關(guān)于ψ的v階導(dǎo)數(shù)和的一個(gè)漸近公式

周 煥 芹

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714099)

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

關(guān)于ψ的v階導(dǎo)數(shù)和的一個(gè)漸近公式

周 煥 芹

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西 渭南 714099)

赫爾維茨ζ函數(shù)；黎曼ζ函數(shù)；微分方程；漸近公式

本文使用以下一些記號(hào):s表示一復(fù)變量，并記

定義的,它滿足公式[2]

(2)

并且得到漸近公式

(3)

當(dāng)x→時(shí)恒成立.另一方面,公式(2)中，令x=0，得到積分表示式

(4)

此公式對(duì)一切u≠-1都成立，且l可以取滿足l>Reu+1的任意自然數(shù).在區(qū)域Reu

在這一主要部分里,規(guī)定u=-v,Lu(x)=Lu(x-1,1),我們將得出和式中的一般表示式為

對(duì)任意u∈C，這結(jié)論都成立.

證明 由于ψ(z)滿足基本微分方程

容易得出

由此可得

對(duì)(8)式兩邊在k≤x范圍內(nèi)求和,并且交換和式的次序,則可得

(9)

代入(9)式整理后可得到(6)式,于是完成了定理1的證明.

定理2 對(duì)于和式Su(x),可以得出漸近公式：

(10)

為了證明定理2，首先給出以下引理及其證明.

證明 已知公式

再運(yùn)用(3)式可得

(13)

把第一項(xiàng)與第二項(xiàng)合并可得

(14)

再運(yùn)用引理中的公式,我們把第一項(xiàng)進(jìn)行變換,因?yàn)閤u-r+1的第三個(gè)因式是

把上式代入(14)式,整理后即可得到公式(3).于是就完成了定理2的證明.

[1]ElizaldeE.AnasymptoticexpansionforthederivativeofthegeneralizedRiemannZetafunction[J].Math.Comput,2006,47:347-350.

[2] 周煥芹.關(guān)于赫爾維茨ζ函數(shù)導(dǎo)數(shù)的積分漸近展開式[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,29(11):5-7.

[3]KanemitsuS,KumagaiH,SrivastavaHM,etal.SomeintegralandasymptoticformulasassociatedwiththeHurwitzZetafunction[J].Appl.Math.Comput,2004,154(3):641-664.

[4]S.Kanemitsu,T.Kuzumaki，M.yoshimoto.SomesumsinvolvingFareyfractionsII[J].J.Math.Soc.Japan,2000,52:915-947.

[5]H.M.Srivastava，J.S.Choi.SeriesAssociatedwiththeZetaandRelatedFunctions[M].Dordrecht:Kluwer,2001.

【責(zé)任編輯 牛懷崗】

On the Asymptotic Formula for the Sum of ThevDerivative ofψ

ZHOU Huan-qin

(School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Hurwitz Zeta function; Riemann Zeta function; differential equation; asymptotic formula

2015-04-01

渭南師范學(xué)院特色學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目：數(shù)學(xué)方法在秦東經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展中的應(yīng)用(14TSXK02);渭南市科技局科研基金資助項(xiàng)目：量子信息論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究(2014KYJ-4)

周煥芹(1962—)，女，陜西澄城人，渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，主要從事函數(shù)論研究.

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1009-5128(2015)10-0018-04