基于可信理論的多目標模糊機會約束無功優化

劉文學 梁 軍 贠志皓 牛 睿 褚壯壯

(1.山東大學電網智能化調度與控制教育部重點實驗室 濟南 250061 2.國網南京供電公司 南京 210019)

0 引言

電力系統無功優化是指在電網結構參數、系統負荷、發電機有功出力給定的情況下，通過合理調整發電機機端電壓、電壓器分接頭和無功補償設備的投切，在滿足系統約束的前提下，使電網安全經濟運行水平達到最優。無功優化能夠改變系統潮流分布，加強電網安全穩定，提高電壓質量，對保證電網安全經濟可靠的運行具有重要作用。電力系統運行水平和要求的提高，使得無功優化已經表示為一個多約束、非線性的多目標優化模型［1-6］。

受各種因素影響，電網中包含不確定性的參數和數據，許多研究考慮了其對無功優化的影響［7-12］。文獻［7］運用雙層優化原理提出一種分析不確定負荷對電網無功優化影響的模型。面對復雜多變的電力系統，這種僅考慮單個節點不確定負荷的方法缺乏靈活性。文獻［8］從風險的角度分析有功損耗、電壓失穩以及電壓越限給電力系統運行造成的影響，但風險損失的確定具有大量的主觀性。配電網中無功優化僅考慮風機機組對配電網的影響，無法考慮對大規模風電場并入輸電系統的影響［9-12］。文獻［13］建立了考慮風電功率概率的隨機期望無功優化模型，并利用蒙特卡洛模擬和貪心算法給予解決，對不確定條件下的無功優化模型具有啟發性。

然而，由于受到位置、溫度、天氣等環境的影響，間歇性電源出力和負荷往往具有模糊性，采用模糊參數的表達方式較為合適［14］。文獻［15］考慮了電力系統模糊因素的存在，建立了多目標模糊無功優化模型，使用函數聯接網絡確定及細調隸屬函數，并采用遺傳算法搜索全局最優解。文獻［16］建立梯形模糊數表示分布式電源出力的無功電壓優化模型，利用其隸屬度函數形成模糊適應度函數，并采用遺傳算法給予解決。以上文獻都是利用模糊理論中的可能性測度，不能判斷事件發生的可信程度，所得優化結果在實際中存在一定風險，而且無法量化風險，因此有必要將可信理論引入模糊無功優化模型?？尚判詼y度是模糊變量中的重要概念，具有自對偶性和次可加性，能夠判斷事件是否一定發生［17］，能夠彌補隸可能性測度表達風險的不足，已經廣泛地應用在電力系統中，如模糊潮流［18］、檢修計劃［19］、風險評估［20］、輸電網規劃［21］、動態經濟調度［22］和機組組合［23］等。

本文利用梯形模糊數表示間歇性電源出力和負荷，并結合可信性理論和模糊機會約束規劃，用置信水平控制風險，建立多目標模糊無功優化模型。為求解該模型，本文提出新的可信性模糊潮流計算方法減少模糊模擬的計算時間，利用交互滿意度將多目標優化轉換為單目標優化而獲得Pareto 解，引入蝙蝠算法提高優化準確度和效率。算例結果表明所提模型和算法的可行性和有效性。

1 電力系統多目標模糊機會約束無功優化

1.1 可信性理論

模糊數學中有可能性測度、必要性測度和可信性測度3 類?？尚判詼y度具有自對偶性和次可加性，是與概率論中概率測度并行的概念。若該事件的可信性為1，則必然成立，反之，若可信性為0，則必不成立。

對于可能性空間(Θ，P(Θ)，Pos)，可信性測度表示為［17］

式中:Pos{A}為事件A 的可能性測度;Nes{A}為事件A 的必要性測度。

可信性分布Φ(x)表示模糊變量ξ 取值小于或等于x 可信性，Φ(x)為

樂觀值和悲觀值是常用來度量模糊變量的兩個指標，其定義如下:

