基于效能評估的空中對抗作戰建模分析

陳長興，牛德智，王 卓，符 輝，唐冬麗，陳 強

（1．空軍工程大學理學院，陜西西安710051；2．空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

基于效能評估的空中對抗作戰建模分析

陳長興1，牛德智1，王 卓1，符 輝1，唐冬麗2，陳 強1

（1．空軍工程大學理學院，陜西西安710051；2．空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051）

針對效能評估與作戰運用未能有效銜接的問題，研究了空中對抗作戰中的兵力變化問題。給出了數據鏈體制下作戰飛機效能評估計算方法，通過函數映射法將評估結果轉化為平均戰斗力水平，證明了二者的等價性和一致性。以藍徹斯特方程為基礎，建立了空中兵力變化的數學模型和有增援情況時的空戰模型。將用微分方程描述的模型離散化，指出了離散時間步長所應滿足的約束條件，形成了完整的模型求解數值計算方法。仿真實驗結果表明，數據鏈可以改變雙方作戰實力，提高作戰能力，增援作戰時選擇“局部最優增援時刻點”可以獲得更高的增援效率。

效能評估；數據鏈；數值計算；藍徹斯特方程；決策

0 引 言

武器系統的效能評估問題，不僅可以為裝備生產研制過程中提供合理的費效分析，而且可以為衡量武器的整體作戰能力提供量化的參考依據［1-4］。航空武器系統裝備數據鏈終端，是信息化聯合作戰的必然要求。近幾場局部戰爭表明，數據鏈具有獨特的戰場態勢共享、精確指揮控制和武器協同的無縫鏈接優勢，已經越來越成為武器裝備的生命線［5-6］。美軍從20世紀50年代開始研制數據鏈并先后將各種不同類型數據鏈運用到作戰飛機上，其空中作戰能力大幅度提高［7-8］。對裝備數據鏈系統的作戰飛機，進行科學合理的效能評估，并將結果運用到作戰實踐中，完成航空作戰體系循環的全過程［9-12］，是一個急需完成的科學命題。

在現有關于數據鏈和作戰效能評估的研究中，一些典型成果如：文獻［13］用一種新方法研究了飛機作戰中的效能評估問題，研究結果僅限于給出不同對象的效能大小；文獻［14］討論了數據鏈支持下的空戰雙方飛機數量的變化問題，分析具有一定的合理性，但是模型中缺少一個直接反映數據鏈作用的量化指標，這樣不利于直接研究數據鏈對空戰雙方格局的影響；文獻［15］引入了戰場感知系數并將其運用到藍徹斯特方程中進行作戰分析，這對于考慮空戰兵力的變化融入了信息因素，但對模型中的作戰效能未進行相關研究。

本文出發點就是給出一種數據鏈體制下的飛機效能評估方法，并將結果運用到空戰對抗的數學建模中，實現評估與作戰的一體化。

1 單機作戰的平均戰斗力水平

1.1 基于數據鏈的效能評估方法

數據鏈下的飛機效能評估思路是：從分析數據鏈的功能，找到其對效能評估的影響因素，進而通過用解析法描述的效能評估模型給出綜合效能值。效能評估的方法較多，如典型的ADC法、AHP法等［3］，本文是要選取一種能清晰描述數據鏈對飛機效能影響的方法，數據鏈對飛機效能及空戰的影響定量體現。ADC法用概率量來描述不同指標，但該法難以有效描述出數據鏈的關聯作用，如有效度中的可靠性、可信賴度中的安全性、能力中的精度等都與數據鏈相關，但是這種相關不易模型化體現。AHP法將整個飛機系統按照目標層、準則層、方案層來逐級劃分，建立層級指標體系來進行效能評估，該法雖可把數據鏈的作用考慮進去，但存在權值賦予具有一定的主觀性，指標量化也會因方法而異。所以，本文采用對數法來描述飛機效能，據此考慮數據鏈下的新效能。當然，對數法也有不足之處，此處不再做重點討論。對數法中，飛機的空戰能力指數可表示為［16- 17］

