Fibonacci數列一類推廣數列的性質與應用

作者簡介：黃秋茂，漢，汕頭市潮陽建筑職業技術學校，助理講師，學歷：本科。

摘要：使用矩陣的方法，對Fibonacci數列的一類推廣數列{fn}進行深入的討論，得到它的矩陣，并得到相應的性質，同時也涉及了這類數列的一些應用問題。

關鍵詞：Fibonacci數列;通項公式;矩陣

中圖分類號：O611.4文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）03-0132-02

主要內容

吳振奎在《斐波那鍥數列》中，講述了大量關于Fibonacci數恒等式的結果，并定義了Fibonacci矩陣11

10，同時還給出了Fibonacci數列通項的多種表達形式，例如公式：

Fn=151+52n-1-52n，n=0，1，2，3…

矩陣表示形式：

Fn+1Fn

FnFn-1=11

10nn=1，2，3…

行列式形式：

Fn=1-100…00

11-10…00

011-1…00

0011…00

…………………

0000…1-1

0000…11n×n

隨著人們對Fibonacci數列的深入研究，Fibonacci數列的推廣形式也進一步豐富起來，如彭黎霞的《三階Fibonacci數列的性質與應用》，就通過對三階Fibonacci數列的分析，求得通項公式，并得到一些性質，同時舉例加以應用。本文利用高等代數的方法，對Fibonacci數列的推廣數列{fn}進行定義，即f0=1，f1=1，f2=1，，當n≥2時，fn+1=fn+fn-2，同時求得相應的矩陣，并得到與Fibonacci數列相似的性質，并舉例加以應用。

1.fn+1=fn+fn-2數列與fn+1=fn+fn-2矩陣

定義1數列{fn}，f0=1，f1=1，f2=1，fn+1=fn+fn-2，n=2，3，4….稱數列{fn}為Fibonacci數列的推廣數列.

定義2矩陣101

100

010稱為推廣的三階Fibonacci矩陣.

定理1對于{fn}，有

fnfn+1-fnfn-1

fn-1fn-fn-1fn-2

fn-2fn-1-fn-2fn-3=101

100

010n，n=3，4，5….

證：當n=3時，

f3f4-3f2

f2f3-2f1

f1f2-1f0=211

111

101=101

100

0103

等式成立.

假設當n=k時，等式成立.即

fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

fk-2fk-1-fk-2fk-3=101

100

010k.

當n=k+1時，

101

100

010k+1=101

100

010k×101

100

010=fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

fk-2fk-1-fk-2fk-3×101

100

010

=fk+1fk-1fk

fkfk-2fk-1

fk-1fk-3fk-2=fk+1fk+2-fk+1fk

fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

即等式成立.

綜上所述，對于一切大于或等于3的正整數n都成立.證畢.

2.Fibonacci數列一類推廣數列{fn}中的性質

性質1對于{fn}中三個連續的數，它們的最大公因子為1.即（fn+2，fn+1，fn）=1

證由推論1得

fn+2fn+1fn

fn+1fnfn-1

fnfn-1fn-2=-1

將它們按第一列展開得：

fn+2×（fn×fn-2-f2n-2）-fn+1×（fn-1×fn-2-fn×fn-1）+fn×（fn+1×fn-1-f2n）=-1

設（fn+2，fn+1，fn）=d，則有d=1，即（fn+2，fn+1，fn）=1.

3.數列{fn}通項的組合數和形式

設爬n階樓梯，一次可跨三階或一階，爬到n階時不同的方法有多少種？

記fn表示到n階樓梯的走法，為求fn，我們考慮如果第一次跨上一階時，那么后面有fn-1種方法，如果第一次跨上3階時，那么后面有fn-3種方法.于是有fn=fn-1+fn-3，而且顯然，f1=1，f2=1，f3=2，f4=3，于是我們做如下分析.設為了爬n階樓梯，我們一次跨了三階有n-3i次，一次跨一階的就有n-3i，而且0≤i≤n3.這時共跨了（n-3i）+i=n-2i次，我們從n-2i次中選出i次跨了三階的，剩下的就是一次跨一階的了.從而不同的爬樓梯方式有Cin-2i種，于是我們得到：fn=∑n3i=0Cin-2i.

