔ)上又用有限元軟件ANSYS進行了模態(tài)分析，驗證了本文計算的正確性，與數(shù)值法相比，大大簡化了計算過程，物理意義也比較明顯。

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