基于貝葉斯網絡的GO法模型算法

劉林林，任 羿，王自力，楊德真

（北京航空航天大學可靠性與系統工程學院，北京100191）

基于貝葉斯網絡的GO法模型算法

劉林林，任 羿，王自力，楊德真

（北京航空航天大學可靠性與系統工程學院，北京100191）

GO法是評價具有多狀態時序特性的復雜系統可靠性的有效方法，但GO法操作符眾多、算法復雜并且缺乏工具軟件支持，制約了GO法的工程應用。針對該問題，本文提出一種基于貝葉斯網絡的GO法新算法。首先，定義常用操作符到貝葉斯網絡節點映射規則；然后，給出GO模型映射轉換為貝葉斯網絡的可編程流程；最后，利用貝葉斯網絡成熟工具支持，定量求解映射后的貝葉斯網絡模型。新算法操作符映射規則統一，模型映射轉換流程簡單直觀，便于工程人員掌握和應用。此外，除了能得出傳統的定量結果，新算法使得GO法還具有故障推理和診斷能力。

GO法；貝葉斯網絡；可靠性建模；故障診斷；模型算法

0 引 言

GO法是一種以成功為導向的系統概率分析技術［1］，對于多狀態、有時序的系統，尤其是有氣流、液流、電流等實際物流過程系統，具有很強的可靠性、安全性建模描述能力。GO法模型分析的原始定量算法用信號流狀態組合來求聯合概率，但是多個信號多狀態組合產生的組合爆炸導致計算變得復雜和繁瑣。概率公式算法［13］為GO法的解析提供了更為精確和高效的計算方式，但在處理多重共有信號問題時仍需要額外考慮［3］。此外，上述算法都缺乏有效的軟件工具支持，這些問題影響了GO法在實際工程中的廣泛應用。

貝葉斯網絡是處理復雜概率問題的有效工具［4-10］，基于貝葉斯網絡對GO模型進行映射轉換和求解，將GO法操作符映射為貝葉斯網絡節點，同時根據操作符的運算邏輯給出映射節點的條件概率表，結合成熟的貝葉斯網絡算法軟件工具［11-12］，即可簡化GO法的分析和計算過程，除得到傳統的可靠性和安全性分析結果外，還可以基于模型進行故障診斷。

本文先定義工程常用操作符的貝葉斯網絡映射規則，然后給出GO法模型整體的貝葉斯轉換算法流程，最后通過案例驗證算法的正確性，并簡述方法的故障診斷過程。

1 GO法與貝葉斯網絡

1.1 GO法基本原理

GO法通過系統分析直接從系統原理圖、流程圖或工程圖出發建立GO圖［1］。GO法模型由操作符和信號流兩類元素構成，操作符類型共有17類。根據操作符作用和運算規則的不同，操作符分為兩大類型：

（1）第一類為邏輯操作符，這類操作符的特點是操作符本身沒有狀態，只代表一種運算邏輯。邏輯操作符包括第2、9、10、11、13、14、15類操作符。

（2）第二類為功能操作符，這類操作符自身有功能狀態并包含運算邏輯。功能操作符包括第1、3、4、5、6、7、8、12、16、17類操作符。

其中，在工程中最常用的操作符類型為1、2、5、6、10，常用的類型為3、7、9、11、15，本文針對這些典型操作符進行研究。

1.2 貝葉斯網絡在可靠性領域的應用

貝葉斯網絡是一種因果網絡［410］。一個具有n個節點的貝葉斯網絡可用N＝＜＜V，T＞，P＞來表示，其中，＜V，T＞表示一個具有n個節點的有向無環圖，圖中的節點集V＝｛v1，v2，…，vn｝代表n個變量的集合，節點有向邊代表了變量間的聯接關系。有向邊即表達了一種父節點和子節點間的因果關系，對于有向邊Ti＝（vi，vj），vi稱為vj的父節點，vj稱為vi的子節點，沒有父節點的節點稱為根節點，沒有子節點的節點稱為葉節點。vi的父節點集合用Parent（vi）表示，P表示一個與每個節點相關的條件概率表（conditional probability table，CPT）。根據有向圖＜V，T＞的條件獨立性假設，所有變量節點的聯合概率分布可以表示為

貝葉斯網絡的節點計算基于父節點的狀態概率和節點本身的CPT進行。貝葉斯網絡把概率計算與節點狀態聯接，只要給定其中某些節點變量狀態，就能計算出其相關節點的狀態概率，貝葉斯網絡的推理特性和建模彈性使其在復雜系統建模和分析方面具有很大的優勢。

