基于hp自適應偽譜法的飛行器再入軌跡優化與制導

夏紅偉，李秋實,2，李 莉，宋效正，王常虹

（1. 哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽 110016；3 上海衛星工程研究所，上海 200240）

基于hp自適應偽譜法的飛行器再入軌跡優化與制導

夏紅偉1，李秋實1,2，李 莉1，宋效正3，王常虹1

（1. 哈爾濱工業大學 空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱 150001；2. 中國科學院沈陽自動化研究所，沈陽 110016；3 上海衛星工程研究所，上海 200240）

研究了一種基于hp自適應偽譜法的飛行器再入在線軌跡優化與制導方法。首先針對飛行器再入段在末速度最大的條件約束下進行了軌跡優化；然后針對再入段地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動等因素，設計了基于hp自適應偽譜法的反饋制導方法；最后進行了數學仿真研究。仿真結果表明：采用本文提出的反饋制導方法得到的末速度為6.93 km/s，比未采用閉環制導的方法提高了0.33 km/s，并且制導精度提高了15倍。

飛行器再入；hp自適應偽譜法；軌跡優化；反饋制導

返回、再入和著陸過程是返回式航天器整個飛行任務鏈的最后階段，保證航天器安全再入返回是航天技術研究的重要問題。其中再入段由于經過大氣層，動力學模型相對復雜，并且由于存在建模誤差、各種擾動等因素，該階段的軌跡優化和制導設計顯得尤為重要[1-4]。

Naidu[5]采用匹配漸近展開法基于ADBARV坐標系的大氣層內飛行器動力學方程對飛行器再入優化問題進行了求解分析。Zimmerman等[6]提出了一種用于可重復使用飛行器再入階段的控制算法，借助自主仿真和自尋的技術解決飛行器再入問題。目前對于飛行器再入段動力學模型的研究已經取得了較好的研究成果，但在再入段軌跡優化方法方面，普遍存在最優軌跡生成時間長的困擾[6-7]；由于軌跡生成時間長，多采用離線生成最優軌跡進行制導，這導致制導精度受模型參數變化、擾動等因素影響而難以提高[1-3,8-9]。針對上述問題，本文采用hp自適應偽譜法對飛行器再入段進行軌跡優化，并設計了一種在線軌跡生成的hp自適應偽譜法反饋制導法，通過仿真驗證了方法的可行性。

1 飛行器再入段建模

與載人飛行器的再入過程不同，本文研究的飛行器再入過程以保持高速下降為目標，其下降時間極短，故可對再入段做如下假設：1）地球為勻質圓球且不考慮自轉；2）忽略地球大氣與地面的相對運動，且同高度分布均勻；3）再入飛行器質量不變。飛行器在大氣層內的運動受重力和氣動力的綜合作用，選取位置幅值R、速度幅值V、赤經θ、地心赤緯λ、航跡角γ、偏航角ψ作為狀態量。飛行器模型可描述為式(1)所示：

式中，m為飛行器質量，σ為傾側角，TD、TL分別為阻力和升力，可由式(2)表示：

式中：ρ為大氣密度，S為飛行器有效面積；CD、CL分別為阻力系數和升力系數，這兩個系數決定了氣動模型的精確程度。為保證模型精度，本文采用文獻[8]中通過高精度的擬合得到的阻力和升力系數模型，如式(3)所示：

由上面模型可見，飛行器再入段的運動軌跡由攻角α和傾側角σ這兩個控制量確定。

對于本文研究的飛行器再入問題，該模型可以進一步簡化成式(4)形式：

此時，λ代表再入飛行器航程對應的地心角，飛行器再入段的運動軌跡由攻角α控制。

2 軌跡優化方法分析

軌跡優化方法可分為間接法和直接法。近年來，由于直接法具有對初值依賴小、收斂速度快的優點，取代間接法成為了發展主流。直接法直接對動力學方程和控制量進行離散化，將軌道的優化轉化為一個參數優化問題，并利用參數優化方法求解問題從而得到最優軌跡。偽譜法是一種優秀的直接軌跡優化方法，它采用全局插值多項式為基函數，近似整個時間歷程的狀態變量和控制變量。它可采用較少的離散點得到極高精度的擬合近似解。一般擬譜法的擬合精度為節點數的指數精度，要遠遠高于其他直接法的精度。但在處理一些模型復雜的最優控制問題時，偽譜法中插值多項式階數過高會導致雅克比矩陣及海森矩陣維數過高，運算難以進行[9]。

