巧用“旋轉”解幾何問題

郭粉霞

【摘 要】“旋轉”作為圖形的三大運動之一，在初中數學第十一章圖形的運動中和平移、對稱兩種運動一起出現，學生在學那個章節包括老師在教那個章節時可能側重點在如何按照要求畫出相應的圖形上，或許會忽略對于三種運動的性質及其特點的學習或教學，所以會造成學生在后期學習過程中，尤其是在幾何證明時不太會巧用圖形運動的性質及特點，特別是“旋轉”運動的性質及特點來巧解相應的幾何問題。我發現，利用“旋轉”運動，能夠把條件集中化，使圖形中的各種關系明朗化，達到促進思維方法和解題能力的提高的目的。我總結了一下這類題目，發現這些題目和圖形的“旋轉”運動有些關聯，所以我對圖形的求解進行了一些研究。下面我主要通過幾道例題的求解，對兩類問題“角的求解和邊的求解”進行討論，這僅是我的心得體會，供大家參考。

【關鍵詞】“旋轉”運動；性質及特點；巧解；幾何問題

一、巧用“旋轉”的性質求角

根據旋轉的性質，我們知道對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度相等，對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變，在性質中“對應線段的長度相等，對應角的大小相等”，我們可以利用這個性質將要求的角轉換成求旋轉圖形的對應角，然而圖形在“旋轉”運動中，往往會產生特殊的圖形，我們再通過這些特殊的圖形來求對應角，進而求未知角，這樣問題就迎刃而解了。通過“旋轉”運動，可以將毫無思路的問題明朗化，有助于他們找到準確的解題思路或方向，達到事半功倍的作用。

我們一起來看這樣的一個例子：

如圖1，P為正方形ABCD內一點，且PA=1，PB=2，PC=3.求∠APB的度數。

分析：我們分析題目，發現題目所給的條件是邊長，而所要求的是角度，顯然，只有將這些邊長組合成特殊三角形（直角三角形或等腰三角形），通過特殊三角形的已知角來求未知角。要想構造特殊三角形，我們知道，通過“旋轉”運動可以得到，從而化未知角為已知角來解決問題。又因為所給的圖形是正方形，我們發現，正方形的邊長是相等的，旋轉時有一條對應邊正好與正方形的另一邊重合，形成了對應的圖形△CMB，從而可將求∠APB轉化成求對應角∠CMB。且在“旋轉”運動的過程中，構成了兩個特殊的三角形，即等腰直角△PBM、直角△PMC，正好∠CMB由∠BMP和∠PMC組成，把∠BMP和∠PMC放在△PBM和△PMC中看問題，我們的問題就可以巧妙的解決啦！具體解答過程如下：

解法一：因為四邊形ABCD為正方形，所以BA=BC，將△APB繞點B順時針方向旋轉90°，則點A與點C重合，設點P落到的位置為點M，得到△CMB，連接PM，由旋轉可知：

圖1

△APB≌△CMB.

∴∠3=∠1，∠CMB=∠APB.

MC=PA=1，MB=PB=2.

∵四邊形ABCD為正方形.

∴∠1+∠2=∠ABC=90°.

∴∠3+∠2=90°.

即△PMB為等腰直角三角形.

∴PM=，PB=2，∠BMP=45°

又在△PMC中，+=+12=8+1=9，=32=9.

∴+=，

∴∠PMC=90°.

∴∠CMB=∠PMC+∠BMP

=90°+45°=135°.

∴∠APB=135°.

答：∠APB的度數是135°。

解法二：同理，如圖2，我們將△PBC繞點B逆時針方向旋轉90°，則點C與點A重合，設點P落到的位置為點M，得到△AMB，連接PM，由旋轉可知：△BPC≌△BMA.此旋轉方法也可以解決同樣的問題。

圖2

二、巧用“旋轉”的性質求邊

（1）拓展探究：以上例題還可以進一步拓展，我們將條件和結論互換可以得到下面兩道題，將問題轉化成求邊的問題。問題如下：

問題一：如圖3，已知P為正方形ABCD內一點，PA=1，PB=2. 且∠APB=135°，求PC的長。

問題二：如圖3，已知P為正方形ABCD內一點，PB=2，PC=3. 且∠APB=135°，求PA的長。

圖3

分析：這兩道題的條件和結論之間同樣沒有明顯的內在聯系，讀完題目后，不知從哪里入手來解這樣的題。但是，如果我們記著第一題的解題方法，即巧用旋轉，將所給的條件往一起湊，湊成等腰直角三角形和直角三角形，這樣問題就迎刃而解了。（具體的解題方法是：將第二題的解題過程逆過來即可求得PC的長為3，PB的長為1。）

（2）改變條件。如果把條件稍微做些改變，對有些圖形仍然可以得到類似的結論。比如將正方形改成等邊三角形，運用同樣的方法——巧用“旋轉”運動，也可以解決問題。

請看下題：如圖4，已知P是等邊三角形ABC內一點，PA=2，PB=，PC=4

求△ABC的邊長

圖4 圖5 圖6

分析：這題咋看似乎沒有任何方向，但我們會發現2、、4是一組勾股數，如果能構造一個以PA、PB、PC的長度為三邊的直角三角形，那問題就可以得到解決了，這可能就是解決問題的突破口。顯然，如果我們想要出現相等的線段，構造出特殊的三角形，我們可以嘗試上述解題方法——巧用“旋轉”運動來解決問題。題目中已經有了等邊三角形，利用“旋轉”把或者繞著C點或B點順時針或逆時針旋轉60°，即可以得到邊重合，對應線段相等，同時還有一個新的等邊三角形出現，我們所希望得到的以PA、PB、PC的長度為三邊的直角三角形也隨之出現，如圖5、圖6所示，由此可見這種方法是多么的實用。

三、總結

其實這類題在構成上或是在解題思路上都是巧用了“旋轉”運動的性質及其特點，把未知的條件轉化成已知的特殊圖形，使條件集中化，這樣圖形中的各種關系就清晰可見了，這種方法往往會成為解題的突破口。通過“旋轉”運動的性質及其特點來幫助解題，不僅可以巧解學生眼中的難題，還可以促進思維方法和解題能力的提高，達到良好的效果。

“旋轉”的性質在幾何證明中不僅僅只有這些，它在其他方面也有比較廣泛的運用，本文只是結合教學過程中出現的一些問題，總結了一下自己的經驗與心得體會，目的更多的是提醒自己今后在教學中，不要僅僅把目光放在如何應付眼前的考試，只是教會學生如何畫圖是不夠的，還應該啟發學生們如何運用“旋轉”運動的知識來巧解幾何問題，熟練掌握圖形運動的性質和特點，發散學生的思維，提高他們思考問題的能力，培養他們對數學的興趣，為今后的學習做準備。

以上就是我對于“旋轉”在幾何問題中的作用的一些淺顯心得，望其他老師能加以指正。

參考文獻：

[1]烏依勤.《淺淡“旋轉”在幾何證明中的一些應用》.西南模范中學.