無窮大量與無窮小量在教學中應注意的幾個問題

張愛麗

【摘 要】本文指出了無窮大量和無窮小量在教學中應注意的一些問題，并給出了無窮大量的一些性質和等價無窮大量的定義，以及用它們來討論級數斂散性的優越性。

【關鍵詞】無窮大量 ? ?無窮小量 ? ?斂散性

一、前言

我們在研究變量的變化過程中，經常會遇到兩類變量：一種是在某種變化過程中無限趨近于零，這種變量我們稱為無窮小量;另外一種是在某種變化過程中無限趨近于正負無窮，稱為無窮大量。無窮大量和無窮小量是高等數學中的重要概念。在教學中研究無窮大量與無窮小量的結論和性質對學習高等數學的其他內容有很大幫助。無窮大與無窮小在一元微積分，特別是在極限的理論中有著非常重要的地位。微分在變化為零的過程中是無窮小，導數是無窮小量之比的極限，定積分實質是無窮小量的積累。函數的連續性、極限的四則運算法則、無窮小量的階等均是無窮小量給出的等等，許多概念都建立在無窮大量和無窮小量的基礎上。

二、無窮大量和無窮小量的說明和性質的補充

1.無窮大和無窮小是變量，但不是單調地越變越大，或者越變越小

無窮大與無窮小是變量，它們表示的是量的變化趨勢。因此不能簡單地把它們看成很大的數與很小的數。除了0以外其他再小的數也不是無窮小量。一個無窮大量在變化過程中開始時也可能取很小的數值。無窮大與無窮小同一般變量的極限一樣，本質上主要表現在變化的終極狀態，而不在變化過程中的任何有限的階段。需要說明的是，無窮大不是越變越大，無窮小同樣也不是越變越小。在教學中應向學生說明這兩種說法只用于表現單調變化的情況，而無窮大與無窮小的變化過程有可能不是單調的。

2.高數課本中對無窮小量的性質講得比較充分，無窮大量相對較少，下面就無窮大量的運用做一些補充

2.1 無窮大量階的比較

定義：設u，v是在同一個自變量的變化過程中的無窮大量，則u比v的極限也是這個變化過程中的極限。

（1）如果u比v極限為0，u是比v低階的無窮大;

（2）如果u比v極限為無窮，u是比v高階的無窮大;

（3）如果u比v極限為常數（不為0），u與v是同階無窮大;

（4）如果u比v極限為1，u與v是等價無窮大;

（5）如果u比v的k次方的極限為常數（不為0），k大于0，u是關于v的k階無窮大。

2.2無窮大量的性質

性質1：無窮大量與有界變量的和仍為無窮大量。

推論1：無窮大量與常量的和仍為無窮大量。

推論2：無窮大量與有限個無窮小量的和仍為無窮大量。

性質2：無窮大量與不為0的常數相乘仍為無窮大量。

注意1：無窮大量與有界變量的積不一定是無窮大量。

性質3：有限個無窮大量的積仍是無窮大量。

注意2：有限個無窮大量的和不一定是無窮大量。

性質4：無窮大量一定是無界量，但無界量不一定是無窮大量。

從圖像上來看，無界量與無窮大量都不能被平行于X軸的兩條直線夾住，但無窮大量有一個明顯的變化趨勢，即函數值整體上向無窮大靠近，而無界量則沒有這種變化趨勢。

性質5：一個無窮大量與它的低階無窮大量的和或差與該無窮大量是等價的。已知u，v都是在同一自變量的變化過程中的無窮大量，且u比v的極限為0，則u+v（u-v）等價v。性質6：一個無窮大量和一個有界變量的和或差與該無窮大量是等價的。已知u，v是在某自變量的變化過程中的無窮大量，u是個有界變量，則u+v（u-v）等價v。

推論3：一個無窮大量和常數的和或差與該無窮大量是等價的。即，已知u，v是在某種自變量的變化過程中的無窮大量，a為常數，u+a（u-v）等價v。

求兩個無窮大量之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮大量來代替。因此，如果用來代替的無窮大量選得適當的話，可以使計算簡化。

3.討論級數的斂散性

基本思路：利用無窮大量、無窮小量的等價替換，使一般項得到簡化，快速找到與該技術斂散性可能相同的級數，然后再用合適的方法（大多采用比較審斂法的極限形式）進行驗證即可。

通常簡化過程中一般項的常數倍可舍去，一般項中分子或分母的無窮大因子可用等價無窮大替換，再結合等價無窮小的運用，可將一般項簡化的幅度加大，化成熟知的級數，即得正解。這種處理手段的妙處在于能快速得到正確的答案或解題思路，在考研等各種考試中，特別在做填空、選擇題時，將發揮重要的作用。同時應注意，在簡化過程中作為解題策略，有時只能當成一種試探，要盡量保證級數收斂性的穩定性，但是，也不必過分追求嚴謹性，在真正解答時隨時可以加以修正。在討論極限、級數問題時，與其他方法相結合，巧妙地運用無窮大量的性質及其等價替換能起到事半功倍的效果，有的問題可以迅速簡化甚至直接得到答案。

三、結束語

總之，無窮大量和無窮小量在整個高等數學中有著舉足輕重的地位，我們在授課時要把一些細節說清楚，讓學生對它們的內涵有深切的認識，真正學會用它們來解決問題，認知高等數學中的概念。

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