從量子力學層面上認識，到大學物理層面上理解順磁性和抗磁性

周雨青

（東南大學物理系，江蘇 南京 211189）

國內主流大學物理學教材[1-3]都是這樣來描述順磁質和抗磁質的：在固有的分子磁矩μm＝0的磁性介質中，分子中的每一個電子的運動都相當于一個圓電流，磁矩為μe.由于電子帶負電，電子的角動量L與其磁矩μe方向相反.在外磁場B0中，電子磁矩受到磁力矩MB＝μe×B0的作用，磁矩μe（角動量L）將繞外磁場B0作進動，該進動又相當于一個圓電流，將產生一個附加磁矩Δμe.無論電子運動方向如何，Δμe的方向都與外磁場B0方向相反，即產生了抗磁性的抗磁質；在固有的分子磁矩μm≠0的磁性介質放入外磁場B0中后，分子磁矩μm所受的磁力矩將使其方向轉向（傾倒）與沿外磁場方向一致，即產生了順磁性的順磁質.

問題是，同樣的磁矩，一個是原子層面上的電子磁矩μe，另一個是分子層面上的磁矩μm，都在外磁場B0中，為什么前者是“進動”，后者卻是“傾倒”呢？顯然，機理描述上不自洽.實際上，原子或分子（以下統稱原子）在磁場中表現出的行為——順磁性、抗磁性、鐵磁性，甚至反鐵磁性等都是由原子與外磁場的量子作用表現出來的，體現在量子力學的哈密頓量中.以下只研究弱磁性物質的順磁與抗磁問題.

1 順磁、抗磁在量子力學中的描述

1.1 原子在外磁場中的哈密頓量

以下用磁場強度H作為參變量寫出哈密頓量.因外加磁場在原子范圍內可看做均勻磁場，所以考慮多電子原子在均勻磁場H中的哈密頓量為

其中第一項為沒有磁場時的原子哈密頓量，它決定了原子主能級，又稱本征能量可以看作原子的“固有”磁矩算符，沒有外磁場時仍存在，因此第二項是原子磁矩在外磁場方向上的投影引起的簡并能量的分離——塞曼能級，后面將會看到這一項就是順磁效應的主要貢獻項；第三項與原子的內稟性質無關，純粹是外磁場的存在對電子位置的“誘導”而產生的，后面將會說明它決定了抗磁性.

1.2 磁性的確定

根據統計物理規律，N個原子（或離子）組成的系統的磁化率χ可以通過下面幾個關系獲得

其中，M為磁化強度；f為單個原子自由能，在近獨立子模型中F＝Nf；V、T分別為系統體積和溫度；S為熵；E為系統的內能.根據量子統計基本原理，由N個近獨立原子（粒子）組成的系統，在溫度為T達到熱平衡時，單個原子平均的自由能f與原子內能變化ΔEn由正則系統的配分函數Z聯系在一起，即

式中的Jz是確定內能變化的參變量，后面會看到是原子的總角動量量子數.原子的內能變化就取決于式（1）中的第二、三項在對應量子態中的能量.通過計算磁化率χ就可判斷物質的磁性，χ＞0為順磁，χ＜0為抗磁.由此可知，物質的磁性取決于原子在外磁場中的能級變化.

1.3 第n個量子態的原子能量改變

用標準的量子語言說，第n個量子態是指零級哈密頓量H0對應的 （L2，S2，J2，Jz）共同本征態，對應的量子數是（n，l，m，s）.為方便起見，本文用｜n〉記作第n個上述本征態.假設外磁場在z方向，即H＝Hz，根據微擾論，只求一級微擾的能級改變為

式（4）中的第一項的量級為μBH，當磁場強度為1T時，此項約為10-4eV；第二項的量級為其中aB為玻爾半徑，當磁場強度為1T時，此項約為10-9eV.由此可以看出，當式（4）第一項不為零時，主要由第一項來決定原子能量改變，只有第一項等于零后，第二項才起作用，對應的磁性也是如此.

1.4 順磁與抗磁的出現

（1）討論式（4）中的第一項

根據原子及量子物理，原子固有磁矩可寫成

其中，

分別為原子的總角動量算符和原子的朗德因子.由此可以看出該項強烈依賴于電子殼層的排列.當原子（或離子）中的電子滿殼層排列時，L＝S＝J＝0，原子沒有固有磁矩，此項等于零.當電子未滿殼層時，原子存在固有磁矩，此項不為零，下面我們來計算由這一項引起的磁化率.