式中，I為空戰能力指數；C表示機動性；D表示火力；E表示探測目標能力；ε1～ε4分別表示生存力、電子對抗能力、航程和飛行員操縱效能系數。

由于具有態勢共享優勢，數據鏈使得超視距打擊成為可能。另外，數據鏈在傳感器、指控單元和武器平臺之間實時傳輸戰術信息，可以遂行發現即打擊的任務，實現了從傳感器到射手的無縫鏈接。分析數據鏈的這些作用及對應對數法模型中的參數可知，探測目標和電子干擾能力會在數據鏈作用下得到提高，這樣，數據鏈環境下的空戰能力可以表示為

式中，E′和ε′2分別表示使用數據鏈后的探測和電子對抗能力，且E′＝E＋λ1E，ε′2＝ε2＋λ2ε2，λ1和λ2表示數據鏈對這兩項參數的提升率。

對于λ1的確定，需要根據不同作戰模式和數據鏈體制有所不同，這里僅考慮一種簡單的雙機協同作戰時數據鏈對探測能力提升率的計算方式。假定雙機為同向直線飛行的情況，則提升率可以用探測面積的變化比來表示：

式中，φ為雷達搜索的方位角；r為雷達探測距離；d為雙機之間距離（d＜r）。

對于λ2的確定，可以在現有處理方法基礎上對其統一賦值研究。文獻［16］給出了機載電子電子對抗設備的電子對抗能力，全向雷達告警系統為1.05，全向雷達告警＋消極干擾投放＋導彈逼近警告系統的綜合系統為1.16～1.20，有數據鏈支撐下的電子對抗設備，還會增加積極干擾投放功能，所以對其賦值時可以使其適當大于無數據鏈支持下的電子對抗能力。

1.2 空戰能力指數轉化為平均戰斗力水平

由式（1）及文獻研究的結果知，空戰能力指數一般遠大于1。在空戰中，考慮單機一次戰斗只打擊一架敵機的情況，則應該用單機的平均戰斗力水平來衡量殺傷效率或作戰威力。

作如下變換：

將I變換到在區間（0，1）上的平均戰斗力水平γ（其中k＞0，作用是避免γ在數值上過于集中）。為此證明γ和I是等價的。

證明 令A＝｛x|x∈Z，x＞0｝，B＝｛x|x∈Z，0＜x＜1｝，作一映射f：A→B，有

因為x∈A，則ln（kx）∈（－∞，＋∞）。且arctan（ln（kx））∈（－π／2，π／2），所以1／π·arctan（ln（kx））∈（－1／2，1／2）。即有1／π·arctan（ln（kx））＋1／2∈（0，1）。

說明f∶A→B是由A到B的一一映射，這樣A和B是等勢（等價）的，即A～B。

又

因為x＞0，k＞0，所以f′（x）＞0。且f（x）為增函數，即在式（4）中，γ隨I的增大而增大，隨γ的減小而減小，二者變化關系一致。證畢

2 空戰中的兵力變化建模

2.1 藍徹斯特方程分析方法

在對作戰兵力變化規律的研究中，本文以藍徹斯特方程為基礎，并分析不同作戰場景下的動態兵力變化過程。此處給出藍徹斯特方程（平方律）的表達式為

式中，R，B為紅、藍方數量；t為時間；α，β為藍、紅方每個戰斗單位的平均戰斗力水平。其求解可通過式（1）～式（4）來具體確定。

對式（7）求解微分方程組的狀態解為

令x＝1－R／R0表示紅方兵力的消耗率，y＝B／B0表示藍方兵力的剩余率。L＝β·R20／α·B20表示紅藍雙方的戰斗實力比，L＞1時表示紅方戰斗實力強，L＜1時表示藍方戰斗實力強，L＝1時雙方實力相等。將x，y，L代入式（8），得

