機載PMSM伺服作動系統約束反演控制

陳曉雷 林 輝 呂帥帥

(西北工業大學自動化學院 西安 710129)

0 引言

機電伺服作動系統是多電飛機的核心組成部分［1］。近年來，隨著功率電傳技術的發展，尤其是高壓直流電源系統的采用，使得大功率機電作動系統在飛機上的應用成為現實，彌補了傳統液壓作動機構的缺陷，極大地提高了飛機的操縱和控制性能［2］。機電作動系統中，伺服電動機及控制器是關鍵所在。永磁同步電動機(Permanent Magnet Synchronous Motors，PMSM)具有轉矩脈動小、調速范圍寬以及功率密度高等優勢，在航空領域具有良好的發展前景。

然而，PMSM 本身具有多變量、非線性及強耦合等特點［3］，而機載作動伺服系統的工作環境尤為嚴酷，環境溫度變化較大，導致電動機參數(如繞組電阻、永磁體性能和粘性摩擦系數等)會有較大變動，在不同飛行狀態下也存在負載變化，以上原因導致實現高精度位置控制難度較大。此外，與常規位置伺服系統不同，機載作動系統作為飛控系統的子系統，其輸出量即舵面偏角與飛機飛行姿態息息相關，若舵面偏轉角誤差過大，即使子系統穩態性能可以保證，但必然對飛控系統的機動性能和穩定性產生負面影響。為保障可靠性，通常對舵面偏角誤差的上下界做出嚴格限制。現有PMSM 位置伺服控制方法包括分數階控制［4］、自適應控制［5］、滑模控制［6，7］以及LPV 控制［8］等。文獻［4，5］所提控制策略不足之處在于控制器結構或參數自適應律復雜。文獻［6-8］的優勢是不嚴格依賴精確數學模型，控制算法可保證系統漸進穩定，但缺陷是系統動態性能依賴參數整定，控制精度難以得到保障。

長久以來，Lyapunov 函數被視為非線性系統穩定性分析的有力工具。文獻［9］提出并完善了反演控制(Backstepping Control)方法，通過設計滿足需求的中間虛擬控制量和分項控制Lyapunov 函數(Control Lyapunov Function，CLF)，反向遞推獲得反饋控制律和整體CLF。該策略將CLF 構造和鎮定控制律設計緊密結合，適用于嚴格反饋系統(如PMSM 位置伺服系統)。文獻［10］提出一種反演滑模控制策略。文獻［11］提出一種積分反演控制策略，采用自適應關聯觀測器估算轉子位置及轉速。文獻［12］提出一種自適應反演控制策略，采用反演觀測器實現無傳感器控制。文獻［13］針對PMSM 參數時變問題，設計參數自適應律及反演控制器。然而，常規反演控制只能保證伺服系統的穩定性，無法處理輸出誤差約束問題。近年來，通過對二次型結構CLF 的改進，該問題已取得一定研究成果。文獻［14］針對含狀態約束的Brunovsky標準型系統，以約束區間作為定義域，構造對數型及反正切型障礙函數作為CLF 實現反演控制。在文獻［14］的基礎上，文獻［15］將此類基于障礙函數的CLF 定義為障礙Lyapunov 函數(Barrier Lyapunov Function，BLF)，針對嚴格反饋系統進行反演設計，可保證系統輸出有界。

本文在以上研究的基礎上，借鑒文獻［15］的思想，提出一種基于對稱BLF 的反演控制策略。為補償負載擾動和參數變化，消除未建模動態引起的穩態誤差，在控制設計環節增加積分項［16］。通過Lyapunov方法證明閉環系統的全局漸進穩定性，閉環系統信號一致有界，跟蹤誤差可收斂到原點較小鄰域，且控制過程中舵面跟蹤誤差始終保持在約束區間內。通過仿真和實驗驗證了本文方法的有效性。

1 機載PMSM 伺服作動系統模型

機電作動伺服系統的目的是實現舵面對給定位置指令的準確跟蹤。為提高系統可靠性，降低故障率，通常采用余度結構，在結構設計中采用位置控制器、兩套PMSM 電動機及驅動器并行工作的方式，通過差動周轉輪系實現驅動軸機械運動的合成，輸出低轉速、高扭矩的動力，作用到傳動鏈實現舵面收放。簡單起見，本文考慮正常工況，假設兩套電動機參數相同，則轉速相同時不存在力紛爭問題。