在可靠性［7-8］、可信性［6，10］、安全性［13］、風險評價［6］、維修分析［6，9］等可靠性相關領域，貝葉斯網絡已被廣泛應用。已有的基于貝葉斯網絡對復雜系統［9，14-17］進行可靠性和安全性建模分析，都是在可靠性框圖［7］、故障樹［10，13］等可靠性模型的基礎上，對其映射轉換來構建相應的貝葉斯網絡模型并求解。支持復雜多狀態系統建模的GO法，因算法復雜，限制了其在工程領域的推廣應用，而貝葉斯網絡支持建模多狀態因果關系系統可靠性［1617］，因此考慮基于貝葉斯網絡對GO法模型進行計算，可以有效簡化算法，此外借助成熟的貝葉斯網絡算法［18］及工具包［1112］，可以實現GO法建模分析的工具支持。

2 GO法的貝葉斯網絡映射

在本節中，先定義操作符到貝葉斯網絡的一般映射規則，然后基于這些規則逐個給出工程常用的操作符的貝葉斯映射過程，最后給出完整GO法模型映射為貝葉斯網絡的轉換算法流程。

2.1 操作符的貝葉斯網絡映射規則

2．1．1 操作符一般映射規則

從操作符（包括輸入信號、操作符本身和輸出信號）到貝葉斯網絡的轉換過程的一般映射規則的具體步驟為：

步驟1 將操作符（非邏輯門操作符）映射為貝葉斯網絡的根節點；

步驟2 將每一路輸出信號流（除第5類操作符）映射貝葉斯網絡節點，并建立與步驟1中根節點的父子聯接關系；

步驟3 根據操作符的狀態概率確定根節點的先驗概率分布；

步驟4 根據操作符的運算邏輯給出所有輸出信號流對應貝葉斯網絡子節點的CPT；

步驟5 轉換算法結束。

對于GO法操作符來說，顯然其輸出信號的狀態是由其輸入信號狀態以及操作符本身狀態（邏輯操作符除外）經由操作符的邏輯運算之后得到的。因此只要針對不同的操作符邏輯建立不同的條件概率表，通過狀態概率組合表的形式即可直觀地描述操作符的輸入信號狀態、操作符本身狀態和輸出信號狀態的關系。

第2．1．2節和第2．1．3節將結合上述規則步驟詳細討論每個操作符對應的轉換過程。

2．1．2 邏輯操作符的映射轉換

（1）第2、10、11類操作符

第2類、第10類、第11類操作符分別對應或、與、M中取K邏輯。這3類操作符都有多路輸入信號，僅有一路輸出信號，輸入和輸出信號均為多狀態。假設M路輸入信號集合為｛S1，S2，…，SM｝，輸入及輸出的每一路信號的狀態值VS∈｛0，1，…，N｝，（0為提前狀態，N為故障狀態，其他為各種成功或功能降級狀態）。

這3類操作符的邏輯規則分別為：第2類操作符輸出信號VR＝min｛VS1，VS2，…，VSM｝；第10類操作符輸出信號VR＝max｛VS1，VS2，…，VSM｝；第11類操作符則將輸入信號的狀態從小到大排序，然后選擇第K路信號作為輸出，即VR＝VK。

第2類、第10類操作符實際為第11類操作符的特例，第2類為1／M，第10類為M／M。因此，這里只給出第11類操作符的貝葉斯網絡映射和計算過程。

圖1中第11類操作符模擬了3個輸入信號的2／3邏輯元件，其中每個輸入信號和輸出信號都取2種狀態（1-正常，2-故障），依據第2.1.1節的映射轉換規則，可以得到貝葉斯網絡拓撲結構、相應的節點概率分布及子節點的CPT。

根據式（1），計算輸出信號1狀態的概率分布，依照圖1中輸出信號R的CPT中輸出為1的行中所有1對應的信號狀態組合進行條件概率計算即可獲得。

圖1 第11類操作符及對應貝葉斯網絡

輸出信號1狀態的概率分布具體計算步驟為

（2）第9類操作符

第9類操作符是一種信號狀態差異檢測邏輯門，其邏輯相對與、或等邏輯門繁瑣，以一個示差器的例子［1］來說明該類操作符的貝葉斯網絡映射過程。圖2為示例示差器的GO模型，主信號S1、次信號S2及對應的狀態差Xi如表1所示。操作符給出對應的單值邏輯函數為