式（9）描述了在雙方實力比L約束下的消耗率與剩余率之間關系，在L確定的情況下，可以分析出戰斗結局。

2.2 數據鏈體制下的空中力量對抗建模

考慮在數據鏈情況下的空戰模型。首先求解平均戰斗力水平的提升率ηR和ηB，即有ηR＝（γR′－γR）／γR，ηB＝（γ′B－γB）／γB。

在空戰過程中，綜合性能更優的數據鏈一方擁有更大優勢，不僅可以實施更加積極主動的電子干擾，而且可以在有目標來襲時在更遠距離上發出預警提示等，這樣，定義一數據鏈水平占優因子為

則數據鏈體制下的空戰兵力變化規律建模為

從式（10）中可知，η實質是個可正可負的量，為正時對紅方有增進作用，反之對藍方。

類似式（7）～式（9）的分析可得

式中，（1＋η）／（1－η））·L定義為等效實力比。

另外，考慮有增援時的模型為

式中，μ1（t），μ2（t）分別為雙方的增援率（可以恒定，也可以變化）；t1，t2為增援開始時刻；ε（t）為階躍函數，用來限制增援兵力加入時間。

2.3 模型的數值計算方法

用微分方程組描述的數學模型，意義比較明確，體系也比較完整，但是微分方程組的求解一般比較困難。若在式（13）的基礎上在綜合考慮別的因素（如非戰斗減員等），空戰對抗模型將更加復雜，雖然在某些情況下可以借助特定軟件求解，但是模型中各變量的變化規律及內在的影響關系不易分析和掌握。所以，需要將微分方程組描述的數學模型離散化，研究其數值計算方法。

首先討論最基本的藍徹斯特方程，由微分方程的定義入手，可以將式（7）中的第1個方程（第2個方程的分析方法類似）離散化為

式中，Δt為一個一定小的時間步長，在該時間步長的Δt下，可以基本保持原微分方程的變量變化規律。在離散取值時，依次令t＝0，Δt，2Δt，…，nΔt（考慮在一場空戰中，它是由若干個戰斗波次構成的，而每個戰斗波次又可以細分為一定數量的戰斗回合，則此處的n可以理解為總的戰斗回合數），且將RnΔt簡記為Rn，則式（14）可化為

在數值計算時，需要確定Δt取多大的時間步長才合適，文獻［15］中將藍徹斯特方程直接轉化為差分方程形式，其實質是直接令Δt＝1，這樣處理不僅會失去建立在微分方程基礎上的作戰模型中變量的變化規律（主要是與Δt足夠小的要求相違背），而且所得的計算數據太過片面性，對研究作戰規律不利。為此，寫出式（15）的完整形式為

將式（16）中方程組的左右兩邊分別相加，得到

當藍方最后失敗時，有Bn－1為0（或近似為0），且可以將Bn－1的變化近似用等差數列來描述，則式（17）化為

進一步，可以求出

由式（8）可知，令B＝0，可以得到

至此，得到了離散取樣間隔與戰斗回合數（或描述戰斗兵力變化的細分過程數）之間的關系，在數值計算（包括式（11）和式（13））時，可以取時間間隔小于或者等于式（18）中的時間間隔，從而研究戰斗中的雙方兵力變化過程。類似地，若采用式（7）中的第2個方程進行討論，考慮最終失敗的為紅方，則時間間隔可取為

這樣，數據鏈體制下的空戰兵力變化離散模型可以表述為

式中，m1，m2＝0，1，2，…為正整數，表示某一增援時刻。在戰斗結束時（n＝N），紅方（假定為獲勝方）共增援的飛機數可以表示為Rs＝μ1·Δt·（N－nm1＋1），共損失的飛機數可以表示為Rd＝R0＋Rs－RN。

3 仿真算例

假定在空中對抗作戰中，紅、藍方所用分別為米格-29和F-15E機型。仿真中假定僅紅方有數據鏈支持。米格-29的雷達型號為NO-9，其最大探測距離為90 km，這樣協同作戰距離為70 km時，根據式（3）可求λ1＝0.95。設定紅、藍方的電子對抗能力分別為1.05和1.2，紅方使用數據鏈后子對抗能力變為1.8。評估指標中的其余參數參照文獻［17］，將飛機效能的每項參數列表顯示并求解I（k取1／10）和γ如表1所示。