此外，有限元法是一種通過對連續體離散化求解力學問題的數值計算方法，它提高計算精度的方法可分為h細化和p細化。其中，h細化是對插值單元長度h進行細分，即通過加密有限元網格以提高精度；p細化是提高插值多項式的階數p以提高精度。hp型有限元法同時并獨立的采用h細化和p細化兩種提高精度方法，從而可以在合理的網格密度和插值多項式階數的情況下獲得較高精度。

hp自適應偽譜法就是將有限元法思想和全局偽譜法相結合得到的最優控制方法。通過hp型有限元法的思想自適應的選取時間區段數和插值多項式階數，在較低運算代價的情況下獲取較高的精度。本文所研究的飛行器再入段經過大氣層，動力學模型較為復雜，鑒于此，本文采用hp自適應偽譜法，將有限元法中的細化思想引入偽譜法中，可有效提升偽譜法的運算效率[7-10]。

2.1 偽譜法基本原理

hp自適應偽譜法與全局偽譜法在參數離散化方面原理相同，下面通過全局偽譜法中典型的Gauss偽譜法說明偽譜法的基本原理：

① 典型的最優控制問題典型的最優控制問題在時間區間上單位化可表述為：已知系統狀態變量x(τ)∈ Rn，控制變量u(τ)∈ Rm，性能指標為

狀態約束f、路徑約束C和終端約束Φ：

② 插值節點選擇和變量離散化插值節點選擇為Legendre-Gauss節點：

式中，LN-1(t)為Legendre多項式。Legendre多項式如式(8)所示：

采用Legendre-Gauss節點對狀態變量xtj和控制變量utj離散化：

式(9)中Φj(t)即為Lagrange插值多項式：

③ 離散化后的最優控制問題

離散化后，狀態方程可近似表示成如下代數方程：

式中的Dij即為擬譜法差分矩陣：

約束條件和最優指標均可用節點處的值表示，其中狀態約束為

終端約束和路徑約束為

性能指標為

至此，原最優控制問題就轉化成了非線性規劃問題，可以利用SNOPT算法對其進行求解。

2.2 hp網格細化方法

hp網格細化方法是一種在保證運算復雜度在可控范圍內提升偽譜法精度的方法[9]。在hp偽譜法中，最優控制問題在 t∈[t0, tf]上分為 H 個時間區間，h∈[1,2,…,H]對應時間區間[th-1, th]。然后對每個時間區間進行離散化，設每個時間區間節點數為Ph。hp網格細化方法就是通過確定時間區間數H和節點數Ph是否需要增加達到優化偽譜法的目的。

對于H和Ph的調整由每兩個節點間中點對狀態約束的滿足程度決定，各中點為

通過對狀態約束式(13)進行變換可得中點殘差矩陣為

式(17)中絕對值符號表示對矩陣中每個元素求絕對值。對E中每一行取最大元素，組成列向量如下：

定義：

此時可以通過向量α確定優化方案。若向量α中所有元素均處于相同數量級，則可進行p細化，即通過增加節點數提高整體精度；若向量α中部分元素數量級遠高于其他元素，則需對這些元素對應的時間區段采用h細化，通過進一步細化時間區段提高精度。

3 hp自適應偽譜法反饋制導

飛行器制導問題是典型的最優控制問題，可表述如下：

狀態方程：

性能指標：

約束條件：

反饋制導實質就是建立由狀態變量x和時間t至控制變量u的映射：

解決此類問題的傳統方法是通過動態規劃理論或Pontryagin極小值原理進行求解。但對于飛行器制導問題，往往由于模型復雜無法得到連續的反饋控制率。此時的解決方案就是求取不連續的反饋控制率。當反饋控制率為不連續時，狀態方程(20)也為不連續的，此時的狀態方程解為Carathéodory解[10]。