定義1 假設ξ 為模糊變量，且β ∈(0，1］，則

式中:ξsup(β)為ξ 的β 樂觀值，ξsup(β)是模糊變量ξ 以可信性β 所取值中最大的值;sup 表示上確界，即最小上界。

定義2 假設ξ 為模糊變量，且β ∈(0，1］，則

式中:ξinf(β)為ξ 的β 悲觀值，ξinf(β)是模糊變量ξ 以可信性β 所取值中最小的值;inf 表示下確界，即最大下界。

1.2 基于可信性的的機會約束模型

模糊機會約束規劃包括minimax 機會約束規劃模型和minimin 機會約束規劃模型［17］。minimax 機會約束規劃在約束條件下以一定的置信水平成立，極小化目標函數的樂觀值。minimin 機會約束規劃在約束條件下以一定的置信水平成立，極小化目標函數的悲觀值。minimax 機會約束規劃模型為

式中:x 為決策向量;ξ 為模糊向量，ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn);gi(x，ξ)為約束函數;p 為約束函數的數量;f(x，ξ)為目標函數;是目標函數f(x，ξ)的β 樂觀值。α 和β分別為決策者預先給定的置信水平。模糊向量使得約束函數的計算結果變成模糊變量其范圍不能用確定條件下的不等式描述，而用可信測度下的機會約束處理，如式中所示。目標函數的計算結果也為模糊變量，不能給出一個確定的目標值，因此用目標函數的β 樂觀值作為優化目標。因此，minimax 模型的評價指標為β 樂觀值fmin。

minimin 機會約束規劃模型為

式中min—f為目標函數f(x，ξ)的β 悲觀值。同minimax模型類似，minimin 模型的評價指標為β 悲觀值fmax。

顯然，minimax 模型和minimin 模型是兩種極端情況，可以通過賦予這兩種情形不同的權重λ 和1 － λ，給出極端樂觀和極端悲觀的折中方案，即fcom=λfmin+(1 － λ)fmax。因此機會約束規劃模型定義為

式中λ 為樂觀程度，當λ=0時，目標極端悲觀;當λ=1時，目標極端樂觀。

1.3 多目標無功優化的模糊機會約束模型

電網中的參數為模糊變量時，電網中的狀態變量(如節點電壓、發電機無功出力、和線路傳輸功率)和目標函數(如系統網絡損耗、電壓偏移)都為模糊變量，而且其可信性分布受控制變量和模糊變量隸屬度函數決定。本文以系統網損與電壓偏移的折中值為優化目標，其中控制變量為發電機節點電壓、變壓器變比和并聯電容器補償容量，建立多目標無功優化機會約束規劃模型。

約束條件:

式中:floss和fVD分別為系統網損和電壓偏移;flosscom、fVDcom分別為系統網損和電壓偏移在置信水平至少β時所取得折中值;N、NG、NC、NT分別為系統節點數量、發電機數量、補償電容器數量、可調變壓器數量;NL、NPV、NPQ分別為輸電線路集合、PV 節點集合、PQ 節點集合;gij、θij為節點i 與j 之間的線路電導、電壓相角差;分別為節點的電壓幅值、電壓基準值、下限和上限。式(10)為潮流平衡方程，式中Pi和Qi分別為節點有功功率和無功功率注入量的預測值;Gij與Bij分別為導納矩陣的第i 行j列的實部和虛部。式(11)為決策變量的不等式約束，式中UG6i、QCi、Ti分別為發電機機端電壓、補償電容器容量和可變電壓器變比，、分別對應控制變量的上下限。式(12)為狀態變量的機會約束，分別為節點i 發電機無功出力的下限和上限。

2 多目標模糊機會約束無功優化的求解

2.1 基于可信性的模糊潮流

梯形隸屬度函數由于具有豐富的理論基礎，而且現實中符合對事物的判斷，被廣泛地應用在電力系統中［15，16］。間歇性電源和負荷的不確定性出力的梯形隸屬度函數由預測值和四元比例參數表示為

