柯西不等式的一個注記

張華民，梅 紅

(蚌埠學院 數學與物理系，安徽 蚌埠 233030)

柯西不等式的一個注記

張華民，梅 紅

(蚌埠學院 數學與物理系，安徽 蚌埠 233030)

利用向量的勾股定理證明了線性代數中的柯西不等式和三角不等式，探討了這兩個不等式的聯系，并用三角不等式證明了柯西不等式，指出了該不等式名稱中一個易被忽視的細節。

勾股定理；柯西不等式；三角不等式

線性代數是理工科大學生的一門重要課程，學好這門課對理工科大學生后繼課程的學習具有重要意義。如何上好這門課，人們已做了許多工作[1-3]，筆者也進行了有益的嘗試[4-5]。本文主要探討了向量的勾股定理，并用它證明柯西不等式和三角不等式，建立這兩個不等式間的聯系，并指出柯西不等式名稱中一個易忽略的細節。

1 向量內積的幾何意義

內積是線性代數中的一個重要概念，歐氏空間中的許多概念和方法都與內積相關。下面給出內積的定義與幾何意義。由于諸多文獻中對內積的記號表示不盡相同[6-10]，例如文獻[6]是用圓括號(小括號)，文獻[7]是用方括號(中括號)，文獻[8-9]是用尖括號，文獻[10]是用實心點表示的。本文記號以文獻[6]為準。先給出內積的定義。

定義1 設V是實數域R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作(α,β)，它具有以下的性質：

(1)(α,β)=(β,α);

(2)(kα,β)=k(α,β);

(3)(α+β,γ)=(α,γ)+(β,γ);

(4)(α,α)≥0,當且僅當α=0時, (α,α)=0。

其中α,β,γ∈V,k∈R。規定當且僅當兩向量的內積為零時，稱兩向量是正交的。

定義內積的二元實函數有很多種，通常的定義有下面兩種，一是在向量空間Rn中，取α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T, 則向量α和β的內積(有的文獻也稱為點積、數量積[10])定義為(α,β)=a1b1+a2b2+…+anbn，若引入求和符號∑、向量和矩陣來表示，記n階單位矩陣為I, 則上式又可寫為

βTα=αTIβ=βTIα。

‖α‖≥0,‖kα‖=|k|‖α‖ 。

若 ‖α‖=1則稱其為單位向量，記為αe。

由內積的性質，化簡得到

(1)

即向量β與α內積的幾何意義。更進一步，若取α為單位向量，即有‖α‖=1=(α,α)，此時記

α=αe，則上式可寫為

即向量β與單位向量αe的內積(β,αe) 為向量β在單位向量αe的方向上正投影的數量積[10]。

2 兩個重要不等式的證明

柯西不等式

|(α,β)|≤‖α‖ ‖β‖

(2)

和三角不等式

‖α+β‖≤‖α‖+ ‖β‖

(3)

是兩個著名的不等式。一般線性代數或高等代數教材通常是利用向量α,β的線性組合α+tβ來構造內積，由內積(α+tβ,α+tβ)的非負性，證得不等式(2)；利用內積的定義將恒等式‖α+β‖2=(α+β,α+β) 展開，然后利用不等式(2)證得三角不等式(3)。這樣證明過程簡潔明了，但容易給人造成誤解，感覺是柯西不等式強于三角不等式。實際上這兩個不等式間雖有上述的聯系，但彼此互相獨立，它們都可直接由向量的勾股定理得到。下面直接用向量勾股定理來證明這兩個著名的不等式。

(4)

證明 由(1)式有

(5)

化簡得

進一步化簡得|(α,β)|≤‖α‖‖β‖

這樣就證明了著名的柯西不等式。

注1 不等式(2)是歷史上有名的不等式，該不等式的離散形式為[11]

注2 在不同的文獻上不等式(2)的名稱也不盡相同。例如在文獻[6]中稱為柯西-布涅柯夫斯基不等式，在文獻[7]中稱為施瓦茲不等式，在文獻[2,13]中稱為施瓦茨不等式。這里需要對施瓦茲或施瓦茨說明一下， Laurent Moise Schwartz (1915.03.05-2002.07.04) 是法國人, 因在分布理論、泛函分析、概率論方面的卓越貢獻獲得1950年的菲爾茲獎[13]，另一位是Hermann Amandus Schwarz (1843.01.25-1921.11.30)，他是德國數學家，魏爾斯特拉斯的學生，研究并發現了施瓦茲極小曲面，柯西-施瓦茲不等式就是以他的名字命名的[14](除引用別的文獻中名稱外，本文均將Schwarz譯為施瓦茲)。把這兩個人弄混淆并非只發生在漢語文獻里，在Gene H. Golub和 Charles F. Van Loan[15]經典著作的正文和索引里都把這個不等式稱為Cauchy-Schwartz-inequality[15]，而在對應的中國科學院袁亞湘翻譯的漢譯本矩陣計算[16]的正文中仍稱為Cauchy-Schwartz不等式，而在索引中則稱為Cauchy-Schwarz不等式。

下面用(1)式來證明三角不等式。

證明 記γ=α+β, 則有

‖α‖+‖β‖。

若(α,γ)與(β,γ)同號，則第一個不等號中等號成立，若(α,γ)與(β,γ)異號則小于號成立，第二個不等號用到了(5)式中的結論。

一般文獻中多用柯西不等式來證明三角不等式，下面反過來用三角不等式來證明柯西不等式。

證明 由三角不等式‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖兩邊平方，并進一步化簡有

(‖α+β‖)2≤(‖α‖+‖β‖)2，(α+β,α+β)≤(α,α)+2‖α‖‖β‖+(β,β)，

(α,β)≤‖α‖‖β‖

(6)

在上面的證明過程中β用-β代替，化簡得到

-(α,β)≤‖α‖‖β‖

(7)

將(6)、(7)兩式結合，即證得(2)式成立。

由上面的證明可看出柯西不等式與三角不等式是源于勾股定理的兩個相互獨立的不等式。

3 結束語

根據向量的勾股定量，證明了著名的柯西不等式和三角不等式，討論了這兩個著名不等式間的聯系，用三角不等式證明了柯西不等式，理清了柯西不等式命名中一個易被忽視的細節。

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[16] G. H. Golub, C. F.V.Loan. 矩陣計算[M]. 袁亞湘, 譯. 北京: 科學出版社, 2001: 59.

Note of the Cauchy Inequality

ZHANG Hua-min，MEI Hong

( Department of Mathematics and Physics, Bengbu University, Bengbu 233030, China)

By using the Pythagorean theorem of vectors, the Cauchy inequality and the triangle inequality are proved and the relationship of these two inequalities are discussed. The Cauchy inequality is proved by using the triangle inequality. Moreover, an ignored detail in the name of the Cauchy inequality is pointed out.

pythagorean theorem, Cauchy inequality, triangle inequality

2015-04-27

2013省級質量工程項目(2012GXK106)，2013教學團隊(jxtd02)，省級質量工程(2014zy141)和院級項目 (2015ZR10)。

張華民，男，安徽蚌埠人，博士，蚌埠學院數理系副教授，主要從事線性代數的教學和研究。

時間：2016-1-5 13:01 網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160105.1301.031.html

O151.2

A

1007-4260(2015)04-0123-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2015.04.031