假設磁路不飽和，不計磁滯和渦流損耗影響，氣隙磁場呈正弦分布，定子為三相對稱繞組，轉子無阻尼繞組。隱極式PMSM 的數學模型為［17］

式中:θ 為轉子機械角位移;ω 為轉子機械角速度;p 為磁極對數;φf為轉子永磁體在定子上的耦合磁鏈;J 為折算到電動機軸上的等效轉動慣量;id、iq分別為定子電流矢量的d、q 軸分量;B 為粘滯系數;TL為負載轉矩;R 為繞組電阻;L 為繞組電感;uq、ud分別為定子電壓矢量的d、q 軸分量。

不考慮傳動鏈的間隙與彈性變形，θ 與舵面轉角φ 的關系為

式中kr為傳動鏈的減速比。

TL與空氣特性、飛機飛行馬赫數、飛行高度、飛行攻角以及舵面轉角等均相關，簡單起見，認為TL與φ 呈線性關系，為彈性負載

式中:T0為舵面處于收攏狀態時的負載轉矩;kθ為線性比例系數。

取狀態變量［xi］=［φ，ω，iq，id］，聯立式(1)～式(3)，可得PMSM 伺服作動系統數學模型為

2 控制器設計

對式(4)描述的嚴格反饋非線性系統［18］，提出一種反演控制方法，通過設計障礙Lyapunov 函數，實現對舵面轉角φ 的約束，并證明系統的穩定性。

2.1 基于BLF 的反演控制器設計

反演控制將Lyapunov 函數的選取與控制器設計相結合，將非線性系統分解成若干不超過系統階數的子系統，然后為每個子系統設計CLF 和虛擬控制量，逐層修正算法來設計鎮定控制器，最終完成控制律的設計，實現全局調節和跟蹤。本文在虛擬控制中引入誤差的積分項，利用積分作用消除穩態誤差，與常規反演控制不同之處在于選取BLF 而非二次型作為Lyapunov 函數。具體設計步驟如下:

1)設φ*為舵面期望轉角，設舵面轉角容許誤差范圍為(- kb，kb)，定義跟蹤誤差為:，，其中、為虛擬控制量。

引入輸出誤差的積分，記為

對式(5)求導，有

對z1求導，并將式(4)代入，可得

選取Lyapunov 函數

由文獻［15］中BLF 定義可知，V1為BLF。取x2的虛擬控制量ω*為

式中κ1＞0 為待設計的參數，對式(8)求導，得

2)由于x2并非受約束項，故而可選擇二次型Lyapunov 函數作為候選函數

式中κ2＞0，對式(11)求導，得

3)選擇二次型Lyapunov 函數為

對式(14)求導，得

選取實際uq為

式中κ3＞0，則式(15)可化簡為

4)為實現電流和速度的解耦，使轉矩不受磁通電流的影響，需采用i*d=0 的控制策略。選擇二次型Lyapunov 函數為

對式(18)求導，得

選取實際ud為

式中κ4＞0。至此完成控制律設計。PMSM 伺服作動系統反演控制結構如圖1所示。

圖1 PMSM 伺服作動系統約束反演控制Fig.1 Backstepping-based constraint control for PMSM Servo-Actuation System

2.2 系統穩定性證明

定理:對式(4)所示伺服作動系統，采用式(16)、式(20)反饋控制律，若舵面轉角期望指令連續且三階可導，并滿足(χ1為一正數)，且初始條件}，則以下結論成立。

1)誤差信號zi(t)保持在緊集Ωz內。

2)輸出信號y(t)保持在緊集Ωy內，且嚴格有界。

3)所有閉環信號皆有界。

4)系統輸出誤差z1(t)漸近收斂到零，當t →∞，y(t)→φ*(t)。

證明:1)將式(20)代入式(19)，得

由于κi＜0(i=1，…，4)，可知，由此可知V4(t)≤V4(0)，若z1(0)∈(- kb，kb)，根據文獻［15］中引理1 可知，z1∈(- kb，kb)?t ∈［0，∞)。由式(8)可知