表1 飛機作戰效能指標及效能評估值

從表中可以看出，數據鏈的引入對空戰能力指數和平均戰斗力水平都有所提升。

3.1 戰斗實力比對空戰結局的影響

取L＝［0.6，0.8，1，1.2，1.4］，仿真藍方剩余率與紅方消耗率的變化曲線如圖1所示。

圖1 藍方剩余率和紅方消耗率的變化關系

圖1 的結果驗證了第2.1節中對L不同空戰結局不同的分析。

由表1中數據可知ηR＝0.21，則η＝0.21。這樣在原來的L下仿真可得到剩余率與消耗率曲線（見圖2）。分析圖像知，在數據鏈情況下，當紅、藍方的實力比介于0.6～0.8之間時，雙方實力平衡。令（1＋η）／（1－η））·L＝1，可求L＝0.65。這說明，采用數據鏈后，紅方只要大于藍方實力的65%時就可獲勝，反之失敗。圖2中也標出了雙方實力平衡的分界線。

圖2 引入數據鏈后剩余率和消耗率的變化關系

3.2 不同的增援時刻點對空戰的影響

設定R＝10，B＝15，由表1結果知，α＝0.7和β＝0.6， η＝0.21。由實力比（或等效實力比）計算知，紅方整體實力仍然弱于藍方，這樣實驗中僅假定紅方有增援（首先考慮nm1＝0的情況）且增援率為2.5。通過式（15）～式（22），仿真4種模式（分別為原始實力下雙方作戰、紅方僅引入數據鏈雙方作戰、紅方僅擁有一定速率增援力量雙方作戰、紅方同時擁有數據鏈和增援力量雙方作戰）下雙方的動態損耗見圖3。

圖3 不同作戰條件下的雙方動態損耗圖

從圖3可以看出，由于紅方實力較弱，原始條件下的作戰結果為失敗；在無數據鏈支持下，一定的增援速率下并不能改變最終戰局（當增援率一定大時可以改變）。在數據鏈體制下，紅方有效延長了戰斗進程，這在增援力量到來的情況下最終扭轉戰局，獲得勝利。

接下來確定紅方實施增援的有效增援時間范圍。令增援開始時刻m1分別為0、15和30，取離散時間步長為Δt＝0.025，仿真得到雙方兵力變化的動態損耗曲線見圖4。

圖4 紅方不同的增援起始時刻時雙方的動態損耗圖

由圖4知，當m1＝30時，增援不能改變紅方失敗的結果。這說明，空戰增援中存在一個時間分界點，在此之前增援，可以扭轉雙方戰局；反之不能。經過多次仿真可以確定有效增援時刻范圍為［0，28］，換算到時間范圍即為［0，0.7］。

進一步，讓m1在［0，28］之間取值，步進量為1，其余仿真參數不變，得到的雙方動態損耗曲線見圖5。

圖5 有效增援時刻范圍內m1變化時的雙方動態損耗

當m1增大時（即增援開始時刻越晚），雙方的空戰進程維持時間變長，紅方勝利時剩余的飛機數量越少，由于相鄰時間上的飛機數量變化規律比較接近，為進一步分析增援效率的高低，圖6給出了m1不同時紅方共增援和損失的飛機數量變化曲線。

圖6 m1值不同時的紅方增援和損失飛機數量變化

分析圖6可知，越在增援的后期，需增援的飛機總數越多，同時損失的飛機數量也急劇攀升，這說明增援力量越早加入戰斗，越能以較少的飛機數量贏得戰斗。由此產生的另外一個問題是，若增援只能在更小的一個時間范圍內實施（如圖6中第10～15個時刻點之間進行增援），則需要給出一個科學有效的增援時刻點選取準則。

