淺析高中數學概念課型的核心任務與教學定位

吳青平

【摘要】數學概念課是數學學習的核心內容，是學好數學的重要保障。但有些教師對數學概念的核心任務把握不準確，對概念所反映的思想方法的理解水平不高，對數學概念的教學定位認識模糊。本文通過對數學概念課型的核心任務與教學定位的深入剖析，提出概念教學的三種課型：從整體背景到局部知識的結構教學，從上位概念到下位概念的結構教學，探索數學對象運動變化的規律。

【關鍵詞】概念課型 核心任務 教學定位

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0130-02

1.概念課型的界定

數學概念課型是以“事實學習”為中心內容的課型。該課型體現學生的學習活動是在進行“代表學習”和“概念學習”。通過“概念學習”，把作為新知識中的概念，正確地初步地轉化為學生自身認知結構的概念體系里的概念。通過“代表學習”，對概念的文字、語言敘述或概念的定義能初步理解，掌握這些數學概念所對應的數學符號及這些符號的書寫、使用方法。初步了解由這些數學符號組成的語言含義，并能初步把它轉譯成一般語言。

2.高中數學概念課的核心任務與教學定位

2.1高中數學概念課的核心任務

高中數學概念課教學的核心任務是對數學對象的抽象概括。

正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵——對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍。一般來說，數學概念是運用定義的形式來揭露其本質特征的。但在這之前，有一個通過實例、練習及口頭描述來理解的階段。比如，兒童對自然數，對運算結果——和、差、積、商的理解，就是如此。到小學高年級，開始出現以文字表達一個數學概念，即定義的方式，如分數、比例等。有些數學概念要經過長期的醞釀，最后才以定義的形式表達，如函數、極限等。定義是準確地表達數學概念的方式。

許多數學概念需要用數學符號來表示。數學符號是表達數學概念的一種獨特方式，對學生理解和形成數學概念起著極大的作用，它把學生掌握數學概念的思維過程簡約化、明確化了。許多數學概念的定義就是用數學符號來表達，從而增強了科學性。

許多數學概念還需要用圖形來表示。有些數學概念本身就是圖形，如平行四邊形、棱錐、雙曲線等。有些數學概念可以用圖形來表示，比如基本初等函數的圖像等。有些數學概念具有幾何意義，如函數的導數。數形結合是表達數學概念的又一獨特方式，它把數學概念形象化、數量化了。

總之，數學概念是在人類歷史發展過程中，逐步形成和發展的。學生對數學概念的學習，應有一個抽象概括的過程，從文字語言、符號語言及圖形語言等不同角度抽取概念本質屬性，在準確把握概念外延的基礎上，形成清晰的學習數學知識結構的認識。

2.2高中數學概念課的教學定位

數學概念課的教學中應引導學生經歷從具體實例抽象概括出數學概念的過程，經歷對實際背景的感知與抽象、概括的過程。

（1）對每一個數學概念，都應該準確地給它下定義。對一些基本（原始）概念，不宜定義的也應給予清晰準確的“描述”。通過給概念下定義的教學，讓學生從定義的表達形式及邏輯思維中去領會該事物與其它事物的根本區別。并注意對同一概念的下定義的不同方案，從而深化對概念的理解。

（2）對概念（定義）的理解必須克服形式主義。課內應通過大量的正、反實例，變式等，反復地讓學生進行分析、比較、鑒別、歸納，使之與鄰近概念不至混淆，并要解決好新舊概念的相互干擾。

（3）概念教學還必須認真解決“語言文字”與“數學符號、式子”之間的互譯問題，為以后在數、式運算中應用數學概念指導運算打下基礎。使學生把代表某一概念的數學符號與概念內涵直接掛鉤。

（4）克服學生普遍存在的“學數學只管計算，何必花時間學概念”之類的錯誤認識。重視概念課教學的啟發性和藝術性，重視創設情境，激發學習興趣，引導學生對概念學習的高度重視。同時應采用多種形式的訓練（如選擇答案、填空、變式等），從多個側面去加深對概念的理解與應用。

3.高中數學概念課課型分析

課型1：從整體背景到局部知識的結構教學（以《集合的含義與表示》為例）

（1）背景引入——介紹數學對象的相關背景。

介紹集合論及其發展過程的相關背景。

（2）材料感知——借助具體事例，從數學概念體系的發展過程或解決實際問題的需要引入概念。

問題1：我們學習過哪些集合？

問題2：你能再舉出一些集合的例子嗎？

教師引導學生回憶、舉例，并對學生活動進行評價。

（3）分類辨析——以實例為載體分析關鍵詞的含義（使用反例，鼓勵學生大量舉例）。

問題3：你能說出你所舉例子的特點嗎？

教師引導學生獨立思考，舉出一些能夠構成集合及不能構成集合的例子，概括所舉例子的特點。如果學生仍不能有效地提煉出集合的三個基本特征，教師可以作如下的提示：“請所有的男同學站起來；請所有的高個子站起來”，以此來幫助學生理解集合的“確定性”。

