稀疏條件下基于散射點估計的SAR切片超分辨重建

1 引言

SAR通過距離向發射寬帶信號，方位向增加相干積累獲得高的2維分辨率成像，在資源勘探，軍事目標識別等方面有著重要的應用。受到硬件成本，技術等方面的限制，通過“軟方法”獲得超分辨圖像引起了學者們的廣泛關注。

目前，雷達圖像的超分辨方法主要沿用光學圖像超分辨方法，大致上分為3類：插值法，重建法和學習方法。插值法一般不需要引入先驗信息，使用線性或者非線性的方法對相鄰像素進行插值，但是簡單的插值往往會導致圖像過于平滑或者產生振鈴效應與偽邊緣。重建法引入先驗信息，模擬圖像降質的逆過程，從低分辨圖像中恢復高分辨圖像，其中最具代表性的是正則化方法與貝葉斯框架下的最大后驗概率法，二者本質上是等價的。Sun等人[1]探索圖像局部梯度先驗信息，并將其應用到圖像的超分辨重建上，Villena等人[2]在貝葉斯框架下使用1范數正則化方法對圖像進行超分辨重建，先驗信息的引入使得重建法能夠恢復更加豐富的高頻信息，得到更好的視覺效果，但是當放大倍率超過4時，容易產生類似于水彩畫的偽邊緣[3]。文獻[4]最早提出了基于樣本學習的超分辨重建方法，其主要思想是利用圖像塊之間的相似性，從低分辨圖像塊中估計對應的高分辨圖像塊樣本，然后重構高分辨率圖像。相比插值法和重建法，學習法能夠獲得更多的細節信息，當放大倍率超過4時仍能獲得較高的圖像質量，但是學習法對訓練樣本的要求高，且抗噪聲能力較弱。

在壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論的啟發下，基于稀疏表示的超分辨方法受到了人們的廣泛關注[5- 8]?；谙∈璞硎镜某直嬷亟ǚɡ脠D像在特定域下的稀疏表示作為先驗信息，對圖像進行超分辨重建，該方法可以理解為加入稀疏先驗的正則化重建方法。Yang等人[9,10]對基于稀疏表示的超分辨學習法進行了較深入的研究，基于稀疏表示的超分辨方法的核心問題在于尋找具有廣泛稀疏表示的域(超完備字典)，許多學者在超完備字典構造方面進行了研究[9,11,12]，除此之外，學習法還需要高質量的學習樣本(雖然學習法能夠獲得豐富的細節信息)。

受到多方面因素的影響，SAR切片的高分辨率樣本嚴重缺乏，小訓練樣本使得基于學習的超分辨方法不能體現其優勢，因此本文主要研究重建法獲得高分辨率SAR切片相關問題。Cetin等人[13]對SAR切片的分辨率增強問題進行了較為深入的研究，其本質還是使用稀疏先驗與平滑先驗正則化方法對點目標或區域目標進行增強。然而，當分辨率變化時，目標散射參數可能會發生變化，并且研究表明[14]，由于SAR成像系統參數未經相關優化，基于稀疏先驗的l1正則化不能夠獲得足夠稀疏的解，分辨率提高不明顯。本文在稀疏表示框架下，基于散射中心理論[15]與SAR成像模型，通過散射點參數估計，重建超分辨圖像，并對算法的性能進行分析。

2 基于稀疏表示與散射中心理論的超分辨重建

2.1 SAR成像模型

SAR發射線性調頻脈沖信號，點目標回波經距離-多普勒，線頻調變標，頻率變標[16]等成像算法處理后，得到回波信號sr可表示為距離向和方位向的兩個sinc函數的乘積。若雷達照射范圍內存在Q個散射點，則經成像處理后的sr( x, y)表示為

式中，x,y分別為距離向和方位向，Tp為脈沖寬度，Δfr,Δfa分別為信號帶寬與方位多普勒帶寬，L為合成孔徑長度，Ai, xi, yi分別為第i個散射點的幅度，距離向和方位向參數。將式(1)寫成矩陣形式并考慮噪聲：

2.2 感興趣目標區(Region Of Interesting, ROI)超分辨重建

基于稀疏先驗的SAR圖像超分辨問題是尋找圖像X的最稀疏解，即求解式(3)

式(3)為無確定解析式(Non-determined Polynomial, NP)困難問題。壓縮感知理論表明[18]，D滿足等距約束(Restrictrd Isometry Property, RIP)和列不相干條件且x足夠稀疏時，式(3)的解唯一，用l1范數代替l0范數可以達到等價稀疏的解。

式(4)相當于一個加入稀疏先驗的去模糊過程。然而大部分實際情況下，SAR系統參數與采樣方式并未經過相關優化，因此D往往不具備等距約束與不相干條件[14]，式(4)代替式(3)不能夠獲得的等價的稀疏解*