根據式（3）計算出Y的取值并列于表1，通過輸出信號狀態值公式計算得到系統的邏輯輸出R，狀態1表示主次信號的差異能夠被檢測到，狀態2表示不能被檢測到。

表1 示例示差器信號邏輯表

根據第2．1．1節的映射規則及表1中所列數據及邏輯，可以得到該示差器（第9類操作符）對應的貝葉斯網絡拓撲結構、相應的節點概率分布及子節點的CPT，如圖2所示。

根據式（1）計算出輸出信號1狀態的概率分布為

（3）第15類操作符

第15類操作符被稱為限值概率門，其對輸入信號的狀態值及對應的狀態概率值都進行閾值限制。此操作符常用于模擬非門。

圖2 第9類操作符及對應貝葉斯網絡

以某設備示例［1］進行說明：該設備輸入信號有2種狀態，1表示成功，2表示故障，為了顛倒這2種狀態作為輸出信號，選用第15類操作符模擬的GO模型。如圖3所示，輸入數據為：V1＝2，V2＝1，V3＝V4＝1，P1＝0.0，P2＝1.0。假設輸入信號S的狀態概率為PS（1）＝0.95，PS（2）＝0.05。根據第2.1.1節的映射規則，得到的貝葉斯網絡拓撲結構、相應的節點概率分布及子節點的CPT如圖3所示。

圖3 第15類操作符及對應貝葉斯網絡

根據式（1）計算出輸出信號狀態1的邊緣概率分布為

2.1.3 功能操作符的映射轉換

常用的功能操作符包括第1、3、5、6、7、8類操作符，以下分類簡述這些操作符的貝葉斯網絡的映射過程。

（1）第1、3、8類操作符

第1類、第3類操作符是工程建模中最常用的操作符。它們與第8類操作符都具有1路輸入信號和1路輸出信號，區別在于操作符本身的狀態數，第1類為2種狀態（1-成功，2-故障），第3類為3種狀態（0-提前，1-成功，2-故障），第8類則有多種（≥2）狀態增量。這里只以第3類操作符的映射轉換和計算步驟為例說明此類操作符的映射和計算過程，第3類操作符的運算邏輯如表2所示。

表2 第3類操作符運算邏輯

依照第2．1．1節的操作符貝葉斯映射網絡轉換規則，功能操作符與邏輯操作符不同，不僅輸入信號要映射到根節點，操作符本身也要映射為根節點，得到的貝葉斯網絡拓撲結構、相應的節點概率分布及子節點的CPT如圖4所示。圖4中展示了一個具有3種狀態輸入信號的第3類操作符及其對應的貝葉斯網絡拓撲。根據式（1）推理計算出輸出信號1狀態的概率分布為

圖4 第3類操作符及對應貝葉斯網絡

第1類、第8類操作符對應的貝葉斯網絡拓撲結構與第3類操作符類似，區別在于子節點的CPT，只要相應調整子節點CPT即可映射為相應貝葉斯網絡，本文不再贅述。

（2）第5類操作符

第5類操作符是最常用的操作符，它沒有輸入，是獨立于系統的外部事件或另一系統發出的信號，作為整個系統輸入。其輸出的信號狀態值為VR，第i種狀態對應的概率為PR（i），并且所有狀態的概率和為1。

依據第2．1．1節的轉換規則，第5類操作符直接映射為貝葉斯網絡中根節點。圖5所示為一個包含3種狀態的輸出信號的第5類操作符及其對應的貝葉斯網絡節點。

圖5 第5類操作符及對應貝葉斯網絡根節點

其輸出就是由操作符給定的狀態分布概率，即

（3）第6類、第7類操作符

第6類、第7類操作符都用于模擬必須有2路信號輸入才有輸出的元件。其中2路輸入信號為｛S1，S2｝，每一路信號狀態值VSi∈｛0，1，…，N｝，操作符6本身有3種狀態，即VC∈｛0，1，2｝，第6類操作符邏輯見表3。第7類操作符邏輯見文獻［1］。

表3 第6類操作符運算邏輯

依據第2．1．1節的轉換規則，將輸入信號和操作符本身映射為貝葉斯網絡根節點，得到的貝葉斯網絡拓撲結構、相應的節點概率分布及子節點的CPT如圖6所示。

圖6 第6類操作符及對應貝葉斯網絡

根據式（1）計算出圖6中第6類操作符輸出信號1狀態的概率分布為

第7類操作符對應的貝葉斯網絡拓撲結構與圖6類似，只要調整為第7類操作符輸出信號的CPT，即可以形成對應貝葉斯網絡。

2.2 操作符的貝葉斯網絡映射規則

第2．1．3節中，給出了工程中常用操作符對應的貝葉斯網絡模型，本節進一步給出算法流程，將一個完整的GO法模型轉換為貝葉斯網絡，流程步驟如圖7所示，算法流程描述如下。