式中:Pfc為預測值;wk為比例系數，k=1，2，3，4。

模糊機會約束無功優化模型的目標函數和約束中存在可信性的求解。如何通過模糊潮流求解可信性機會約束是求解模糊機會約束優化模型的關鍵，文獻［18］提出利用模糊模擬求解基于可信性的模糊潮流，但該方法計算量大，計算周期較長，不適用于模糊無功優化模型，可以作為其他可信性的模糊潮流算法的標準測試工具。

可信性測度是在模糊變量隸屬度函數基礎上推導出的測度，本文提出一種通過隸屬度函數來解狀態變量可信分布的方法，其具體求解步驟如下:

1)不考慮間歇性電源的無功調節能力，將間歇性電源視為PQ 節點。間歇性電源無功出力Qin為

式中:Pin為間歇性電源有功出力;φ 為功率因數角。

2)由間歇性電源出力和負荷的預測值求解確定性交流潮流方程，得到系統節點電壓幅值、節點電壓相角、PV 節點發電機無功出力、網路損耗和電壓偏移確定值Vd、θd、Qd、Plossd、VVDd，下標d 表示對應變量的確定值。

3)求包括間歇性電源出力和負荷在內各個節點注入功率的模糊增量ΔP、ΔQ。

4)求節點電壓及相角的模糊增量ΔV、Δθ。本文研究的系統滿足P-Q 解耦特性，可以利用快速解耦潮流算法求解

5)求解節點電壓及相角模糊變量V、θ。

6)求解發電機無功出力、網路損耗和電壓偏移模糊變量。

在對應預測值的運行點附近線性化式，通過泰勒級數展開

式中:y 為發電機無功出力、網路損耗和電壓偏移，其計算如式(9)所示;xj為與y 直接相關的系統模糊變量，如節點電壓及相角。狀態變量的模糊增量已知后，由式(17)便可求目標函數的隸屬度函數

7)通過隸屬度函數和式(1)求解狀態模糊變量及目標函數模糊變量的可信性分布。

2.2 多目標處理策略

Pareto 解是多目標優化的重要概念，Pareto 最優前沿是可行域內的最優解集。但是Pareto 最優前沿的獲得需要很大的計算量，而且實際需求中還需要根據決策者的經驗或需求進一步選擇單個最優解。因而，本文采用模糊決策將多目標優化轉換為單目標優化。當采用模糊規劃的方法求解多目標決策問題時，需要重點解決兩個問題:①選擇適當的隸屬度函數來刻畫模糊目標;②采用某個模糊算子對不同的目標進行綜合，以形成整體滿意度，使所求解為Pareto 解。

決策者引入隸屬函數的具體方法如下:

首先計算

式中:k=1，2，…，K，K 為優化目標數量;X 為優化的可行域;x 為決策向量分別為可行域內第k個優化目標的最小值和最大值。本文選擇線性函數構造隸屬度函數［24］。

選好目標函數隸屬度函數后，決策者需要構造模糊決策算子進行對多目標綜合評價。交互滿意法從極小極大演化而來的模糊算子，既能夠避免決策時需要目標模糊函數0 ＜μk(fk(x))＜1 的條件，又能驗證所求結果的有效性。

交互滿意法的步驟如下［24］:

1)決策者已經根據主觀偏好確定各目標函數fk(x)的隸屬度函數μk(fk(x))，并給出參考隸屬值。

2)為了避免進行解的有效性檢驗，只考慮求解以下擴展的極小極大問題。

式中ρ 為充分小的正數，可以取［10－3，10－5］。

3)求解擴展的極小極大問題只是用來產生決策者的局部滿意解。如決策者對當前的解不滿意，則需要通過改變參考隸屬值求得新的滿意解。

2.3 蝙蝠算法

蝙蝠算法(Bat Algorithm，BA)是由劍橋大學的楊新社提出的搜索全局最優的啟發式群體智能優化算法。該算法以回音定位的聲學原理為基礎，通過模擬捕食行為尋求優化問題的最優解［25］。文獻［25］指出在很多測試函數中，蝙蝠算法在計算精度和效率上優于遺傳算法和粒子群算法。因此，將蝙蝠算法引入本文提出的無功優化模型。