X，該情況下可能存在兩種情況，一是獲得的解不夠稀疏，對噪聲抑制不充分，二是強制解*X稀疏，這樣會對有用信號產生抑制，因此重建效果并不十分理想。

ROI在SAR切片中是稀疏的，散射中心理論認為目標的散射特性可以由少數的散射中心表示，反映到圖像幅度上即少數幾個中心點的散射強度顯著大于其他背景散射強度。

結合SAR成像模型，可通過式(6)重建高分辨率圖像GK。

3 基于散射點參數估計的NP問題迭代求解算法

從數學的角度，式(6)仍為NP問題，然而K的正整數約束使這個特定的NP問題的求解變得相對簡單，下面介紹如何通過參數估計的方法完成式(6)的迭代求解。

3.1 松弛法求解非線性最小二乘估計

若散射點數目K是已知且固定的，式(6)可以轉化為K個散射點參數的NLS估計問題。則第k個散射點參數估計可表示為

Rk是關于的凸函數，對求偏導數，并令其為零，得

將式(8)代入式(7)，得

松弛法[19]可以完成K個散射點參數的估計，松弛法一次只讓一個散射元參數變化，當存在多個散射點參數需要估計時，首先固定其他散射點參數，估計單個散射點參數，然后進行松弛迭代，直至收斂。

3.2 NP問題的求解

前面介紹了散射點參數的NLS估計問題，這一小節將分析如何利用估計得到的參數完成式(6)的求解。不難證明，松弛法得到的參數為 NLS估計且截斷誤差RK為關于K的遞減序列。因此式(6)所對應的超分辨重建問題可以轉化為尋找最小的K，在滿足截斷誤差約束條件下，對K個散射點參數的NLS估計與重建。圖1給出了SAR切片ROI超分辨重建的流程圖。

圖1 ROI超分辨重建流程圖

4 算法仿真與性能分析

4.1 不同超分辨方法仿真比較

本節使用TerraSAR-X實測數據對本文所提算法進行仿真驗證，并與雙立方插值與l1正則化超分辨方法進行比較。圖2為德國TerraSAR-X在國際標準時間2007年10月9日獲取的一景直布羅陀海峽的圖像。在該圖像中，艦船ROI表現為強亮點，部分目標尾跡清晰可見。

圖2 直布羅陀海峽的TerraSAR-X圖像

人工截取艦船切片并進行1倍雙立方插值，將動態范圍歸一化并進行局部放大，得到切片S1, S2(128×128像素)。圖3，圖4給出了雙立方插值，l1正則化及本文方法所獲得的S1, S2重建圖像。正則化方法模糊算子為3 dB帶寬為2.5像素的2維sinc函數，正則化參數為0.4。本文方法

接下來以空間分辨率和目標雜波比(Target to Clutter Ratio, TCR)對SAR圖像質量進行評價?？臻g分辨率的具體估算過程為，在圖像目標區域尋找每行每列的峰值點，然后從峰值點向兩邊尋找差值大于3 dB的最近點，再通過插值運算，得到3 dB帶寬所對應的像素數目。目標雜波比對應用來衡量目標在背景雜波中的凸顯程度，以dB的形式定義：

式中，T為目標區域，C為雜波區域。表1列出了不同方法獲得的超分辨的空間分辨率與TCR指標值。

圖3 S1超分辨重建及局部放大

圖4 S2超分辨重建及局部放大

表1 不同超分辨重建方法的指標值

分析表1中空間分辨率數據，l1正則化方法能夠提升SAR圖像的空間分辨率，需要有模糊函數與稀疏條件作為先驗信息。本文算法對SAR圖像的空間分辨率提升較大，類似于l1正則化方法，本文算法需要以SAR成像模型與稀疏條件作為先驗，本質上二者條件是等價的。從數據上看，本文算法相比雙立方插值和l1正則化方法能夠獲得更高的空間分辨率，這是通過散射點參數估計實現的，并且所用sinc函數的3 dB帶寬越小，重建圖像的空間分辨率越高。然而，空間分辨率似乎比散射點估計時所用的3 dB帶寬更大一些，仔細研究原因有二：其一，旁瓣抑制導致了主瓣的展寬；其二，圖像中部分sinc函數主瓣或旁瓣交疊，導致空間分辨率降低。表1中的TCR數據反映了對不同超分辨算法對噪聲的抑制能力，稀疏約束使得l1正則化與本文方法都能夠獲得相當高的TCR值。然而正如第2節中描述的，l1正則化方法未能充分抑制較強的尾跡雜波部分，即重建圖像不足夠稀疏，相比之下，本文算法對尾跡雜波抑制較為充分；而雙立方插值未引入先驗信息，導致其對雜波的抑制能力不強。

4.2 估計精度分析

從4.1節分析看，除了運算量之外，似乎是3 dB帶寬越小越好，實際上一定如此么？本節從理論與仿真角度分析算法對噪聲的穩健性，并且闡述3 dB帶寬不能取得太小的原因。

