高等數學中不等式證明的幾種方法

呂淑君

【摘 要】不等式是高等數學教學內容的重要組成部分，是高等數學中經常遇到而解決起來又比較困難的問題之一。本文通過高等數學的一些原理和方法，給出了不等式證明的幾種比較常用的方法。

【關鍵詞】不等式，證明方法

一、利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理：若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則在區間（a，b）內至少存在一點ξ，使得f（b）-f（a）=f（ξ）（b-a ）。

例1.證明：x>0時，有x>ln（x+1）

證明：設f（x）=ln（x+1） ，顯然函數f（x） 在區間[0，x] 上滿足拉格朗日中值定理的條件，

根據定理的條件有：

f（x）-f（0）=f（ξ）（x-0 ），

其中0<ξ

由于f（0）=0，f（x）=，

則上式即為f（x）=，

又因為0<ξ

所以就有<ln（x+1）。

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，關鍵是根據所給不等式，選取或構造適當的輔助函數f（x）和區間（a，b），通過ξ的范圍，根據導函數f（x）確定f（ξ）和分式的范圍，從而得證。

二、利用函數的單調性證明不等式

函數單調性的判定定理：設函數y=f（x）在區間[a，b]上連續，在（a，b）內可導，那么：（1）如果f?（x）>0，則f（x）在區間[a，b]上單調增加；（2）f?（x）<0，則f（x）在區間[a，b]上單調減少。

例2.證明：x>0時，1+>

證明：令f（x）=，則f?（x）==，因為f（x）在[0，+∞）上連續，在（0，+∞）內f?（x）>0，因此f（x）在[0，+∞）上單調增加。從而當x>0時，f（x）>f（0）。由于f（0）=0，故f（x）>f（0）=0。即>0，亦即1+>。

注：運用函數的單調性證明不等式，關鍵在于合理地利用題設條件，構造出相應的輔助函數f（x），將原問題等價代換，根據導數f?（x）的符號判定函數f（x）在所給區間上的單調性，從而導出所證不等式。

三、利用函數的凹凸性證明不等式

函數凹凸性的定義：設f（x）在[a，b]上連續，若對[a，b]中任意兩點x1，x2，恒有f（（x1+x2）/2）≥f（x1）+f（x2）/2，則稱f（x）在[a，b]上是凸函數；若恒有f（（x1+x2）/2）≤f（x1）+f（x2）/2，則稱f（x）在[a，b]上是凹函數。

函數凹凸性的判定定理：設f（x）在[a，b]上連續，在區間（a，b）內有二階導數，（1）如果在區間（a，b）內，（x）>0，那么曲線y=f（x）在[a，b]內是凹的；（2）如果在區間（a，b）內，（x）<0，那么曲線y=f（x）在[a，b]內是凸的。

例3.證明：a>0，b>0且a≠b，n>1時，<

證明：令f（x）=xn，x?（0，+∞），則f?（x）=nxn-1，=n（n-1）xn-2，當n>1時，對任意的x?（0，+∞），都有>0。根據函數凹凸性判定定理，f（x）在（0，+∞）內是凹的；由函數凹凸性定義，對任意的x，y?（0，+∞），且x≠y，有<，即。

注： 利用函數的凹凸性證明不等式，首要問題是找到輔助函數f（x），然后判定函數f（x）在指定區間上的凹凸性，最后根據凹凸性定義，導出所要證明的不等式。

四、小 結

用高等數學的相關知識來證明不等式的方法比較多，除上述為大家介紹的幾種方法之外，還有用積分中值定理、函數的極值等有關知識，以及積分不等式、柯西施瓦茨不等式等已經知道的重要不等式來證明不等式的方法。總而言之，因為不等式的題型特殊，證明方法靈活多變，想要真正掌握不等式的證明，不但要有廣泛的數學知識和一定的方法技巧，而且要在學習實踐過程中多練習，多思考，多歸納。

參考文獻：

[1]《數學分析》.第二版.華東師范大學數學系編.高等教育出版社，1997.4.

[2]《高等數學》.第五版.同濟大學應用數學系編.高等教育出版社，2002.2.

[3]《數學分析》. 第二版.復旦大學數學系編.高等教育出版社，1983.7.