3)由z1(t)有界結合由式(9)可知虛擬控制量ω*有界，依此類推可知zi(t)有界，結合設計過程可知控制律uq和ud亦有界，由此可得系統閉環信號皆有界。

4)由zi(t)有界，可計算出亦有界，對式(23)求導可知有界，為一致連續，由Barbalat 引理可知，當t →∞時，→0，即zi(t)→0，可實現對舵面位置的精確跟蹤。

3 仿真結果及分析

在Matlab 環境下進行數值仿真，驗證本文所設計控制器的有效性。仿真參數如表1 所示。

表1 伺服作動系統參數Tab.1 Parameters of servo-actuation system

舵面運動通常是繞伺服系統的輸出軸作往復擺動，可近似為正弦運動，滿足定理中假設條件，設置舵面轉角期望指令為，結合工程實際，設計kb為1.5，即舵面偏角容許誤差范圍z1∈(-1．5，1．5)，控制器參數設置為κ1=κ2=3 000，κ3=κ4=500，λ=2 000。

采用本文方法控制效果如圖2所示，可看出舵面位置具有較高的控制準確度，未有產生較大的超調量，z1(t)始終被約束在設定范圍內，且收斂較快速，電動機實時轉速較準確的逼近虛擬控制量ω*。

圖2 本文方法控制結果Fig.2 Simulation results of proposed method

圖3 常規反演方法控制結果Fig.3 Simulation results of classical backstepping method

由圖3可知，常規反演控制仍能保證系統穩定性，但對系統動態性能的調節僅依賴于控制器參數的整定，對誤差約束條件是無法處理的。

4 實驗結果

為驗證機載PMSM 伺服作動系統及控制器性能，建立實驗平臺如圖4所示。

圖4 伺服系統實驗平臺Fig.4 Servo-actuation system experimental platform

作動機構采用并行/主動式雙余度結構，為測試PMSM 性能，實驗中采用單通道控制。負載模擬器是舵面負載力矩的加載裝置，能模擬隨馬赫數、攻角及舵偏角等參數變化的舵面負載力矩。伺服控制器采用TI TMS320F2812，逆變單元采用IGBT 組成全橋結構，通過光電編碼器進行速度測量。

為驗證積分反饋的作用，設計不含積分反饋的約束反演控制器。控制器設計中選擇對數型BLF，V1=其余步驟與上文相同，控制器參數同仿真驗證。實驗結果如圖5所示。

圖5 本文方法實驗結果Fig.5 Experimental results of proposed method

通過圖5a 舵面轉角誤差對比結果可看出積分反饋的作用，由于作動系統中存在參數時變特性及未建模動態，積分項的引入顯著提高了舵面位置跟蹤精度，加快了誤差信號zi(t)的收斂速度。

對比圖5a 與圖3b 可知，與仿真結果相比，實驗結果的最大誤差和誤差絕對值積分顯著偏大，主要考慮以下原因:數學模型中忽略了實際作動系統的非線性特性，如電動機發熱導致的模型參數變化，負載模擬器存在多余力矩，舵面存在機械連接間隙非線性、摩擦非線性、同軸度誤差等。由圖5b 可知電動機轉速能準確快速地跟蹤參考轉速信號。實驗結果表明本文算法具有較好的魯棒性，可保證系統的全局漸近穩定性，且可保證對超調量的有效約束。

5 結論

針對機載PMSM 伺服作動系統存在的強耦合非線性特性以及高精度控制需求，提出一種基于障礙Lyapunov 函數的積分反演控制策略，實現對輸出誤差的約束，證明了控制算法的收斂性，并研究了障礙Lyapunov 函數及積分項在反演控制中的作用。可得如下結論:

1)傳統反演方法僅能保證PMSM 伺服作動系統穩定性，無法解決對誤差量的約束問題。

2)本文方法不僅可實現伺服控制的全局漸進穩定，而且可實現對輸出誤差量的實時約束，通過理論證明與仿真對比可知，本文方法彌補了傳統反演控制方法的不足，實現了機載伺服系統的高精度控制。

3)反演設計中引入積分項，一定程度上增強了系統的魯棒性，對改善穩態控制品質有積極意義。

4)遞推設計環節中可考慮采用有限時間滑模控制方法設計虛擬控制量，加快收斂速度，增強系統魯棒性。

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