步驟1 按編號i順序遍歷GO法模型的信號流集合S＝｛S1，S2，…，SN｝。

步驟2 將當前訪問到的信號流i映射為貝葉斯網絡節點Si。

步驟3 訪問信號流i的前驅操作符Oi，并判斷Oi操作符類型：

（1）如果Oi為起始操作符（第5類操作符），則將其狀態概率更新到貝葉斯網絡節點Si上；

（2）如果Oi為邏輯操作符，將Oi的輸入信號對應的貝葉斯網絡節點與節點Si建立父子聯接關系，并根據Oi的狀態運算邏輯構造節點Si的CPT；

（3）如果Oi為功能操作符，將Oi映射為一個新的貝葉斯網絡節點Ci，同時更新其狀態概率，然后將Ci和Oi的輸入信號對應的貝葉斯網絡節點與節點Si建立父子關聯關系，并根據Oi的狀態運算邏輯構造節點Si的CPT。

步驟4 判斷信號流Si是否為系統輸出信號（即判斷是否i＝N），如果為否，則訪問下一個信號流，即置i＝i＋1；如果為是，則結束流程，完成GO模型到貝葉斯網絡模型的映射。

圖7 GO模型的貝葉斯網絡轉換算法流程

2.3 GO法模型的貝葉斯網絡推理和診斷

貝葉斯網絡是因果關系網絡，根據式（1）可以通過節點與節點之間的父子聯接關系和CPT，在給出各根節點先驗概率分布的條件下，能夠利用推理算法計算出貝葉斯網絡中各子節點的概率分布。

將GO法模型映射得到的貝葉斯網絡作為診斷模型進行故障診斷［45］時，其過程是先對模型中特定節點進行故障注入，然后用貝葉斯推理算法分別計算網絡中各個觀察節點的后驗概率分布，其計算公式為

式中，Oi為觀察節點i的狀態；Fj為故障節點j的狀態；‖O‖為觀察節點的數量。

3 案例驗證

本部分應用文獻［1］中已有的案例進行驗證，該案例包含了工程中最常用的幾類功能操作符以及表示K／M的最復雜邏輯操作符，并且該案例中包含了多重共有信號，能夠作為驗證案例來驗證算法的正確性以及簡單有效性。

圖8為文獻［1］中提到的一個2種狀態（1-成功和2-故障）供水系統的GO法模型，要求計算系統供水的成功和故障概率，即計算信號流14的成功和故障狀態的概率。該GO圖模型中共有14個操作符，其中13個是功能操作符，還有1個表示2／4邏輯的邏輯操作符11- 14。

圖8 供水系統GO圖

按照第2.2節的算法流程，可將GO圖映射轉換為對應的貝葉斯網絡，轉換后的貝葉斯網絡拓撲結構如圖9所示，圖中的節點Si表示編號為i的信號流對應的貝葉斯網絡節點，Ci表示第i個功能操作符對應的貝葉斯網絡根節點。

圖9 供水系統貝葉斯網絡

供水系統各部件成功和失效的概率、對應的GO法操作符和貝葉斯網絡根節點狀態概率分布如表4所示。

表4 供水系統部件及貝葉斯網絡節點概率分布

利用貝葉斯網絡進行輸出信號狀態的推理計算，除了需要表4中的根節點概率分布之外，還需要定義S3、S4、S6、S7、S9、S10、S12、S13和S14的CPT，CPT按第2節中描述的過程可以給出。

貝葉斯網絡的推理計算有很多工具和算法軟件包支持，常用的有Matlab中Bayesian networks toolbox（BNT）［11］和MSBNx［12］等。這里應用BNT進行推理計算，最后得到計算結果如表5所示，表中列出了貝葉斯網絡的所有子節點的狀態概率分布，即供水系統GO圖中所有非起始信號流的狀態概率分布。