為此，引入“損增比”的概念，表示整個戰斗中單方損失的飛機數量與增援的飛機數量之比，其深層含義是增援單位數量的飛機時損失的飛機數量，可給出其定義式為

根據式（24）計算“損增比”ρ，ρ值比較小的時刻點可以作為增援時刻的選擇點。圖7給出了與圖6對應的“損增比”變化曲線。

圖7 不同增援時刻時的損增比曲線

從圖7中可以看出，隨m1值變化時，“損增比”曲線并不是簡單的單調遞增關系，而是存在一系列極小值點，在這些極小值點周圍，損增比數值都相對較大，說明增援獲得的效率并不是最高（在有效增援時間范圍的末期，雖然損增比數值較小，但是其需要的增援飛機數量較多，即需要較大的增援規模才能實現，實際作戰中并不一定總能滿足這種規模要求）。據此可得出結論，在不同的增援時刻周圍，存在使增援效率最高的局部最優點，即“局部最優增援時刻點”。掌握了該規律，便于指揮員對整場空戰中在何時進行空中力量增援，以獲得最高增援效率提供參考依據。

4 結 論

本文對數據鏈體系下飛機空中對抗作戰的兵力變化問題進行了研究。對數據鏈情形下的飛機效能評估模型進行改進，并將評估結果轉化為平均戰斗力水平運用到空戰模型中。以藍徹斯特方程為基礎進行分析空中對抗過程中的兵力變化規律，建立了具有反映數據鏈效應的空中力量體系對抗數學模型和有增援時的空戰模型。為更好地分析和把握空戰規律，將微分方程模型離散化，給出了其數值計算方法，為仿真實現空中力量的變化過程提供了一種有效的實現途徑。仿真算例說明了數據鏈對戰斗能力的提升作用，增援時應選擇“局部最優增援時刻點”以獲得最大的增援效率，實驗結果為運籌和指揮空戰全局提供了重要參考。

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Modeling of air combat based on effectiveness evaluation

CHEN Chang-xing1，NIU De-zhi1，WANG Zhuo1，FU Hui1，TANG Dong-li2，CHEN Qiang1
（1.College of Science，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China；
2.College of Air and Missile Defense，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China）

Aiming at aircraft effectiveness evaluation’s connection with combat application，force change problem in air combat is studied．Effectiveness evaluation computation method under data link mechanism is given，and value of effectiveness evaluation is converted to average combat level by function mapping means，which is improved to equivalent and consistent with the value．On basis of lanchester equation，mathematic model of force change in air combat is set up，including the case of being reinforced．The model described by differential equation is dispersed with a subject in discrete time internal，thus the whole numerical calculation method about solving the model is formulated．Simulation shows that data link could change combat force of each other and improve combat ability，and greater efficiency could be obtained by one’s choosing local optimum reinforcement time to join the combat．

effectiveness evaluation；data link；numerical computation；lanchester equation；decision making

TN 957．51

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．14

陳長興（1964-），男，教授，博士，主要研究方向為現代通信理論、信息系統建模、效能評估。

E-mail：xachenchangxing＠yahoo．com

牛德智（1984-），通信作者，男，博士研究生，主要研究方向為通信系統與雷達信息處理、系統工程與效能評估。

E-mail：niudezhi_001＠163．com

王 卓（1984-），男，講師，碩士，主要研究方向為信號與信息處理、作戰理論與應用。

E-mail：wz93861＠163．com

符 輝（1986-），男，碩士，主要研究方向為信息處理技術。

E-mail：43349291＠qq．com

唐冬麗（1987-），男，碩士，主要研究方向為測控技術。

E-mail：tangdongli123＠126．com

陳 強（1989-），男，碩士研究生，主要研究方向為信息系統建模與仿真。

E-mail：chenqiang2013＠163．com

1001-506X（2015）01-0079-06

網址：www．sys-ele．com

2013- 11- 04；

2014- 03- 29；網絡優先出版日期：2014- 05- 30。

網絡優先出版地址：http：∥w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140530．1441．006．html

陜西省電子信息綜合集成重點實驗室項目（201107Y16）資助課題