Gronwall不等式的證明及有關(guān)應用

彭 良 香

(江蘇城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)學院 基礎(chǔ)部，江蘇 常州 213147)

Gronwall不等式的證明及有關(guān)應用

彭 良 香

(江蘇城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)學院 基礎(chǔ)部，江蘇 常州 213147)

在證明Gronwall不等式的基礎(chǔ)上，應用Gronwall不等式來證明存在唯一性定理中的唯一性、解的不等式、特殊的初值問題的解的存在性，以及有關(guān)微分方程及攝動方程的解的漸近性質(zhì)。

Gronwall不等式；初值問題；攝動方程；漸近性質(zhì)

Gronwall不等式是常微分方程課程[1-6]中的一個重要不等式，本文給出了兩種證明方法及相關(guān)應用。

Gronwall不等式[1]設(shè)K為非負常數(shù)，f(t)和g(t)為在區(qū)間α≤t≤β上的非負連續(xù)函數(shù)，且滿足不等式

(1)

下面利用Gronwall不等式來證明一階微分方程解的存在唯一性定理中的唯一性。

定理1[1](存在唯一性) 如果f(x,y)在矩形區(qū)域R：|x-x0|≤a,|y-y0|≤b上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程

(2)

存在唯一解y=φ(x)，定義于區(qū)間|x-x0|≤h上，連續(xù)且滿足初始條件φ(x0)=y0，其中

證明 解的存在性證明可見文獻[1]。假定φ(x),ψ(x)為在x0≤x≤x0+h上初值問題

利用Gronwall不等式有

即φ(x)=ψ(x)，唯一性得證。

下面通過幾個例子來說明Gronwall不等式在常微分方程中的重要應用。

例1(解的不等式性質(zhì)) 如果函數(shù)f(x,y)于某區(qū)間D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則對方程(2)的任意兩個解φ(x)和ψ(x)，在它們的公共存在的區(qū)間內(nèi)有下面不等式成立，|φ(x)-ψ(x)|≤|φ(x0)-ψ(x0)|·exp(L|x-x0|),

其中x0是所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。

證明 由假設(shè)知，在a≤x≤b上，有

當x0≤x≤b時，

|φ(x)-ψ(x)|≤|φ(x0)-ψ(x0)|+

|φ(x0)-ψ(x0)|·exp[L(x-x0)]。

當a≤x≤x0時，類似可證|φ(x)-ψ(x)|≤|φ(x0)-ψ(x0)|·exp[L·(x-x0)]。

故對任意x∈[a,b]都有

|φ(x)-ψ(x)|≤|φ(x0)-ψ(x0)|·exp(L|x-x0|)。

例2 (解的整體存在性) 設(shè)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域J×R內(nèi)連續(xù)，J=(a,b)且滿足

|f(x,y)|≤p(x)+q(x)·|y|，

其中p(x)、q(x)是J內(nèi)的連續(xù)非負函數(shù)，試證：對?(x0,y0)∈J×R，初值問題

(3)

的解在整個J上存在。

證明 由題知初值問題(3)的解y=φ(x,x0,y0)是局部存在的，設(shè)φφ(x,x0,y0)是初值問題(3)在某一區(qū)間x0≤x≤β(β∈J)上的解。令M為p(x)在x0≤x≤β上的上界，N為q(x)在x0≤x≤β上的上界，則在x0≤x≤β上有

[|y0|+M(β-x0)]·exp[N(x-x0)]≤

[|y0|+M(β-x0)]·exp[N(β-x0)]，

即對?β∈J,β>x0,φ(x)在[x0,β)上有界。

由解的延拓定理[1]易得：φ(x)向右延拓到[x0,b)上，在α

再考慮微分方程

(4)

攝動方程

(5)

當t→+∞時方程(4)的一切解都趨于零，則方程(4)方陣預解式滿足

‖X(t)‖≤α·exp(-σt),t≥0

(6)

例3 (解的漸近性質(zhì)) 若當t→+∞時方程(4)的一切解都趨于零，又設(shè)B(t)是一個連續(xù)方陣，滿足∫0+∞‖B(s)‖ds<+∞，則當t→+∞時方程(5)的一切解也都趨于零。

證明 令x(t)為方程(5)的任一解，可看成是

x(t)=X(t)x(0)+∫0tX(t-s)B(s)x(s)ds。由(6)式知，‖x(t)‖≤‖X(t)x(0)‖+∫0t‖X(t-s)B(s)x(s)‖ds≤

α‖x(0)‖e-σt+α∫0te-σ(t-s)‖B(s)‖·‖x(s)‖ds，

則exp(σt)‖x(t)‖≤α‖x(0)‖+α∫0t‖B(s)‖·

exp(σs)·‖x(s)‖ds，

由Gronwall不等式得，exp(σt)‖x(t)‖≤α‖x(0)‖·exp(α∫0t‖B(s)‖ds)，

即x(t)→0，t→+∞。

例4[2](解的漸近性質(zhì)) 設(shè)當t→+∞時方程(4)的一切解趨于零，則必存在一數(shù)η>0，它只依賴于方陣A，使對足夠大的t值，有‖B(t)‖≤η，則當t→+∞時方程(5)的一切解都趨于零。

設(shè)‖ξ‖=a，則‖X(t)‖≤aα·exp(-σt)+αη·exp(-σt)∫0texp(σ·s)‖x(s)‖ds，t≥t0,故exp(σt)‖x(t)‖≤aα+αη∫t0texp(σ·s)‖x(s)‖ds≤

由Gronwall不等式知，

從上面的例子看，Gronwall不等式的應用比較廣泛，尤其是在證明一些不等式和初值問題的解的性質(zhì)時。

[1]王高雄, 周之銘, 朱思銘, 等. 常微分方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.

[2] 羅梭. 常微分方程[M]. 上海: 上海科學技術(shù)出版社, 1981.

[3] 丁同仁. 常微分方程教程[M]. 北京: 高等教育出版社, 2005.

[4] 周尚仁. 常微分方程習題集[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984.

[5] 葉彥謙. 常微分方程講義[M]. 北京: 人民教育出版社, 1983.

[6]B. Braun. Differential Equations and Their Applications[M]. New York: Springer-Verlag, 1993.

Proofs and Applications of Gronwall Inequality

PENG Liang-xiang

(Jiangsu Urban Rural Construction College, Changzhou 213147, China)

First, this paper provides two proofs of Gronwall inequality.Then, we apply it to prove the uniqueness of the existence and uniqueness theorem, the inequality of the solution and the existence of the solution to special initial value problem.At last, we apply it to prove the theorem about the asympototic property of the solution to the differential and perturbed equation.

Gronwall inequality, initial value problem, perturbed equation, asympototic property

2015-04-03

彭良香，女，安徽霍山人，碩士，江蘇城鄉(xiāng)建設(shè)職業(yè)學院基礎(chǔ)部講師，研究方向為圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。

時間：2016-1-5 13:01 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.029.html

O178

A

1007-4260(2015)04-0117-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.029