線性代數中突出行最簡形相關內容的教學設計

孫 廣 人

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

線性代數中突出行最簡形相關內容的教學設計

孫 廣 人

(安慶師范學院 數學與計算科學學院，安徽 安慶 246133)

從線性代數的教學經驗出發，針對非數學專業線性代數教學的實際情況，初步探討了線性代數教學中以Gauss消元法為根本，突出行最簡形及其相關內容的教學設計。

Gauss消元法；行最簡形；線性代數教學

大學非數學專業線性代數課程所用的教材，如同濟大學編寫的線性代數[1],孫國正、杜先能編寫的新書[2]，內容都比較簡潔、精煉，但是教師按教材講授之后學生的實際理解情況仍不夠理想，以致不少學生最后考試成績不錯，但是卻不知道自己究竟學了什么。

造成這種現象的原因有多種。如果不考慮學生、教材的原因，只就實際教學過程來講，多數教師較為側重知識點的講授，這是無可厚非的，但是要求通過一兩個主要問題或者主要工具把大綱內容串聯在一起的整體教學方法也需要重視。

孔子曰：吾道一以貫之。法國大數學家A.韋伊認為數學教師的任務就是告訴學生一本幾百頁的數學書中的指導原則不過一兩條。目前國內非數學專業的線性代數教材，通常有一半以上的內容與求解線性方程組有關，如果要從中抽繹出指導性原則，那么所謂的“一貫之道”無疑是Gauss消元法。Gauss消元法不僅出現在求解方程組中，而且在求行列式、矩陣的秩以及向量組的最大無關組的計算中也反復出現，如能在教學設計中適當加以強調，則學生可以更快更透徹地掌握線性代數的基本內容。

從教學實踐出發，參考國內外優秀教材[2-4]，嘗試給出一種突出Gauss消元法后產生的“行最簡形”(由本文正文部分的討論可以發現“行階梯形”或者“行最簡形”的概念不只限于矩陣，也可以延伸到線性方程組甚至行列式中)相關內容的教學設計。

這樣設計的動機之一，源于作者在幾年線性代數的教學中發現：許多學生學完線性代數，在最后考試中只知道用對角線法則計算行列式的值。這說明不少人對于行列式的印象還停留在教材的最初幾頁，讓作者深刻領悟到“先入為主”這條萬古不變的鐵律。因此，與其讓學生多年后才恍然大悟：原來是這么回事啊！不如適當安排講授順序，讓他們對線性代數的重要思想形成完整的認識。因此，在本文中提出一種強調行階梯形的“本末倒置”的設計。

1 線性方程組

通常在講授求解線性方程組時，首先強調怎樣通過初等變換對線性方程組消元，把方程組變成“可以直接看出解”的形狀，這種形狀對應的增廣矩陣為“行最簡形”。本文設計的講授模式是“本末倒置”的，即首先強調行最簡形，然后再考慮如何把一般形式的方程組化為“行最簡形的方程組”。

具體授課時，教師引導學生思考：什么情況下能夠直接“讀出”線性方程組的解？首先，從最簡單的“方程組”出發：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn，寫出其對應增廣矩陣。之后，強調這種方程組的變化：x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,xn=bn′，其中bn≠bn′，并寫出與之等價的方程組x1=b1,x2=b2,…,xn=bn,0=bn′-bn的增廣矩陣，這樣在學生頭腦里初步建立了方程組解的存在性與增廣矩陣形狀的關系。最后，引入能直接讀出解的方程組的標準形式：

當然此時對應的增廣矩陣正是“行最簡形”矩陣。特別地，要向學生說明：下面的工作就是要把一般形式的方程組(或對應的增廣矩陣)通過Gauss消元法(或者對應的初等行變換)變成行最簡形的過程。

這種設計的優點是目的性較強，在學生心目中樹立了“行最簡形”矩陣的高大上的形象，讓學生立即明白此后一切求解線性方程組的終點就是這種形狀的方程組。也可以通過強調行最簡形與線性方程組解的對應關系讓學生明白：由于方程組的解集是確定的，因此一個矩陣的行最簡形也是唯一確定的。

