翻轉課堂教學模式下的大學數學微課探究
——以線性代數的某知識點為例

胡運紅，楊建雅，王鵬嶺

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

翻轉課堂教學模式下的大學數學微課探究
——以線性代數的某知識點為例

胡運紅，楊建雅，王鵬嶺

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

隨著網絡化教學手段的應用，高等數學類課程的教學改革迫在眉睫。從線性代數課程的微課制作著手，分析和類比微課與翻轉課堂之間的關系，探索了大學數學類課程翻轉課堂的教學模式，探討了微課對大學數學課程教學改革的促進作用。

微課；MOOC；翻轉課堂；線性代數

2014年7月，中國互聯網信息中心公布了一個網絡數據：手機網民的規模達5.27億，網民中使用手機上網的人群比例一直持續增長[1]。互聯網和移動通訊等網絡技術的快速發展，給以微課視頻為核心的翻轉課堂教學模式提供了堅實的基礎。目前高等數學類微課大賽正是基于良好的網絡環境在全國廣泛開展。

1. 翻轉課堂教學模式的國內外應用現狀

微課又名微課程(Micro class)是以微型教學視頻為載體，針對學科的一個知識點而設計的在線網絡視頻課程[2]。它最早可追溯到20世紀90年代出現的微講座(micro-lecture)，他們分別由美國的McGrew教授和英國的Kee教授提出。

翻轉課堂(Flipped classroom)起源于美國科羅拉多州森林公園高級中學，該學校化學老師發現課后通過微視頻為課堂缺席學生補課的方式在提高學生學習效果方面很顯著，進而在全校進行推廣。說起翻轉課堂，也不得不提美國人薩爾曼可汗(Salman Khan)，2007年成立了可汗學院網站，放置了2300多段微視頻課程，供學生在線學習。本質上講，翻轉課堂就是將傳統課堂上的知識學習與課后的知識鞏固進行顛倒，通過在線網絡提供視頻，使學生進行在線學習，鞏固練習，課堂上進行答疑輔導[3-6]。翻轉課堂體現了以學生為中心，以學生為主導的思想，注重學習過程，注重個性化學習，可以理解為顛倒傳統課堂，教師的角色與學生的角色都有所改變，課前看視頻，深入自學，課堂教師引導，與學生交流互動，答疑輔導。相比于傳統的教學模式，翻轉課堂的教學模式對教師提出了新的挑戰。

進入21世紀以來，學者專家對翻轉課堂的教學模式逐步取得了共識，借助微課的工具，將每門課程分為若干個知識點，每個知識點錄制成長達5-20分鐘的小視頻，也就是微課視頻片段，教師將結合實時講解和PPT演示的視頻上傳到網絡，讓學生在家中或課外觀看視頻中教師的講解，把課堂的時間節省出來進行面對面的討論和作業，強化學生對知識的消化吸收。這種教學模式起到了積極的成效，翻轉課堂的理念在美國乃至世界各地被越來越多的中小學、大學接受，并逐漸發展成為教育教學改革的新浪潮。加拿大的“環球郵報”將翻轉課堂模式評為2011年影響課堂教學點重大技術變革。目前國內對于翻轉課堂的研究更多集中在理念性和探討性的階段，對于課堂前的知識傳遞研究較少，而翻轉課堂的實施更多地要強調課堂前、課堂上、課堂后的設計與銜接，筆者結合線性代數課程中的排列與逆序數的微課視頻，對該問題進行了探究，并重點探討翻轉課堂教學模式下的微課建設。

2. 大學數學微課對課堂教學的作用

微課伴隨著信息技術的發展應運而生，它與移動互聯網的發展相輔相成，是人們進行移動學習的重要載體，也符合目前學生和社會學習者的學習需求。它是一門課程中每個知識點和技能點的小片段，它具有以下幾方面的優點：

1)時間短，內容短小精悍準確

微課程的視頻一般是5-20分鐘不等，能用少的時間講清楚，不會再多占用一分鐘的時間。它不是課堂的錄像，也不是一節課知識點的縮減，一個微課的視頻就要講清楚一個知識點，一個問題及解決方法。這個時間點也正符合學生學習的注意力集中點，一般能集中注意力5-20分鐘，也可借助目前移動互聯網絡的優勢，學生更喜歡網絡化，“指尖化”的學習方式。

