柯西不等式變式的應用

文/覃發崗 寧紀獻

柯西不等式變式的應用

文/覃發崗 寧紀獻

對柯西不等式基本形式、推論作了歸納，然后給出了其推論的應用。

不等式;應用;柯西不等式

1.引言

柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式，它結構對稱和諧，具有較強的應用性，深受人們的喜愛。它的推論也比較多，本文主要介紹其四個推論及其應用。

2.柯西不等式的變式

2.1 柯西不等式的基本形式［1］

2.2 柯西不等式的變式［2］

變式二

變式五

將柯西不等式兩邊開平方根即得。

3.應用柯西不等式的變式

3.1 應用變式一

證明由變式一可得，

故原不等式成立。

3.2 應用變式二

故原不等式得證。

3.3 應用變式三

例3已知x+2y+3z+4u+5v=30，求W=x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值。

解:由變式三得，

當且僅當x=y=z=u=v即x=y=z=u=v=2時等號成立，故W的最小值為60。

3.4 應用變式四

例4已知a，b，c，d∈R+，且a+b+c+d=1，求證:

證明可利用變式四，令

故原不等式成立。

(作者單位:云南大學數學系)

［1］謝躍進.柯西不等式應用探討［J］.銅仁職業技術學報(自然科學版).2008，6(6):59.

［2］王曉鳳.對柯西不等式的探討［J］.通化師范學院報，2006，27(2):23－25.

This paper introduces the Cauchy inequality from its basic form，deformation.Then reveals their application in inequality by series examples.

Inequality;Application;Cauchy Inequality.