2 行列式

在講授完行列式的定義后，一般教材指出，通過定義可以直接計算的有對角形行列式、或者更一般的上(下)三角形行列式，設計講述行列式的過程就從這個例子出發。

具體地說，在行列式的教學中，首先向學生強調它作為判別線性方程組存在唯一解的“判別式”的功能。最簡單的，線性方程ax=b是否存在唯一解的“判別式之一”是a，由此引申出線性方程組a1x1=b1,a2x2=b2,…,anxn=bn存在唯一解的“判別式之一”是a1a2…an，同理，上三角形線性方程組

存在唯一解的“判別式之一”是a11a22…ann，然后給出“判別式之一”——行列式的定義，以及如何通過“Gauss消元法”把一般行列式轉化為上三角形(其實就是“行階梯形”)行列式。

這種講述模式讓學生明白行列式引入的動機，更重要地是讓學生建立良好的求解行列式的習慣以及對行列式的理解。

3 線性相關與極大無關組

向量的概念對于線性代數無疑非常重要，但是對于很多學生來說也十分抽象。因此，線性相關性——特別是求解向量組的極大無關組，對于線性代數的教學是一大難點。在實際教學過程中，仍然嘗試采取強調行階梯形的方法進行設計。

最為典型的線性無關的向量組是“r維單位向量組”：

能夠立即看出單位向量組的線性無關性，因此本身就是極大無關組。由此推廣至“一眼看出”極大無關組的“列向量組”的一般形式是下列“行最簡形”矩陣的列向量組：

進一步向學生解釋能“一眼看出”的原因是它前r行r列對應著“r維單位向量組”。

這樣使學生的注意力再次集中到“行最簡形”上，然后通過解釋“矩陣初等行變換不改變矩陣的列向量間的線性相關性”(如果從線性無關與對應齊次線性方程組存在唯一解的角度解釋這一原理，則再次應用到行最簡形)，讓學生明白，求極大無關組與求線性方程組的解、行列式的值有著完全相似的過程。突出“行最簡形”的地位在求解極大無關組的過程中有極其重要的意義。它既可以讓學生迅速掌握求解的方法，又可以使學生看清求解過程的本質。

4 結 論

以上線性代數的教學中突出“行最簡形”的設計，在實際教學中收到了不錯的效果。一定程度上改變了分散的知識點帶給學生的困擾。當然，目前這種設計還面臨不少問題，比如，解方程組導入“行最簡形的方程組”還有很突兀的地方，其中給學生帶來的一個較大困惑是：為什么一切可以讀出解的方程組都是這種形式？而行列式教學中“本末倒置”后尚不能十分自然地由“判別式”轉換到“行列式”，從而經常導致學生產生對行列式定義理解的混淆。最后，求極大無關組的教學中，還不能給出“初等行變換不改變列向量的線性相關性”的更加直觀、圓融的解釋，因此許多學生只是掌握了求解方法，沒有完全融會貫通。

總之，這種想法還有諸多需要完善之處，故僅以此文拋磚引玉，希望能引起同行的專家、老師們對這種教學設計的中肯評價與改進，來一起推動大學非數學專業的線性代數教學。

[1]同濟大學數學系. 線性代數[M]. 6版. 北京: 高等教育出版社, 2014: 1-106.

[2] 孫國正, 杜先能. 線性代數(經濟管理類)[M]. 合肥: 安徽大學出版社, 2011: 1-124.

[3] K. Hoffman, R. Kunze. Linear Algebra[M]. 影印版. 北京: 世界圖書出版公司, 2008: 1-173.

[4] J. Hefferon. Linear Algebra[M]. Richmond: virginia commonwealth university mathematics, 2009: 1-366.

Instructional Design of Emphasizing the Row-Reduced Echelon in Linear Algebra

SUN Guang-ren

(School of Mathematics and Computation Science, Anqing Teachers College, Anqing 246133，China)

Learn from the author's experience in teaching non-math majors, an instructional design on linear algebra is proposed, which emphasizes the row-reduced echelon and the related content based on Gaussian elimination.

Gaussian elimination, row-reduced echelon, the teaching of linear algebra

2015-02-27

孫廣人，男，河北唐山人，博士，安慶師范學院數學與計算科學學院副教授，研究方向為代數編碼。

時間：2016-1-5 13:01 網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.032.html

G47

A

1007-4260(2015)04-0126-02

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.032