即得.

定理4對于Fibonacci數列一類推廣

數列{fn}，有fn=∑n3i=0Cin-2i.

4.數列{fn}在組合上的應用

例1有雌雄一對兔子，假定過三個月后，每個月便可繁殖雌雄各一的一對小兔子，小兔子經過三個月后，每一對兔子每個月也能繁殖雌雄各一的一對小兔子.問過n個月后共有多少對兔子？

分析：設第n個月底，共有F（n）對兔子.易知F（1）=1，F（2）=1，F（3）=2.當n≥4時，第F（n）個月底，共有F（n）對兔子，他們可分成如下兩類：①在第n-1個月或以前出生的兔子.屬于此類的兔子共有F（n-1）對.②在第n個月出生的兔子.屬于此類的兔子是由第n-3個月底的F（n-3）對兔子的繁殖.故共有F（n-3）對兔子.由加法原則，有F（n）=F（n-1）+F（n-3）.

例2現有紅藍兩種顏色的小球（兩種小球的數量都足夠多），將其排成一行，要求每個藍球的后面至少有兩個紅球，假設一行有n個位置，問滿足條件的排法有多少種。

分析：設共有f（n）種不同的排法。當n=1時，這時只有一個位置，這時只能放紅球，藍球不滿足要求，這時只有一種排法，可得f（1）=1;當n=2時，這時有兩個位置，但只能放兩個紅球，藍球放在任何一個位置都不合適，這時只有一種排法，可得f（2）=1;當n>2時，這時有三個或更多的位置，如果第一個位置放置紅球，則后面的n-1個位置只要按要求排放即可，有f（n-1）中排法，如果第一個位置放藍球，根據要求后面兩個位置只能放紅球，則后面n-3個位置有f（n-3）種排法，綜合起來有f（n）=f（n-1）+f（n-3），且f（1）=1，f（2）=1，即排法f（n）構成Fibonacci數列。

例3某社團社長要把某個通知傳達下去，他決定在QQ上把通知傳達出去（不考慮群發），他把這則通知發給兩個社員，兩位社員收到消息后也立即轉發給其他人，假設兩位部長每人轉發通知兩次，其他人收到通知后也會同樣轉發兩次，同時假設這中間沒有重復現象出現，發送和轉發一次需要1秒鐘，并且轉發后需要隔一秒鐘才能再轉發一次，則10秒鐘后，有多少人收到通知？

分析：根據題意可知，第一秒鐘，社長發送通知，第二秒鐘有一個部長接到通知，到了第三秒鐘，共有兩個人新接到通知，第四秒鐘就有1+2=3人接到通知，第五秒鐘發布社長已經通知了兩個部長就不再通知其他人了，此時接到通知的人有1+3=4人，依次類推，到了第n秒鐘，接到通知的人數剛好是前一秒鐘接到通知人數與前三秒鐘接到通知人數的總和，如此則剛好構成Fibonacci數列，則有10秒鐘后接到通知的人數是f0+f1+f2+…+f10=87。

（作者單位：汕頭市潮陽建筑職業技術學校）

參考文獻：

[1]吳振奎.斐波那鍥數列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987

[2]邵品琮.廣義Fibonacci序列及其應用[J].青島教育學院報，2001，14（1）：36-38

[3]及萬會.r階Fibonacci數列[J].高師理科學刊，2005，25（1）：13-16.

[4]彭黎霞.三階Fibonacci數列的性質與應用[J].莆田學院學報，2006，13（5）：5-8

[5]曹汝成.組合數學[M].廣州：華南理工大學出版社，2001.