2)視頻有吸引力

微課的視頻往往采用各種多媒體技術，有聲音、有動畫，教師的形體語言被淡化，主要以聲音突出講課效果，使學生或者學習者一步步跟上講授者的節奏，最后把這個知識點接受和消化。

3)學習群體多樣化

對于一個微課視頻的學習，不一定必須是大學生，也不一定必須得有相關的基礎知識，一個微課件本身就可以完成要達到的學習目標，它可以面對任意的學習者，也可以面對大學生，面對非本專業的學習人士。所以一個微課視頻的講解應該清晰、具體、準確生動，更多地強調一種個性化的指導。

4)一門課程的微課自成體系

一門課程整體要用微課的形式放于網絡上，首先需要將該課程分解為若干個知識點，每個知識點錄制一個微課視頻，從而形成這門課程的整體微課視頻，而這整體的微課視頻，就成為大學數學課程MOOC建設的內容。

微課視頻的錄制，對大學數學課程建設起著非常重要的推動作用。首先，通過視頻動畫的制作，使得知識點形象生動，激發學生學習的興趣。其次，對教師也提出更高的要求，制作的視頻可以放到網上，必須得對知識點傳授準確，視野開闊，知識廣泛。并且，制作的技術也需要教師與時俱進地學習和提高多媒體的制作技術。最后，微課視頻和翻轉課堂教學模式的實施，加強了教師和學生之間的橋梁。學生在課前觀看視頻，對課程已經有所了解和預習，在課堂上，教師可以更有針對性地答疑解惑，針對問題來講解。

3. 線性代數微課的案例分析

結合運城學院教學型、地方性和應用型的辦學定位，我們首先嘗試微課視頻的制作和翻轉課堂教學模式探索。對于大學數學類的課程，教師都可以先選擇某個或者某些知識點嘗試進行微課視頻的制作，并在課堂上嘗試翻轉課堂的教學模式改革。我們選擇了線性代數的一個知識點“排列與逆序數”制作微課視頻。該知識點的教學背景和目標如下。

教學背景：為求解線性方程組，需要引入行列式工具，進而需要排列理論。

教學目標：通過分析3階行列式定義，借助排列的理論工具，使得階行列式的定義成為可能。

教學重點：通過案例說明排列的特點，從3階推廣得到階行列式定義。

教學難點：對換改變排列奇偶性的理解。

教學方法：案例式和類推法。

教學手段：多媒體。

該知識點的目標非常明確，就是為了求解線性方程組，需要借助行列式這個工具，將大家熟知的三階行列式的定義推廣到階行列式，進而要借助排列這個工具。

三階行列式定義如下：

(1)

從(1)中可以看出，它們都是一些乘積的代數和，而每一項乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成。另一方面，每一項乘積都帶有符號，這符號是按什么原則決定的呢？由此，想要推廣行列式定義，需要解決兩個問題：

1)展開式中有多少項？其中多少項正項？多少項負項？

2)每一項的符號如何確定？

由此，引出本節核心內容，要通過排列來研究這兩個問題，使得行列式定義的推廣成為可能。

其次，講解大約5分鐘的核心定義，包括排列、逆序數、對換等定義。而在得到對換的性質時，也就是要解決多少正項和負項的問題，這里，主要采用案例式的教學方法，說明對換改變排列的奇偶性。同時，也是采用循序漸進的方法，從特殊到一般。首先下面一個案例說明排列可以改變相鄰對換的奇偶性。

471326 t=2+3+2+0+2+1=10

這個案例說明了，進行一次相鄰對換，由奇排列變為偶排列，奇偶性改變。

其次，強調數學研究的一般方法是從特殊到一般，從已知到未知，從簡單到復雜。為了說明一般對換也能改變排列的奇偶性，我們繼續通過下面一個案例來說明。教學設計如下：

這個案例說明，對排列進行一次對換，上面的排列由奇排列變為偶排列，奇偶性改變。而且我們將結論也自然推廣到了對換的兩個數之間有m個數，需要對換2m+1次相鄰對換可以完成，也就是說奇偶性同樣發生改變。