以上計算結果運行硬件環境為4核2．6 GHz CPU，8 G內存，軟件環境為Matlab 2010。

表5 貝葉斯網絡子節點狀態概率分布

系統成功概率即為系統信號流S14的1狀態概率，即0.990 881，系統的失敗概率為0.009 119，計算結果與文獻［1］一致。

利用建立好的貝葉斯網絡進行故障診斷時，假設系統失敗，對輸出信號進行故障注入，即令系統輸出信號的失敗概率Pr（2）＝1。將S14節點的Pr（2）＝1作為證據更新到貝葉斯網絡中，重新推理計算，可以得到各根節點的后驗概率分布，計算結果如表6所示，直方圖如圖10所示。

表6 貝葉斯網絡根節點后驗概率分布表

圖10展示了在系統失效情況下各貝葉斯網絡根節點的失效后驗概率分布狀況。從圖10中可以看出，在系統失效的情況下，S5和S11的失敗概率最高，是系統的薄弱環節。因此，在系統輸出為故障狀態時，應重點排查驅動信號A和驅動信號B的故障情況。

圖10 根節點后驗概率直方圖

4 討 論

貝葉斯網絡具有前向和后向概率推理計算能力［7，10，18］，前向推理可用于評價系統的可靠性，而后向推理可以通過證據的注入方式用于系統的故障診斷。

（1）第3節通過對文獻［1］中案例的驗證計算（計算結果與文獻［1］一致），表明了基于貝葉斯網絡的GO法算法在計算系統成功概率時的正確性。

（2）關于利用貝葉斯網絡進行故障診斷已有大量研究［4，5，10，1920］，通過本文提出的算法流程將GO法模型轉換為貝葉斯網絡之后，實施故障診斷過程即是利用了貝葉斯網絡固有的后向概率推理（故障診斷）能力。

貝葉斯網絡的推理算法在文獻［18］中有詳細介紹，當形成的貝葉斯網絡規模達到一定程度時，采取的方法是針對特定網絡的特點來制定相應的解決策略。此外，文獻［21］研究了基于Map-reduce的并行方法，加速貝葉斯網絡參數學習過程。

5 結 論

本文提出一種基于貝葉斯網絡的GO法新算法，給出了GO法操作符的貝葉斯網絡節點映射規則及通過GO法模型構建貝葉斯網絡的完整流程，貝葉斯網絡能夠很好地表達GO法具有的多狀態和時序特性，最后通過一個簡單的供水系統案例，驗證了新算法的正確性，并簡述了案例模型的故障診斷過程。新算法無需考慮共有信號問題，并且除了能直接得出傳統的計算結果，利用形成的貝葉斯網絡模型還可以進行故障推理和診斷。算法轉換過程簡單直觀，易于理解，并且有多種成熟軟件算法工具支持，便于GO法在工程中的推廣應用。

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Algorithm based on Bayesian networks for GO methodology

LIU Lin-lin，REN Yi，WANG Zi-li，YANG De-zhen
（School of Reliability and Systems Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The GO methodology is an efficient technique for modelling reliability of complex system with multi-states and time serial characteristics．However，it contains variant operators with complex logic，and the algorithm is complicated without tool supporting，which impact the application of the GO methodology in engineering．Therefore，a new algorithm based on Bayesian networks（BNs）is proposed．Firstly，the mapping regulation is defined from GO operators to the node of BNs．Then，the algorithm of mapping a complete GO model to corresponding BNs is proposed．Finally，the model is resolved with mature BNs toolbox．With the proposed unified operator mapping rules and simple concise model transformation procedures，the new algorithm is concise and easy to apply in real engineering scenarios．Based on the mapped BNs，conventional analysis can be performed directly，moreover，the new algorithm adds a new capability of fault diagnosis to the GO methodology．

GO methodology；Bayesian networks；reliability modelling；fault diagnosis；model algorithm

TB 114．3

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．01．34

劉林林（1981-），男，博士研究生，主要研究方向為系統可靠性建模方法、性能與可靠性綜合設計。

E-mail：liulinlin＠buaa．edu．cn

任 羿（1973-），男，副教授，博士，主要研究方向為性能與可靠性綜合設計。：

E-mailrenyi＠buaa．edu．cn

王自力（1966-），男，教授，碩士，主要研究方向為可靠性綜合集成理論與方法。

E-mail：wzl＠buaa．edu．cn

楊德真（1984-），女，博士研究生，主要研究方向為故障消減、性能與可靠性綜合設計。

E-mail：muyidz＠126．com

1001-506X（2015）01-0212-07

網址：www．sys-ele．com

2013- 09- 26；

2014- 06- 24；網絡優先出版日期：2014- 07- 30。

網絡優先出版地址：http：∥w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20140730．1746．006．html