空氣阻力是滾擺能量損失的主要原因嗎？

楊 景 侯吉旋

（1南京外國語學校，江蘇 南京 210008；2東南大學 物理系，江蘇 南京 211189）

物理學家一般習慣于將物理問題理想化之后再來處理，在基礎(chǔ)物理課程之中尤為如此.然而，這樣做會使得部分學生產(chǎn)生一種觀點，就是物理課程與真實世界無關(guān)或者脫節(jié).進一步的研究發(fā)現(xiàn)把真實情況和理想化后的情況同時介紹給學生會激發(fā)學生思考得更加全面[1].因此在課堂上多花一點時間來討論如何改進物理模型是非常有益的.

圖1 麥克斯韋滾擺示意圖

在物理教學課堂中，麥克斯韋滾擺（見圖1）經(jīng)常被用來演示能量守恒[2].一般認為該系統(tǒng)的重力勢能和動能來回轉(zhuǎn)化并且總的機械能保持不變.但實際情況是滾擺每次都不能回到原來的高度，這是由于存在能量損失的緣故.我們相信合格的指導教師被問到此問題時并不會簡單地將能量損失歸因于空氣阻力.除了空氣阻力，在這個系統(tǒng)中確實存在多種能量損失的因素.讓學生來找出各種能量損失的途徑絕對不是一個平凡的練習，這樣的練習可以讓學生學習觀察并且像物理學家一樣思考.這也需要學生把有關(guān)于這個問題的各種因素（例如空氣阻力、繩子的可伸縮性等）綜合起來考慮，讓學生整合各種知識點也是物理教育的一個重要目標.對于更高要求的基礎(chǔ)物理課程，如果給學生一些相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)，學生應(yīng)該可以做一些理論推演來估算各種效應(yīng)的大小.

本文第1節(jié)將對無能量損失的麥克斯韋滾擺進行分析，然后在第2節(jié)考慮各種能量損失因素對該系統(tǒng)的影響.在第3節(jié)中，我們將用實驗數(shù)據(jù)來分析哪一種能量損失因素占主導因素.結(jié)論和討論將在最后一節(jié)中呈現(xiàn).

1 無耗散的麥克斯韋滾擺系統(tǒng)

1.1 上升和下降

對于質(zhì)量為m，中軸半徑為r的滾擺，在上升或下降的過程中受力情況如圖2所示.滾擺的運動滿足方程

其中，J為滾擺繞中心軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；T為繩子的張力；a為滾擺的加速度；α為滾擺的角加速度.求解方程（1）得到

圖2 滾擺在上升和下降過程中的受力分析圖

對于一般滾擺來說，J?mr2，因此繩子的拉力略微小于滾擺受到的重力.

1.2 最低點附近的運動

當繩子完全展開，繩子與滾擺的連接點O點將發(fā)生偏移，滾擺的運動將變得十分復(fù)雜.這里我們假定O點不動，因此在滾擺往復(fù)運動中運動軌跡是確定的，軌道是閉合的，如圖3所示.當然這個假定并不符合實際，我們將在下一節(jié)對此進行更進一步的討論.由于O點不動，滾擺的質(zhì)心將作圓周運動，運動軌跡見圖3（b）.如果滾擺開始滾動時質(zhì)心的位置到O點的距離是h，根據(jù)式（2）可以求出當質(zhì)心達到圖3中A點時的速度為

圖3 最低點附近質(zhì)心的運動軌跡

當質(zhì)心達到最低點B點時，質(zhì)心的速度vCB略大于vCA，不過由于h?r，我們可以近似認為vCB≈vCA.因此當滾擺質(zhì)心運動到最低點時，繩子張力T′的大小為

因此當滾擺質(zhì)心運動到底部時，繩子張力變化量為

2 各種能量損耗

由于能量損耗的具體物理過程非常復(fù)雜，因此要完全定量地計算也非常復(fù)雜，我們在這里僅做半定量的討論.

2.1 空氣阻力

空氣阻力的大小fg和物體相對于空氣的運動速度v和形狀有關(guān).對于雷諾數(shù)很小的情形空氣阻力的大小正比于速度的大小，一般實驗用的單擺做小角度擺動時就屬于這種情況，

2.2 繩子的可伸縮性

文獻[3]認為滾擺運動到最低點時，繩子張力迅速增大，由于實驗中繩子不是完全剛性的，所以會帶來額外的能量損失.假設(shè)繩子伸長正比于張力大小的變化量，根據(jù)式（5）有

由于繩子伸長并且將機械能轉(zhuǎn)化成繩子的內(nèi)能，則滾擺往復(fù)運動一次所損失的能量為

2.3 軌道不閉合

上一節(jié)中我們分析滾擺在最低點附近運動時，假設(shè)了繩子與滾擺的連接點O點不動.這個假設(shè)并不合理，因為O點會發(fā)生移動，如圖4中（a）、（b）、（c）所示.從圖4中我們可以看到，在A點時質(zhì)心的速度是豎直方向的，在C點時質(zhì)心的速度的方向變?yōu)樗剑捎谪Q直的繩子無法提供水平方向的力，滾擺的軌道無法閉合，這樣質(zhì)心水平方向上平動的動能將傳遞到整個系統(tǒng)的繞懸掛點擺動自由度上（見圖4（d））.因此，我們在做滾擺實驗時，無論多么小心地進行操作，滾擺總是不可避免地繞著懸掛點擺動起來.