假設對動力學系統(20)采用時不變反饋控制?(x)。取π={ti}∈[0,∞), i=0,1,…,π的直徑為diam(π)= sup(ti+1-ti)。取x0作為初始值，對于時不變反饋控制函數?(x)，π解定義為：

首先在[t0, t1]上求下面狀態方程的解：

然后取初值為x1，在[t1,t2]上求下面狀態方程的解：

按上面方式類推下去，即可得到各時間段開環制導率。將各個時間段合在一起即可得到閉環制導率，合在一起的解也就是π解。

以上即為當前常見制導方法的原理。顯然，當diam(π)→0時閉環制導率為理想制導率，但由于制導周期的限制，常見制導方法無法達到此理想情況。當前常用的制導方法通常是設定一個所能達到的制導周期，在制導周期開始時計算最優控制量，然后在整個制導周期將此值作用于飛行器，在下一個制導周期再計算新的控制量。

其制導方法流程可以表示為圖1所示[9]。首先根據任務目標求解離線最優軌跡，通過最優軌跡確定控制量的變化規律，形成制導算法。飛行器實際運行時，由于受到擾動作用會偏離離線確定的最優軌跡，將由測量系統得到的實際運行軌道參數與最優軌跡相對比，通過偏差值確定控制量，在每一制導周期控制量通常不變，并且由于最優軌線為飛行器工作前離線生成，無法在實際飛行過程通過具體情況調整，采用此種制導方法往往會導致真實制導精度很低。

圖1 當前常見的制導方法流程Fig.1 Flowchart of current common guidance method

鑒于此，本文基于hp自適應偽譜法反饋制導實現“時變制導”，不同于當前常見的制導方法，hp自適應偽譜法反饋制導法采用時變控制率g(x,t)。為求解此時的狀態方程我們需引入新的變量，滿足

此時狀態方程為

至此，可以仍采用前面的分時間段方法解此狀態方程，得到各時間段開環制導率，將各個時間段合在一起得到閉環制導率。

上述就是hp自適應偽譜法反饋制導的基本原理，與當前常用偽譜法同樣是采用分時間段的方式，但不同的是制導周期內控制量會發生變化，不同制導周期控制策略也會發生變化，從而提高了制導精度。

圖2 hp自適應偽譜法反饋制導流程Fig.2 Feedback control process of hp-adaptive pseudospectral method

hp自適應偽譜法反饋制導流程如圖2所示。首先針對初始任務目標求取初始最優軌跡并生成制導算法，控制飛行器運行；然后將由測量系統得到的實際運行軌道參數用于更新任務目標，在線生成新的最優軌跡，并且更新制導算法，采用新的制導算法來控制飛行器在新的制導周期內運行。由于采用了在線實時更新制導率的方式，hp自適應偽譜法反饋制導使飛行器對擾動和模型變化的適應能力大幅提升。

4 仿真分析

4.1 飛行器再入段軌跡優化

對于本文研究的飛行器再入飛行任務，假設飛行著陸平面垂直于經線，平面動力學模型采用式(4)所示簡化的氣動力方程即可。并且，本文研究的飛行任務要求飛行器在到達地面后具有較大的速度，故以飛行器到達地面速度最大作為最優指標，約束條件為初始參數和終端位置。綜上所述，該軌跡優化問題可表述為

性能指標：

狀態方程：

約束條件：

采用前文研究的 hp自適應偽譜法對此最優控制問題進行求解，通過MATLAB中的SNOPT工具包進行優化計算。仿真初始參數設置如表1所示，目標緯度設為51.4°。

表1 初始參數設置Tab.1 Settings of Initial parameters

仿真結果如圖3～5所示。圖3為最優軌跡對應控制量攻角α的變化情況，可見，在攻角在較小范圍內變化的情況下即可實現最優軌跡。圖4為最優軌跡示意圖，可見最優軌跡在占大部分時間的前半段近似于傾斜的直線，后期迅速下降近乎垂直落地。圖5為最優軌跡對應各狀態變量變化情況，可見，高度和緯度變化比較平緩，速度和路徑角前期變化較小，接近地面時由于大氣密度的增大變化較大。

