共面伴飛相對運動橢圓相位最省燃料控制問題

吳會英 周美江 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 201203)

共面伴飛相對運動橢圓相位最省燃料控制問題

吳會英 周美江 齊金玲

(上海微小衛(wèi)星工程中心，上海 201203)

針對伴隨微納衛(wèi)星資源受限，軌控需實現(xiàn)最省燃料控制的現(xiàn)實問題，基于Hill方程和二元函數(shù)極值理論，研究了共面編隊伴飛衛(wèi)星的最省燃料相位控制策略。分析結果表明：當需要改變的相位為銳角、ΔV<0.5nb橫向控制對相對運動橢圓相位改變效率最高，ΔV=0.5nb|cosΘ|控后相位為相對運動橢圓左右點，同時將相對運動橢圓短半軸控??；以伴隨衛(wèi)星繞參考衛(wèi)星共面伴飛相位控制為例，應用這一理論求解了控制策略。

Hill方程；相位改變量；控制量；控制時機；控制方向；共面編隊飛行；伴隨衛(wèi)星

1 引言

編隊飛行技術自20世紀90年代后期發(fā)展以來已有一些應用實例，例如1997年發(fā)射的美國納米小衛(wèi)星AERCam，2000年發(fā)射的英國SNAP-1衛(wèi)星，2003年發(fā)射的美國NASA的X系列飛行器XSS-10衛(wèi)星，2008年發(fā)射的中國SZ-7號伴隨衛(wèi)星等。這些衛(wèi)星的共同特點是質量、尺寸、功耗都較小，承載著為大衛(wèi)星保駕護航的任務，需要在有限推進資源的前提下實現(xiàn)最高的效率控制。

衛(wèi)星編隊需要根據(jù)任務需求配置構型[1]，在軌長期運行還需要進行構型保持。由于工程約束和推進劑限制，需要對構型控制中的最省燃料控制問題開展研究[2]。已有諸多學者對此進行了研究并取得了一些成果，比如美國空軍實驗室的His-HanYeh和AndrewSparks基于Hill方程[3]解析解，針對兩星自然橢圓編隊和圓形星下點編隊的相對運動軌跡，對軌道面內、外的基本構型進行了研究[4]；米蘭理工大學的研究人員分析了編隊飛行構型重構中最優(yōu)小推力機動策略，利用多重打靶法(Multiple-shootingMethod)將不同約束條件轉化為非線性約束，并利用非線性優(yōu)化理論中的內點法求解了該最優(yōu)化問題[5]，但該方法對計算性能要求很高，很難在實際工程中進行應用。

文獻[6]以軌道根數(shù)描述相對運動，給出了近圓編隊的重構算法；文獻[7]用軌道根數(shù)設計了Lyapunov連續(xù)控制方法，獲得了編隊隊形保持的非線性燃料次優(yōu)控制；文獻[8]對近圓參考軌道衛(wèi)星編隊采用了3次脈沖控制方法，一次為法向，另兩次僅為徑向或切向。但上述文獻是通過軌道根數(shù)實現(xiàn)的控制算法，且未給出定量關系，與本文提出的以相對信息作為輸入量控制完全不同。

針對微小衛(wèi)星共面編隊的最省燃料控制問題，筆者已發(fā)過表3篇文章：文獻[9]針對橫向控制對橢圓短半軸大小的改變進行了討論，文獻[10]較文獻[9]進行了更加全面精確的推導，文獻[11]在橫向控制的前提下對多星編隊的最省燃料相位控制問題進行了求解。多星編隊中星群協(xié)作完成任務需要對星群相位進行控制和保持，本文在文獻[11]的基礎上，結合二元函數(shù)極值理論，對控制量

一定時最高效率相位控制的控制時機和控制方向進行更加全面、嚴謹?shù)臄?shù)學推導，并通過仿真實例進行驗證。另外，文獻[12]給出了軌控點(即本文提到的控制時機)對相對運動橢圓短半軸的影響，與筆者的思想有相似之處。

2 最省燃料相位控制理論

2.1 相對運動方程解——Hill方程解

兩航天器在軌道面內的相對運動解為相對軌道坐標系(x軸由地心指向參考衛(wèi)星質心，為徑向；y軸在軌道面內垂直于x軸，沿飛行方向，為橫向；z軸為軌道面法向)中長半軸為短半軸兩倍的橫向漂移橢圓：

(1)

(2)

(3)

相對運動參數(shù)解為

(4)

式中Θ=nt+θ為伴隨衛(wèi)星在相對運動橢圓上的相位[11]；θ為初始相位。由式(4)定義相位Θ：

(5)

2.2 相位改變量與控制的關系

軌道面內的控制量ΔV可分解為橫向控制量ΔVy=ΔVcosφ和徑向控制量ΔVx=ΔVsinφ(其中ΔV為控制量的大小，φ為控制方向角，從相對軌道坐標系的正y軸起算，逆時針旋轉為正)，由式(3)和式(5)可知，橫向控制和徑向控制均會改變相對運動橢圓短半軸和橢圓上的相位。