滾擺每次傳遞到其他自由度的能量可近似看成質(zhì)心在最低點時的平動動能.根據(jù)公式（3），我們得到

圖4 滾擺在最低點時的運動示意圖

在這個過程中總的機械能并沒有損失，而能量只是從一個自由度傳遞到了另一個自由度，于是滾擺就無法上升到原有高度.

綜合上面各種因素，滾擺上下往復(fù)運動一次所損失的能量為ΔEtot＝ΔE1＋ΔE2＋ΔE3，因此根據(jù)式（7）、（9）、（10）最大高度的減小量可以寫為

其中c1，c2，c3為非負常數(shù).c2僅與空氣阻力有關(guān)，c3僅與繩子伸縮性有關(guān)，c1則包含了繩子伸縮性和軌道不閉合兩部分因素.

3 實驗

我們選用3個用于課堂演示的麥克斯韋滾擺來進行實驗.滾擺的質(zhì)量和中軸的直徑都可以直接測量.滾擺的轉(zhuǎn)動慣量則只能通過間接方式測量得到.將滾擺從靜止釋放，測量滾擺向下運動20cm的距離所用的時間，就可以根據(jù)式（2）來算出轉(zhuǎn)動慣量.3個滾擺的基本參數(shù)列在表1中.式（2）是在理想情況下推導出來的，但由此引起的誤差不足以改變本文定性結(jié)果.

實驗過程如下：將滾擺向上繞使質(zhì)心升高一段距離（10cm和5cm），然后由靜止開始釋放，并記錄之后滾擺質(zhì)心每次上升的最大高度.我們的每個數(shù)據(jù)都是根據(jù)8次獨立測量的平均值得到的，實驗數(shù)據(jù)如圖5所示.

表1 3個滾擺的基本參數(shù)

圖5顯示滾擺每次上升的最大高度隨上升次數(shù)單調(diào)減小，但是并不能提供更多的關(guān)于能量損失的信息.為了分析哪種能量耗散占主導地位，我們按照式（11）處理我們的數(shù)據(jù)，結(jié)果顯示在圖6中.其中式（11）中的Δh（n）我們用差分[h（n＋1）-h（n-1）]／2來表示.

圖6顯示Δh（n）與h（n）幾乎是線性關(guān)系，說明在誤差范圍內(nèi)式（11）中c2與c3約等于零.按照式（11），非線性部分c2是由空氣阻力給出的，如果空氣阻力是能量損失的主要原因，那么圖6將呈現(xiàn)明顯的非線性.由圖6顯示的線性關(guān)系，可以判斷在測量誤差范圍內(nèi)空氣阻力造成的能量損失在滾擺豎直方向上振蕩的能量損耗中必然只占極小部分.

圖5 滾擺每次上升的最大高度

圖6 滾擺損失的高度與最大高度之間的關(guān)系

4 結(jié)果和討論

我們首先分析了理想的麥克斯韋滾擺的物理過程，然后半定量地分析了麥克斯韋滾擺系統(tǒng)中各種能量損失的物理原因，包括（1）空氣阻力、（2）繩子的可伸縮性和（3）軌道不閉合.通過測量麥克斯韋滾擺每次上升高度的變化，可以推斷出空氣阻力不是能量損失的主要原因.根據(jù)我們的實驗數(shù)據(jù)，還無法推斷繩子的可伸縮性和軌道不閉合哪一個是滾擺豎直方向上振蕩的能量損耗的主要原因.

本文潛在的教學價值在于教育學生如何從有限的數(shù)據(jù)中挖掘出需要的信息.例如在研究空氣阻力對麥克斯韋滾擺的影響時，當然可以將滾擺置于真空與非真空條件下做對比性實驗，從而判斷是非.然而在沒有大型的真空裝置的條件下，此法難以實現(xiàn).本文卻給出了現(xiàn)實可行的方法.

[1]Veronica C M，Butler P H，Undergraduate students’under-standing of falling bodies in idealized and real-world situations[J].Journal of Research in Science Teaching，2004，41（6）：569-583.

[2]Naimi E K，The Maxwell pendulum [J].Soviet Physics Journal，1979，22（11）：1225-1227.

[3]周雨青，劉甦，機械能守恒演示中一個值得商榷的案例“悠悠球”系統(tǒng)能量損失分析[J].大學物理，2011，30（8）：18-21，2011.