在微課視頻的最后提出本節的思考問題：n級排列中有多少個奇排列？多少個偶排列？對行列式的影響是什么？

微課的最后給出小結，總結這講的所有知識點，共有3點：

1)在全部級排列中，奇、偶排列的個數相等，各有個n!/2．

2)三階行列式中共有6項，且正項有3項(固定行指標，對應的列指標為偶排列)，負項有3項(固定行指標，對應的列指標為奇排列)。即在三級行列式的展開式中，項的一般形式可以寫成

a1j1a2j2a3j3

其中j1j2j3是1，2，3的一個排列。可以看出，當j1j2j3是偶排列時，對應的項在行列式中帶有正號，當j1j2j3是奇排列時帶負號。

3)由此，可以定義階行列式。

這樣我們就錄制了一節15分鐘左右的微課視頻，在講授的過程中，可以結合翻轉課堂的教學方法，讓學生課前預習學習，課堂上討論，答疑解惑。

4. 結語

大學數學微課建設是一項長期的教學改革任務。作為一名普通教師，可以嘗試所講授那門課程微課小視頻的制作和運用。筆者認為，任何一門專業課都可以嘗試將經典的知識點制作成微課小視頻，5-20分鐘，適合學生網絡學習。系統來講，可以將自己所授的課程中的知識點和技能點提煉出來。比如，數學與應用數學專業的高等代數課程，可以將重要的知識點錄制成微課視頻，可重點考慮行列式定義、行列式按行展開公式、矩陣定義、矩陣求逆方法、線性方程組求解方法、二次型定義、線性空間定義、線性變換概念、特征值與特征向量等都可以錄制成微課視頻。在講課過程中，原汁原味地錄制成小視頻。一方面，學生下課后復習鞏固；另一方面，在下一次授課時可以讓學生先看視頻，課堂上答疑解惑，完成翻轉課堂教學方式的實施。

微課與翻轉課堂“聯合一起”形成一個課程系統即為慕課(MOOC)。目前，慕課正以信息化和網絡化的全新教學形式和以“學”為本的教學價值取向沖擊著我國的大學教育。我們高校的教師也面臨著諸多的挑戰。比如，教學模式從以前的以“講授”為主變為了以“學”為本，課程設計的巧妙使得教師和學生都有優質的學習平臺。加快教育改革，高校之間互認學分，學生隨心所欲選擇教師上課，促進教師必須提高教學質量以求生存等等。面對如此多的挑戰，我們需要理清微課、翻轉課堂和MOOC建設之間的關系，需要實事求是地考慮自己所帶課程更適合做哪一種教學模式改革。但是，微課教學也有一定的局限性。比如知識點零散化，缺乏系統性，學生的管理和制約機制有待改善等等。只有不斷制作微課視頻，嘗試教學改革，才能完善和解決存在的問題。因此，作為一名高校教師，應該適應學習方式轉變的需要，嘗試制作微課視頻，打造課堂教學特色，促進翻轉課堂教學模式改進與提高。

[1] 田小梅，胡燦.全國高職院校微課教學現狀與思考[J].衡陽師范學院學報，2014(6).

[2] 王玉華，張敏慧.淺談微課、慕課和精品課程以及對教學的作用[J].內蒙古醫科大學學報，2014(3).

[3] 徐永貴，劉成新.翻轉課堂教學實踐探索研究[J].曲阜師范大學學報，2015(1).

[4] 張金磊，王穎，張寶輝.翻轉課堂教學模式研究[J].遠程教育雜志，2012(4).

[5] 何朝陽，歐玉芳，曹祁.美國大學翻轉課堂教學模式的啟示[J].高等工程教育研究，2014(2).

[6] 朱宏杰，朱赟.翻轉課堂及其有效實施策略芻議[J].電化教育研究，2013(8).

【責任編輯 馬太來】

2015-03-15

山西省高等學校教學改革項目(J2011086)；運城學院院級科研項目(XK-2014040,XK-2014034,XK-2014027)

胡運紅(1974-)，女，山西臨猗人，運城學院應用數學系副教授，博士，研究方向為最優化理論與算法。

G642.0

A

1008-8008(2015)03-0001-03