設橫向控制量ΔVy與徑向控制量ΔVx使橢圓短半軸改變Δb，由式(3)得到

(6)

式(6)兩式相減并考慮式(4)，得到Δb與控制量ΔV、控制方向角φ和控制時機Θ的關系：

(7)

設橫向控制量ΔVy與徑向控制量ΔVx使相位改變ΔΘ，由式(2)和式(5)得到

(8)

考慮式(4)，得到ΔΘ與控制量ΔV、控制方向角φ和控制時機Θ的關系：

(9)

2.3 最省燃料相位控制的求解

(10)

K對控制時機Θ求一階偏導數(shù)，有

(11)

K對控制方向角φ求二階偏導數(shù)，有

(12)

K對控制時機Θ求二階偏導數(shù)，有

(13)

K對控制時機Θ和控制方向角φ求二階混合偏導數(shù)，由于二階混合偏導數(shù)連續(xù)，有

(14)

(15)

對式(15)的解進行討論如下。

(1)cosφ=0且sinΘ-λsinφ=0

(16)

此時

(17)

非極值，相位改變量為

(18)

(19)

得到與式(17)相同結果，非極值，相位改變量為

(20)

圖1 y軸上、下半平面示意

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一y半平面，Θ為鈍角，則ΔΘ=π-Θ應為銳角。即當λ<1，ΔV

(21)

得到與(1)條件下第1)條相同的結果式(16)、式(17)，非極值，相位改變量為

(22)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一y半平面，Θ為負鈍角，則ΔΘ=π-Θ應為負銳角。即當λ<1，ΔV

(23)

得到與第(2)條相同的結果式(17)，非極值，相位改變量為

(24)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一y半平面，Θ為負銳角，則ΔΘ=-Θ應為銳角。即當λ<1，ΔV

(25)

(2)sinφ=0且cosΘ-2λcosφ=0

(26)

此時

(27)

且

(28)

取極大值，相位改變量為

(29)

圖2 x軸左、右半平面示意

只可能改變大小，但符號不變。所以改變后的相位Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一x半平面(x半平面定義參見圖2)，Θ為銳角，則ΔΘ=π/2-Θ應為銳角。即當λ<1/2、ΔV<0.5nb時，在第一象限相位為Θ處施加橫向控制量ΔV=0.5nbcosΘ，會極大效率地增大相位至π/2(即左點)，此時相位改變量為

(30)

得到與式(27)相同的結論，且

(31)

取極小值，相位改變量為

(32)

考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一x半平面，Θ為負銳角，則ΔΘ=-π/2-Θ應為負銳角。即當λ<1/2，ΔV<0.5nb時，在第四象限相位為Θ處施加橫向控制量ΔV=0.5nbcosΘ，會極大效率地減小相位至-π/2(即右點)，此時相位改變量為

(33)

得到與2)條件下第(2)條相同的結果式(31)、式(32)?？紤]相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一x半平面，Θ為鈍角，則ΔΘ=π/2-Θ應為負銳角。即當λ<1/2，ΔV<0.5nb時，在第二象限相位為Θ處施加反橫向控制量ΔV=-0.5nbcosΘ，會極大效率地減小相位至π/2(即左點)，此時相位改變量為

(34)

得到與(2)條件第1)條相同的結果式(26)～式(29)。考慮相位改變前后Θ′=Θ+ΔΘ應與Θ在同一x半平面，Θ為負鈍角，則ΔΘ=-π/2-Θ應為銳角。即當λ<1/2，ΔV<0.5nb時，在第三象限相位為Θ處施加反橫向控制量ΔV=-0.5nbcosΘ，會極大效率地增大相位至-π/2(即右點)，此時相位改變量為

(35)

(3)cosΘ-2λcosφ=0且sinΘ-λsinφ=0

易得

(36)

(37)

(38)

得到0.5≤λ≤1，即0.5nb≤ΔV≤nb，控制總是將橢圓短半軸減小到0。此時相位改變量為

(39)

tanΔΘ為一0∶0型的未定式。由于橢圓減小為零，相位改變量可以為任意值，為控制奇點。

(4)小結

根據(jù)前文(1)～(3)的推導，得到相位改變量ΔΘ和控制量ΔV、控制時機Θ、控制方向角φ之間的關系如表1所示。

表1 控制量、控制時機、控制方向角與相位改變量、短半軸改變量的關系

另外，在上下點橫向或反橫向控制(ΔV<0.5nb)、左右點徑向或反徑向控制(ΔV

(5)仿真驗證

設置一組仿真算例：伴隨衛(wèi)星相對參考衛(wèi)星共面繞飛，利用STK軟件的二體模型導出二者相對軌道數(shù)據(jù)，對伴隨衛(wèi)星在不同控制時機施加大小一定、方向不同的控制量，用Matlab編程求解相位改變量。設置控制量ΔV=0.5nb·cos70°<0.5nb，得到相位改變量ΔΘ與控制時機Θ和控制方向φ的關系如圖3～圖6所示。