取原子基態｜0〉，將式（5）代入式（4）中計算原子在磁場作用下的內能變化

其中Jz＝-J，-J＋1，…，J-1，J.這表明，具有固定磁矩的原子（或離子）在外磁場中的內能變化有2J＋1個分立的值.同時表明，由于殼層未滿，外磁場可以改變多電子系統中的電子分布，從而系統的熵會發生改變，因此系統的自由能變化并不等于內能變化，它們之間只能通過式（3）聯系.將式（6）代入式（3）有

由式（2）可得N個近獨立原子系統的磁化強度

用Matlab程序畫出全函數域內的布里淵函數BJ（x）-x圖，如圖1所示.其中J取3／2.在弱場近似下BJ（x）函數可展開為

圖1 BJ（x）-x圖

因此在弱磁場下，由式（2）、（7）、（8）可得

所以，當原子非滿殼層時，原子在磁場中表現出順磁特性，是由原子固有磁矩起主要作用.

（2）討論式（4）中的第二項

首先，式（4）的第二項是從式（1）的第三項來的，從中可以看出，沒有外磁場的存在，這一項是不存在的，這不同于固有磁矩，所以這一項可以說是磁場“誘導”出來的.其次，當L＝S＝0時狀態波函數是球對稱的，因此最后，計算這一項引起的磁化率.當L＝S＝J＝0時，原子在外磁場中的能量變化

由于外磁場不能改變滿殼層的多電子系統的電子分布，所以系統的熵不依賴外磁場，系統的自由能變化就等于內能的變化?f＝?ΔEn，因此將式（9）代入式（2）有

所以，固有磁矩等于零的原子（離子）系統，表現出抗磁，是由外磁場誘導生出的.由量子力學的分析知，無論是順磁還是抗磁，都是由“相互作用能”的形式決定的.

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2 量子磁性的模型化理解

實際上，物質的磁性本身是一種量子力學效應，但可以有經典意義的“模型化”理解.比如，量子力學中雖然沒有軌道概念，但卻有表征自由度的角動量，也就有了對應經典概念的固有磁矩，也就有了式（1）中的第二項，從而就有了順磁性；有磁矩，在磁場中就應該有拉莫爾進動，進動誘導出的磁矩對能級的影響在哪兒呢？考察式（1）的第三項對應的式（9），其中的是電子分布位置自由度的平方平均值，對應了經典概念的電子軌道半徑的平方，沒有磁場時也應該存在，但不會有磁矩，一旦加了外磁場，由于拉莫爾進動的存在，誘導出了磁矩（電流乘以面積元）μind，該磁矩引起的能級變化就是式（1）的第三項，即式（9），且可以寫成

即原子系統的誘導磁矩總是與外磁場方向相反，即為抗磁性，這與量子力學計算是一致的.由上可見，量子力學對順磁和抗磁的“模型化”描述都是從磁矩在磁場中的附加能出發研究磁化問題，方法是自洽的.

可是目前國內大學物理層面上的許多教材，對此的描述卻難以自圓其說，甚至與經典物理中的基本概念沖突.

3 大學物理教材上有關順磁性和抗磁性描述的不恰當之處

3.1 順磁性與抗磁性描述的不自洽之處[1-3]

文獻[1]、[2]、[3]，甚至國內大學物理所有教材，對順磁性的解釋一律表述為：在外磁場作用下，原子（或分子）固有磁矩所受到的力矩使分子的固有磁矩方向轉向（傾倒）與外磁場方向一致.…….而對抗磁性的解釋，文獻[2]、[3]，或大多數教材，以電子軌道磁矩的旋進來解釋原子（或分子）抗磁的產生.這就出現了同樣是磁矩，一個是“倒向”，一個是“旋進”的不自洽說法.

3.2 抗磁性的3種經典描述不統一和存在問的題

抗磁性在國內大學物理教材上通常有3種機理的解釋.

（1）電子軌道的旋進機理[2，3]

拉莫爾進動誘導出的磁矩解釋法.這就是上述量子力學計算中的模型化，這種解釋是與量子力學的認識相容的.

（2）電子軌道的洛倫茲力機理[1，4]

（3）電子軌道的磁感應機理[2]

文獻[2]P330還給出一種感應環流效應解釋抗磁性，認為施加磁場的瞬間會感應出環流電場，從而推動電子運動形成環流磁矩.這種解釋似乎還能闡明洛倫茲力機理中的電子加速問題.但是，環流電場會因磁場的穩定而消失，環流在沒有持續推動力作用下會隨著熱平衡的建立消耗在電阻之上，從而穩定的抗磁性不復存在.