考慮噪聲對算法性能的影響，需要分析噪聲對散射點位置與幅度估計的影響。散射點位置估計式(9)的非線性使得性能分析變得困難，將式(9)右端在處近似展開。

現分析噪聲對散射點幅度估計的影響。式(8)重寫為與前面分析類似，由李雅普諾夫中心極限定理，幅度估計的噪聲同樣服從高斯分布。

若圖像噪聲Wk是零均值的，對于任意一幅確定的圖像，總是成立的。因此以下著重對式(12)和式(14)的方差進行分析。重寫式(12)中的方差分式，并視為δx′, δy′的函數：

式(12)，式(14)，式(16)和式(17)相關結果顯示，散射點位置參數估計時，目標函數同時受到圖像噪聲與重建3 dB帶寬的影響，圖像噪聲增強與3 dB帶寬的減小均會導致目標函數中噪聲方差的增大；散射點幅度估計同時受到圖像噪聲與重建3 dB帶寬的影響，圖像噪聲增強與3 dB帶寬的減小均會導致幅度估計方差的增大。

I1為128×128像素，sinc函數中心在(65,65)，3 dB帶寬為10像素，幅值為1的仿真圖像。對I1加入信噪比為s的高斯白噪聲，使用本文算法進行超分辨重建(200次蒙特卡洛實驗)。記位置估計偏差為Δx1,Δy1，幅度估計偏差為ΔU1。圖5，圖6，繪制了不同信噪比下，估計誤差的均值與方差隨重建3 dB帶寬的變化曲線。

圖5 不同信噪比下估計誤差均值隨3 dB帶寬變化曲線

圖6 不同信噪比下估計誤差方差隨3 dB帶寬變化曲線

仔細分析圖5，圖6的仿真結果，不難發現，當重建3 dB帶寬較小時，散射點參數估計的精度受信噪比影響較大，在小信噪比條件下，估計量相比無噪聲情況會有較大偏差，這是因為，當3 dB帶寬較小時，李雅普諾夫條件一般不滿足，并且近似線性展開也存在一定的偏差。隨著重建3 dB帶寬的增大，散射點各參數估計接近無偏，并且信噪比的影響有逐漸減小，估計越來越穩健。因此，在高信噪比條件下，可以選擇3 dB帶寬更小的sinc函數以獲得更高的輻射分辨率，而在低信噪比條件下，重建3 dB帶寬不宜取得太小，以保證重建精度，即因為噪聲的存在，重建3 dB帶寬并不是越小越好，應該在重建精度和輻射分辨率之間有所權衡，一般來說可以首先估計原始圖像的sinc函數3 dB帶寬，然后將δx,δy設置為原3 dB帶寬的1/4到1/3之間。

5 結束語

針對SAR切片ROI的超分辨問題，在稀疏框架下，提出了基于SAR成像模型與散射中心理論的超分辨重建方法。傳統的雷達圖像超分辨方法大部分沿用光學圖像超分辨方法，本文方法從SAR成像模型出發，通過估計散射點參數，對SAR圖像ROI進行超分辨重建，獲得了更高的空間分辨率。該方法體現了雷達圖像的自身的特征，特別適合雷達圖像中的稀疏目標超分辨處理。分析了信噪比和重建3 dB帶寬對參數估計精度的影響，得出了重建3 dB帶寬的選擇應該充分考慮重建精度與輻射分辨率的結論，給出了較為合適的重建帶寬選取范圍，具有一定的實際指導性。

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曲長文：男，1963年生，教授，博士生導師，主要研究方向為SAR系統技術、SAR信號處理、無源定位跟蹤技術.

徐舟：男，1990年生，碩士生，研究方向為SAR圖像解譯、SAR超分辨技術.

陳天樂：男，1990年生，助理工程師，主要研究方向為新體制雷達對抗技術.

Super-resolution Reconstruction of SAR Section Based on Scattering Center Estimation and Sparse Constraint

Qu Chang-wen①Xu Zhou①Chen Tian-le②①(Department of Electronic and Information Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai 264001, China)
②(The Navy Representative Office of Nanjing 924 Factory, Nanjing 211100, China)

From the SAR imaging model, combining the scattering center theory, this paper estimates scattering centers of high resolution image from the low resolution image under the conditions of sparse. The Region Of Interesting (ROI) can be reconstructed by several sinc functions and the super resolution section is obtained after side lobe suppression. Based on the Nonlinear Least Squares (NLS) estimation, an iterative algorithm is employed to solve the super resolution reconstruction problem and the simulations are based on TerraSAR-X measurement data. Simulation results show that the proposed method is able to get higher spatial resolution and Target to Clutter Ratio (TCR) values as compared with bicubic interpolation and 1 norm regularization method. The analysis results show that the accuracy of the algorithm is affected by both the Signal to Noise Ratio (SNR) and the rebuilding 3 dB bandwidth of sinc function, the higher 3 dB bandwidth tends to be more robust to noise.

SAR; Super resolution reconstruction; Sparse representation; Nonlinear Least Squares (NLS) estimation; Robust

TP751.1

1009-5896(2015)01-0071-07

10.11999/JEIT140121

2014-01-20收到，2014-06-09改回

國家自然科學基金(61102166)資助課題

*通信作者：徐舟 zhouzhou900521@126.com