由圖3～圖5可以讀出幾個相位改變量的極值點為

(40)

與理論推導相符。

圖3 相位改變量ΔΘ與控制方向角φ和控制時機Θ的關系

圖4 相位改變量ΔΘ在控制方向角φ和控制時機Θ平面內的投影

圖5 ΔΘ與φ和Θ的關系—ΔΘ和φ面內投影

圖6 ΔΘ與φ和Θ的關系—ΔΘ和Θ面內投影

3 仿真算例

根據(jù)2.1節(jié)推導的最省燃料相位控制理論，利用STK軟件的HPOP軌道外推模型(考慮所有攝動)，導出控前、控后的相對軌道數(shù)據(jù)，求解相位差與相關物理參數(shù)進一步對本文理論進行驗證。

參考衛(wèi)星O為700km圓軌道，交點周期T=5 922s；初始相對運動狀態(tài)為伴隨衛(wèi)星A、B、C、D繞參考衛(wèi)星的共面伴飛閉合橢圓，A、B相位差ΘB-ΘA=170°，B、C、D相位均分(參見圖7，初始伴飛橢圓短半軸b0=5.672 6 km。軌道控制目標有4個：

1)A相位增加80°，使ΘB-ΘA由170°變?yōu)?0°。

2)A相對O的相對運動橢圓中心漂移速度不超過±0.003m/s。

3)A相對O的相對運動橢圓中心橫向偏心不超過±0.1km。

4)A相對O的相對運動橢圓短半軸與初始狀態(tài)相同。

3.1 軌道控制策略

需要改變的相位較大或非銳角時，可以分成多個較小銳角進行N次控制，兼顧其余相對運動參數(shù)的控制。設計3次控制到位，首次控制在第一象限內橫向控制，第2次在第三象限反橫向控制，第3次仍在第一象限內橫向控制，且第2次控制的量值等于第1、第3次的控制量的總和。具體軌控策略推導如下。

在第一象限實施第1次橫向控制，控后相位為π/2，有

(41)

控后橢圓短半軸為

(42)

在第三象限實施第2次反橫向控制，控后相位為-π/2，有

(43)

控后橢圓短半軸為

(44)

在第一象限實施第3次橫向控制，控后相位為π/2，有

(45)

控后橢圓短半軸為

(46)

為保證最終A相對O的相對橢圓中心漂移速度在±0.003m/s范圍內(即A星控后的絕對軌道半長軸不變)，應有

(47)

得到

(48)

考慮控制目標

(49)

聯(lián)立式(48)、式(49)兩個方程，3個未知數(shù)，無惟一解。根據(jù)本文的推導，最省燃料相位控制總是減小相對運動橢圓短半軸，由于第2次控制的控制量為第1、3次控制的控制量和，為避免第2次最省燃料相位控制將橢圓短半軸減小為0，首次控制的控制量應較小，同時可以保證A不會很快遠離O和B，這對編隊衛(wèi)星實際構型控制時兼顧星間通信和星間測量有現(xiàn)實指導意義。

3.2 軌道控制結果

對式(48)、式(49)以0.1°步長進行尋解，并考慮A相對O的相對運動橢圓中心橫向偏心在±0.1km范圍內，得到如表2所示的4組結果。

表2 3次控制的四組解(第1次與第3次為橫向，第2次為反橫向控制)

考慮首次控制的控制量不應太大，且兩次控制的時間間隔盡量較短，選擇第2組解為本例的控制策略。其中相位的改變量與控后橢圓短半軸的差異總結如表3所示。

表3 仿真結果與理論推導的差異(第2組解)

仿真結果與理論值的差異為計算過程中的舍入誤差以及伴隨衛(wèi)星與參考衛(wèi)星所受的攝動力差異,全過程的控制示意如圖7所示。

圖7 全過程控制曲線

4 結束語

實際工程應用時，若需要控制的相位角較大或非銳角，需將要改變的相位角分解，進行多次控制，同時兼顧其他相對運動參數(shù)的控制。對編隊衛(wèi)星構型控制來講，相位控制必然會引起其他相對運動參數(shù)的改變，有必要進行編隊衛(wèi)星構型控制的耦合性分析，限于篇幅，本文僅以仿真實例進行了簡單介紹，詳細的相對運動參數(shù)耦合控制將作為筆者下一步重點研究的問題。

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(編輯：楊嬋，范真真)

Research on Minimum Fuel Control of Relative Ellipse Phase in In-Plane Companion-Flying

WU Huiying ZHOU Meijiang QI Jinling

(Shanghai Engineering Center For Microsatellites, Shanghai 201203)

Hill equation；Change of phase；Control quantity；Control time；Control direction;In-plane companion-flying；Companion satellite

2015-04-01。收修改稿日期：2015-07-04

10.3780/j.issn.1000-758X.2015.06.004

吳會英 1979年生，2004年獲中國科學院紫金山天文臺天體力學與天體測量專業(yè)碩士學位，副研究員。研究方向為衛(wèi)星總體設計、軌道設計與軌道控制。