顯然，第一種機理描述是最恰當的.

4 回避問題的建議

因大學物理的局限性，不可能也沒必要在大學物理層面上對順磁性和抗磁性做量子力學的陳述，但又不能出現明顯的不自洽描述.

正如上述量子力學陳述，順磁性不能理解成在磁力矩作用下的“傾倒”，它只是因外磁場的出現使原子有了附加能量式（6），不同角動量的附加能不同，由于熱平衡的作用，原子傾向于按玻爾茲曼分布，取能量最低分布最多的狀態，這等價于原子固有磁矩取與外磁場方向一致的狀態最多，就形成了順磁性.因此，在大學物理層面上解釋順磁性，我們建議按文獻[6]P800的說法：……，（當順磁物質）置于外磁場中，磁偶極矩傾向于沿磁場方向排列，…….這種說法既避免了磁力矩作用下的“傾倒”機理，又與量子概念保持了實質上的一致.從而避免了與抗磁“旋進”解釋的明顯不自洽性之處.

5 幾點說明

（1）為什么本文只對原子，而不是分子進行分析？

首先，分子只是多個原子的組合；其次，分子磁矩與多電子原子的磁矩區別在于，前者多出核-核之間的角動量磁矩，但該磁矩很小，一般忽略，因此，分子與多電子原子的磁矩基本等效.

（2）-μa·H的二級微擾項為何不考慮？

在處理微擾能級分裂時，式（1）中的第二項-μa·H的二級微擾項的數量級實際上比式（1）的第三項的一級微擾項要大，但由于它比該項的一級微擾大約小3個數量級，且可以證明[5]這個二級微擾項在基態原子態中對磁矩的貢獻是順磁的，因此在計算順磁作用時，不影響對第二項的一級微擾的磁性判斷，卻少了許多計算上的麻煩.同時，這一項在原子滿殼（J＝L＝S）時也為零，所以不影響第三項的抗磁判斷.

（3）順磁質中順磁性和抗磁性都有

量子力學中算順磁率時，雖然只考慮了式（4）的第一項，但實際上第二項（抗磁效應）是參與到原子內能變化中的，按理說是應該加入到通過式（3）計算的自由能中去，從而計算出磁化率的，但因為該項比第一項小很多，不會影響計算出的順磁結果.

（4）小磁針為什么在磁場中順著磁場方向“傾倒”？

本文實際上是在談磁化的機理，物質在被磁化以前，組成物質的原子或分子，無論固有磁矩是否為零，都像一個高速旋轉著的陀螺.一旦物質被磁化，所有磁化機理過程都結束，物質就像一個靜止的陀螺，所以小磁針只會沿著磁場方向傾倒（如果此時再說小磁針要旋進，那就相當于二次磁化了）.

6 結語

順磁性的“傾倒”概念在教材中、老師頭腦中可能已經根深蒂固了.大學物理雖然需要模型化、形象化和簡易化，但不能喪失科學化，原子或分子在具有角動量情況下擁有的磁矩，絕不可能向著磁場方向傾倒，這是基本的力學常識.順磁是統計分布的結果，不是力學結果，這個結論應該在大學物理教材中得到確認.

審稿意見摘錄：

本文中所用的方程以及對物質產生順磁性和抗磁性的物理機理的分析是正確的.文章對大學物理如何講述相關問題提出了有益的建議.因此，審稿人建議發表此文.

文章中有一些對流行的大學物理教材某些段落的評判，審稿人認為：這些只是不同的說法，并非物理內容的“正”、“誤”之爭.作者可以這樣寫，但若讀者提出不同的意見也是正常的.

[1]馬文蔚.物理學[M].5版.北京：高等教育出版社，2006：277-278.

[2]張三慧.大學物理學 第三冊[M].電磁學2版.北京：清華大學出版社，1999：290-292.

[3]陸果.基礎物理學 上卷[M].北京：高等教育出版社1997：351-352.

[4]胡友秋.電磁學[M].北京：高等教育出版社，1994：249.

[5]朗道.量子力學 下冊[M].北京：高等教育出版社，1981：201.

[6]哈立德.物理學基礎（原書第6版）[M].張三慧，等，譯.北京：機械工業出版社，2005.

[7]黃昆.固體物理學[M].北京：高等教育出版社，1988.

[8]Ashcraft N W，Mermin M D.Solid state physics[M].New York：Holt，Rinehart and Winslon.1976.