（4）提煉本質——提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征。

問題4：你能概括出所舉例子所具有的共同特征嗎？

師生共同概括所舉例子的特征，得出結論。

（5）抽象命名——概念的明確與表示：下定義，給出準確的數學語言描述，即把實際問題數學化（文字的、符號的）。

引導學生抽象概括出集合的含義及集合中元素的特征——確定性、互異性、無序性。

（6）鞏固應用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問題5：我們可以從哪些角度來研究集合？

學生閱讀教科書，自己嘗試整理相關的知識內容，歸納出元素與集合的關系，常用數集的記號以及表示集合的三種方法：自然語言、集合語言（列舉法或描述法）及圖形語言。

（7）概念的“精致”——納入概念系統，建立與相關概念的聯系。

課本例1與例2；課本第5頁練習1，2。

學生獨立思考，解決問題，全班交流討論，教師析疑。

除集合外，以上教學流程適用于一般數學對象的抽象概括，如命題、向量、數（復數）、數列（包括等差數列、等比數列）、角、事件等，它們具有相同的學習“基本套路”，即按“背景——概念——表示——分類——性質（關系及運算）——應用”展開。

課型2：從上位概念到下位概念的結構教學（以《不等關系與不等式》為例）

（1）背景引入——提供一些學生感興趣和富有時代感的素材。

問題1：如圖拋物線中，試找出相關的不等關系。

（2）概念形成——讓學生自己舉例或提供大量材料，引導學生對這些材料進行辨析，學會透過表面現象發現它們的本質特點，形成上位概念。

問題2：數學和日常生活中存在大量不等關系，你能舉出一些含有不等關系的例子嗎？

學生每人至少各舉一個數學及日常生活中的例子并在小組交流，獨立歸納概括出不等式（組）的概念。

（3）辨析比較——教師要注意引導學生在比較中辨析和體會哪種分類更合理、更準確，并注意特殊情況的研究和思考。

問題3：你能對以上所舉例子進行分類嗎？

第一層次：獨立進行分類，并以小組為單位對不同分類標準的合理性進行討論。

第二層次：全班進行交流和討論。

教師引導學生在比較中辨析和體會哪個分類更合理、更準確，并注意特殊情況的研究和思考。

（4）抽象命名——引導學生根據各種分類結果的本質特點，對各種關系進行命名，從而得到下位概念的各種類型。

提煉出不等式的概念，并對不等式進行分類。

根據字母所在位置進行分類：整式不等式，分式不等式，無理不等式，……

在整式不等式中，根據字母的個數進行分類：一元不等式，二元不等式，……；根據字母的次數進行分類：一次不等式，二次不等式，……

在此基礎上，學生說出一元一次不等式、一元二次不等式及二元一次不等式的概念及形式，以及不等式組的概念，并能舉例加以說明。

（5）鞏固應用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問題探究（課本素材）

（6）整體認識——從整體上認識與概念相關知識內容及研究套路。

教師引導學生回顧之前學習過的方程（等式）的知識內容，如等式的性質，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等，梳理相關知識結構。

類比方程（等式）的相關內容，構建不等式的知識網絡。

課型3：探索數學對象運動變化的規律（以《函數的概念》為例）

（1）概念的引入——通過復習回顧或日常生活中的實例引入概念，學生經歷材料感知的基礎上初步認識概念。

問題1：函數的概念是什么？我們已經學習過哪些函數？

提出問題引導學生思考，通過對一些基本初等函數，如正比例函數，反比例函數，一次函數，二次函數等的認識，揭示函數是用于描述變量之間依賴關系的模型。

（2）概念的形成——引導學生從數學活動或數學實例中概括出概念的本質。

問題2：y=1是函數嗎？y=x與y=■是同一個函數嗎？

展示課本三個實例并提問：

問題3：以上三個實例存在哪些變量？變量的變化范圍分別是什么？兩個變量之間存在著怎樣的對應關系？三個實例變量之間有什么共同點？

（3）概括概念——學生嘗試給概念下定義，在小組交流、全班研討中不斷完善對概念的精確描述。

問題4：你還能舉出一些相關的例子嗎？你能歸納概括出一般結論嗎？

除了課本中的三個實例，讓學生大量舉例（可以是已經學習過的基本初等函數），通過聚類分析提煉抽象本質屬性，獲得函數概念。

（4）理解概念——從概念的內涵與處延、概念的要素理解概念。

問題5：我們可以從哪些方面理解函數的定義？

引導學生明確以下幾點：①函數的要素：定義域、值域和對應關系。②函數的表示法：解析式、圖象、表格。③函數記號y=f（x）的內涵。

（5）應用概念——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟。

問題6：初中學過哪些函數？它們的定義域、值域、對應法則分別是什么？

提出問題，引導學生思考，啟發學生利用表格對一次函數、二次函數、反比例函數的要素進行歸納與類比，并可利用信息技術工具（幾何畫板）畫出函數的圖像幫助理解上述函數的三個要素。

（6）形成認知——歸納總結概念的形成過程，概括應用概念解決問題的方法步驟。

問題7：你對“函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型”這句話有什么體會？構成函數的要素有哪些？你能舉出生活中一些函數的例子嗎？

舉出生活中函數的例子（三個以上），并用集合與對應的語言來描述函數，同時說出函數的定義域、值域和對應關系。

問題8：我們在初中學習的基礎上，運用集合和對應的語言刻畫了函數概念，并引進了符號y=f（x），明確了函數的構成要素。比較初中函數與本節課函數的定義，你對函數有什么新的認識？

函數及基本初等函數、導數與定積分、二元方程（直線與曲線的方程）都是反映運動變化規律的數學模型，按以上的操作流程可以更加清晰地認識數學對象運動變換的本質屬性。