MATLAB在定積分教學中的應用

任晴晴 霍振香 靳志同 趙宜賓

作者簡介：任晴晴（1987.2-），女，漢族，山東高密人，研究生，講師，研究方向：統計學。

霍振香（1985.8-），女，漢族，河北邯鄲人，研究生，講師，研究方向：應用數學。

靳志同（1984.2-），男，漢族，河北邯鄲人，研究生，講師，研究方向：應用數學。

趙宜賓（1976.12-），男，漢族，河北三河人，研究生，教授，研究方向：應用數學。

摘要：本文借助于MATLAB軟件將定積分的定義過程進行動態演示，并將程序運行結果以圖表形式呈現。結合軟件將理論知識進行形象直觀展示，有利于學生對于知識的理解和掌握。

關鍵詞：MATLAB;定積分;直觀展示

中圖分類號：O172.2文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）03-0099-02

高等數學是本科理工類學生的一門非常重要的基礎課，該課程理論嚴謹，應用廣泛。傳統的高等數學教學過于注重理論推導和邏輯訓練，導致學生學習興趣不高。為提高學生學習高等數學的興趣，可盡量使得理論教學形象化，幫助學生直觀、形象理解所學內容。

定積分是高等數學研究的重點之一。定積分定義中涉及到“大化小、常代變、近似和、取極限”的過程。該定義過程理論性較強，抽象難理解而缺少形象的直觀展示，這使得部分學生抵觸定積分的學習。

MATLAB是由美國MathWorks公司出品用于算法開發、數據可視化、數據分析及數值計算的商用數學軟件。本文將借助于MATLAB軟件實現定積分定義過程的動態演示，將枯澀難懂的理論進行直觀展示，幫助學生們在直觀展示中學習并掌握定積分的定義。

1、定積分的定義

設函數y=f（x）是有界閉區間[a，b]上的有界函數。在區間[a，b]中任意插入n-1個分點：

a=x0

將[a，b]分為n個子區間，每個子區間的長度為Δxi=xi-xi-1，（i=1，2，…，n）。在每個子區間[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）上任取一點ξi，然后作和：Sn=∑ni=1f（ξi）Δxi。

令λ=maxΔx1，Δx2，…，Δxn。若無論[a，b]怎樣劃分，也無論在子區間[xi-1，xi]上ξi怎樣選取，總存在常數I使得當λ趨于0時，和Sn趨于I，則稱該極限值I為函數f（x）在[a，b]上的定積分，記作∫baf（x）dx，即：

∫baf（x）dx=I=limλ→0Sn=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi

2、定積分的動態演示

求下列定積分：I=∫60（x+x2）dx。

首先編寫名為dingyi.m的M函數文件，該文件將實現定積分的定義過程。

function s=dingyi（fun，a，b，n）

h=（b-a）/n;s=0;

for k=1：n

x（1）=a+（k-1）*h;x（2）=a+k*h;

x（3）=x（2）;x（4）=x（1）;

t=（x（3）+x（4））/2;

y（1）=0;y（2）=0;

y（3）=feval（fun，t）;y（4）=y（3）;

s=s+h*y（3）;

fill（x，y，[0 0 1]）;

hold on

end

fplot（fun，[a，b]）

hold off

然后編寫下列名為zhuchengxu.m的M文件，通過調用dingyi.m的M函數文件將直觀地動態展示定積分的定義過程，其中n為[a，b]所分成的子區間的個數。

a=0;b=6;c=（a+b）/2;

fun=inline（‘x+x.^2）;fun1=inline（‘-x-x.^2）;

[xmax，fval]=fminbnd（fun1，a，b）;

fval=-fval;

tol=;

for n=10：30

s=dingyi（fun，a，b，n）;

tol=[tol;n，s];

title（‘定積分的動態演示）;

strs=strcat（‘n=，num2str（n），‘，s=，num2str（s））;

text（c，fval，strs，‘HorizontalAlignment，‘center）;

pause（2）

end

調用zhuchengxu.m的M文件運行結果（動態演示的最后一步）如圖1所示。

圖1zhuchengxu.m運行結果

圖2不同n值運行結果

表1定積分定義過程中不同n值對應的運行結果

n積分和n積分和n積分和

1089.82001789.93772489.9688

1189.85121889.94442589.9712

1289.87501989.95012689.9734

1389.89352089.95502789.9753

1489.90822189.95922889.9770

1589.92002289.96282989.9786

1689.92972389.96603089.9800

調用下列程序計算積分的真值：

syms x;int（x+x2，0，6）

輸出結果為：90。

隨著n值的改變，zhuchengxu.m的運行結果如圖2所示。圖中顯示隨著子區間數目n值的增大，運行結果越接近于定積分的真值90.通過修改函數f（x）的表達式和積分區間[a，b]上述程序可實現不同函數對應于不同區間的定積分動態演示過程。

借助于MATLAB軟件將定積分的定義過程進行動態演示有助于學生對該部分內容的理解與掌握，調動學習興趣。在以后的授課過程中可結合軟件實現理論的直觀展示。

（作者單位：防災科技學院基礎課教學部）

資助基金：防災科技學院教研項目（JY2014B11）;河北省高等教育教學改革研究與實踐項目（2015GJJG256）。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系，高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社2012.

[2]張棟恩等，MATLAB高等數學實驗[M].北京，電子工業版社，2010.

[3]陳永勝，基于幾何畫板和MATLAB模擬定積分定義[J].牡丹江教育學院學報，2012，2：152-153.

[4]李娜等，MATLAB在高等數學教學中的應用研究[J].大學教育，2012，1（11）：66-67，74.