優化過程主要由蝙蝠利用超聲波特征捕捉食物的機制獲得，其原理如下:①蝙蝠個體之間以固定最小頻率通過相互比較使處于適應度值較劣的個體不斷向空間位置較優的個體移動，局部搜索中按照隨機游走法則產生局部新解;②音量與脈沖發生率影響蝙蝠個體尋找食物的速度和準確度，迭代剛開始采用較強的音量和較小的脈沖發生率，一旦捕捉到食物(當前最優解)，則減少音量，增大脈沖發生率。蝙蝠算法就是將蝙蝠個體作為問題求解空間分布點，將問題尋優過程轉化為蝙蝠個體捕捉食物和位置更新的過程，將目標函數適應度值的好壞轉化為蝙蝠所處空間的優劣。每一次迭代，蝙蝠個體位置不斷更新，問題的求解得到優化。

對原理1 進行模擬仿真，蝙蝠個體更新速度和位置的公式為

式中:fi為頻率;［fminfmax］為頻率區間;β 為服從均勻分布的隨機變量分別為第i 維t 迭代的蝙蝠種群的位置和速度;x*為當前全局最優解。

對于局部搜索，每只蝙蝠按照隨機游走法則產生局部新解

式中:ε 為一個隨機數，ε ∈［－ 1，1］;At為當前迭代所有蝙蝠的平均音量。

根據原理2，音量和脈沖發生率的更新公式為

2.4 算法流程

求解多目標模糊機會約束無功優化的流程如下:

1)輸入電力系統原始數據，包括電力系統線路，節點發電機出力，間歇性電源出力和負荷的模糊參數，發電機端電壓、變壓器和投切電容器的范圍。

2)輸入BA 算法的控制參數，并設定t=0、最大迭代次數T 和種群規模n。

4)通過可信性的模糊潮流計算蝙蝠種群中個體位置目標函數和狀態變量可信性分布，并將目標函數表示為隸屬度值，通過交互滿意法得到蝙蝠個體的極小化目標值，利用罰函數方式處理機會約束，并得到蝙蝠個體位置的適應度。

5)對每個蝙蝠個體通過調整頻率按照式(21)和式(22)更新蝙蝠個體的速度和位置，產生新解。

8)重排蝙蝠個體，并找到當前最優值。

9)判斷最大迭代次數。t=t+1，若t=T，則結束，輸出最優個體;否則轉到步驟4)。

3 算例分析

3.1 基本數據與參數

本文選取IEEE30 節點標準系統，其線路參數不變。在11、23 節點由火電機組換成風電場，有功出力預測值分別為38 MW 和27 MW。22 節點并入光伏發電站，有功出力預測值為23.5 MW。風電場和光伏發電站的功率因數都為0.98。有功負荷都為標準系統的1.5 倍，無功負荷都為標準系統的1.7 倍。控制變量包括4 臺發電機節點電壓、4 臺可調變壓器變比和2 組并聯補償電容器容量。負荷和風電、光伏出力采用梯形模糊數表示，模糊隸屬度比例系數見表1，目標函數樂觀程度為0.5。本文選自MATLAB 編程求解，最大迭代次數為100，種群數為50，重復運算20 次，其他算法參數見文獻［25］。目標函數的參考隸屬度都選擇1。

表1 梯形模糊參數Tab.1 Trapezoidal fuzzy parameters

3.2 計算結果分析

由于本文所提模糊潮流方法在求解可信度時進行線性近似，為了驗證方法的有效性，需要和測試標準(文獻［18］所提方法)做對比。圖1為未經優化控制變量條件下，兩種方法的電網有功網損可信度分布曲線。從圖中可以看出，本文算法的結果與模糊模擬仿真得到的的曲線極其相似，可以作為模糊潮流的近似計算方法。為了進一步說明本文模糊潮流求解可信度的優越性，對兩種方法進行時間計算比較，本文方法計算時間為0.021 s，傳統模糊模擬方法為198.75 s。而本文提出的無功優化模型在優化過程中需要計算大量的模糊潮流，因此更適合采用本文提出的模糊潮流方法計算系統的可信度。