圖3 最優軌跡對應攻角變化曲線Fig.3 Angle of attack of optimal trajectory

圖4 飛行器再入段最優軌跡Fig.4 Optimal trajectory of craft reentry

圖5 最優軌跡對應狀態量變化曲線Fig.5 State variables according to optimal trajectory

4.2 飛行器再入段制導

由于存在地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動等因素，若控制量采用預先計算的值，飛行器再入過程往往會偏離最優軌跡，本部分采用hp自適應偽譜法反饋制導對該過程進行制導設計。

仿真參數與 4.1節相同，并加入大氣模型變化，仿真結果如圖6至圖8所示。本次仿真輸出了離線計算的最優軌跡和采用 hp自適應偽譜法反饋制導的飛行器實際運行軌跡，并加入未采用閉環制導方法的飛行器實際運行軌跡作為對比。

圖6為速度隨時間變化示意圖。如圖6所示：離線計算的末速度約為7 km/s，而未采用閉環制導的實際運行末速度僅為6.6 km/s；而采用hp自適應偽譜法反饋制導的末速度為6.93 km/s，與最優值很接近。

圖7為飛行器再入段緯度隨時間變化圖，圖8為飛行器再入段軌跡，二者均可判定制導位置精度。從兩圖均可看出，離線最優軌跡（即設計軌跡）落點為51.4°，而未采用閉環制導的實際軌跡落點緯度值小于51.38°，與設計落點有較大偏差。而采用hp自適應偽譜法反饋制導的實際軌跡落點為51.397°，與預定落點僅有0.003°的偏差，著陸精度大約300 m。這個精度對于對類似戰略打擊、太空救援等任務已經足夠了。

圖6 飛行器再入段速度隨時間變化示意圖Fig.6 Velocity of craft reentry

圖7 飛行器再入段緯度隨時間變化示意圖Fig.7 Latitude of craft reentry

圖8 飛行器再入段軌跡示意圖Fig.8 Trajectory of craft reentry

5 結 論

本文采用 hp自適應偽譜法對飛行器再入問題進行了軌跡優化設計與制導方法的研究，根據任務特點設定末速度最大為優化目標。針對飛行器再入段存在地球大氣分布不均勻、建模誤差、擾動等因素的問題，提出了一種基于hp自適應偽譜法解決飛行器再入段的制導設計方法，實現了在線反饋制導率的設計，并通過MATLAB仿真驗證了該制導方法的可行性和優越性。

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Trajectory optimization and guidance for reentry craft based on hp-adaptive pseudospectral method

XIA Hong-wei1, LI Qiu-shi1,2, LI Li1, SONG Xiao-zheng3, WANG Chang-hong1
(1. Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Shenyang Institute of Automation Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110016, China; 3. Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 200240, China)

An online optimization and guidance approach for craft reentry trajectory is presented based on hp-adaptive pseudospectral method, in which the trajectory of craft reentry phrase is optimized in condition of maximum final speed. In view that the atmospheric model of reentry phase is irregular, and the spacecraft always encounter disturbance and is difficult to get an accurate model, a feedback control algorithm is derived based on the hp-adaptive pseudospectral method. Simulations are made, which demonstrate that the final-speed got by our approach is 6.93 km/s, which is 0.33 km/s higher than those without closed-loop-guidance, and the guidance precision is improved by 15 times, showing the effectiveness of the proposed approach.

craft reentry; hp-adaptive pseudospectral method; trajectory optimization; feedback guide

V448.2

：A

2015-08-11；

：2015-11-20

國家自然科學基金（61304108）；上海航天科技創新基金資助項目；CAST創新基金項目

夏紅偉（1979—），男，博士，主要從事飛行器控制及仿真技術方面的研究。E-mail: xiahongwei@hit.edu.cn

聯 系 人：王常虹（1961—），男，教授，博士生導師，主要研究方向為導航、制導與控制。E-mail: cwang@hit.edu.cn.

1005-6734(2015)06-0818-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.021