圖1 系統有功網損的可信性分布函數比較Fig.1 Comparison of credibility distribution function of active power loss of system

為了說明本文研究間歇性電源和負荷的模糊性對無功優化的影響，將不考慮不確定條件下的常規多目標優化與本文所提模型進行對比，如表2 所示。從表中可以看出:網絡損耗方面，本文模型在樂觀值和悲觀值上都優于常規模型;電壓偏移方面，本文模型在悲觀值上優于常規模型。圖2顯示了兩種模型目標函數的可能性(隸屬度函數)，從圖中可看出，本文模型更適合不確定性的環境。

表2 不同模型結果的對比Tab.2 Comparison of different model results

圖2 不同模型隸屬度函數的比較Fig.2 Comparison of membership function of different model

模糊置信水平對電網優化結果有著重要的影響，本文分析目標函數和約束條件不同模糊置信水平下對無功優化的影響。圖3為目標函數約束為100%的條件下，不同約束模糊置信水平的網絡損失和電壓偏移的折中值。從圖中可以看出:隨著約束條件的模糊置信水平提高，系統的兩個目標函數的優化值也在提高，說明約束條件模糊置信水平反映了不確定條件下的風險。實際決策時要根據數據分析，選擇適當的模糊置信水平，既能滿足風險約束，又能優化電網的網絡損耗和電壓偏移。

圖3 不同約束條件模糊置信水平下的網絡損耗和電壓偏移Fig.3 The network real power loss and the total voltage deviation under different constraints fuzzy confidence levels

表3 為約束可信水平為100%，不同目標函數可信程度下的有功網損和電壓偏移。由表可知:隨著目標函數置信水平的增大，電網損耗的模糊參數增大，而電壓偏移的模糊參數減少。說明目標函數置信水平的提高，目標函數中更側重于網絡損耗的優化。

表3 不同目標函數置信水平的模糊參數Tab.3 Fuzzy parameters under different objective fuzzy confidence levels

在目標函數和約束條件模糊置信水平為100%的情況下，蝙蝠算法、遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)和粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)的最優值迭代過程中如圖4所示。多目標優化的直接結果如表4 所示，從表中可看出在網絡損耗與電壓偏移兩個目標上，蝙蝠算法都占有優勢，驗證了圖4的收斂結果。通過圖4可看出，在收斂速度方面，粒子群算法與蝙蝠算法接近，但粒子群算法易陷入最優值;蝙蝠算法在算法尋優精度和收斂速度優于遺傳算法，表明了蝙蝠算法同樣適合本文提出的無功優化模型。從蝙蝠算法的思想和實現來看，BA 是個非常有前途的算法，性能上超過粒子群算法和遺傳算法，其主要原因是BA 結合了這些算法的優點。

圖4 算法的收斂特性曲線Fig.4 The curve of convergence characteristic of methods

表4 不同算法的計算結果Tab.4 Results of different algorithms

4 結論

針對電力系統的不確定因素，如間歇性電源出力的間歇性和波動性及負荷預測的模糊性，本文將可信性理論引入電力系統多目標無功優化模型中，提出了新的模糊潮流計算方法求解中的可信性約束，并利用模糊規劃中的交互滿意度將多目標轉換為單目標優化，利用新興的蝙蝠算法給予求解，得到給定可信度下的無功優化控制方案。

算例分析表明提出的模糊潮流計算方法的適應性，模糊置信水平的選擇對無功優化方案有著重要的影響。目標函數的模糊置信水平越高，優化方案越傾向于網絡損耗。約束條件的模糊置信水平越高，系統的安全風險越低，而優化目標就越大。蝙蝠算法在尋優精度和收斂速度上都優于傳統的遺傳算法和粒子群算法。

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