談學生數感和符號意識的培養

楊紅芬

有些人能很敏銳地從問題情境中發現，并抽象出數學問題，然后利用符號組建數學模型，把要解決的問題清晰簡明地表現出來，用來與人們交流和作進一步的深入研究，這就是具有良好數感和符號意識的表現. “建立數感、符號意識”是《課標（2011年版）》在“數學思考、符號意識”中的一項重要目標，落實這項目標將對學生今后的學習、生活和工作帶來深遠的影響.

要培養學生敏銳的數感和符號意識，我們可以從以下幾方面進行努力.

一、幫助學生學會發現、學會抽象

人們在現實生活中遇到的往往是紛繁的情境，甚至是困惑，很少有像課本中那樣已經抽象、概括好了的數學問題. 幫助學生學會發現、學會抽象，是問題解決的必需準備. 要幫助學生學會發現、學會抽象，首先我們要提供更多的密切聯系學生生活實際的，緊扣數學教學目標的，而且富有趣味的問題情境. 然后引導學生主動提出有意義的數學問題，并尋找問題解決的方法.

案例1 ?教師提供的問題情境：超市里某種襪子包裝分大包、小包和散裝三種. 小包每包10雙，每個大包含10個小包.定價：散裝每雙10元;小包每包80元;大包每包700元.

下面是教師引導學生發現問題，抽象并提出問題的過程實錄：

教師：如果你想買這種襪子，你會提出什么問題和發現與大家分享？

學生A：我發現若買9雙散裝的襪子，不如買1小包劃算. 后者比前者少付10元錢，襪子反而多了1雙.

學生B：我發現若買90雙襪子，買9個小包不如買1個大包劃算. 后者比前者少付20元錢，襪子卻多了10雙.

學生C：如果有人想買1087雙，怎樣買才劃算？如果想買878雙呢？能找出一般規律嗎？

學生D：選擇怎樣的購買方法比較劃算，是否視購買的數量而定？要找到一般規律需要對購買的數量進行分類討論，那么怎樣進行分類討論呢？

下面是在教師的引導下，師生共同完成了如下的分類討論：

（1） 設購買數量為個位數n，當0

（2） 設購買數量為兩位數，則購買m個小包和n雙散裝襪子所需的錢為80m+10n，當80m+10n=700時，解得m=8，n=6，也就是說當≥86時，應購1個大包;當<86，且n≥8時，應購（m+1）小包;當<86，且n<8時，應購m小包另加n雙.

有了以上的一般化結果，對任何購買數量，我們都不難找出最劃算的購買方案，例如，若要買1087雙，最劃算的購買方案為買11個大包;若要買878雙，最劃算的購買方案為買8大包加8小包.

案例2 ? ?教師提供的問題情境是：近幾年來人民幣對美元快速升值，對我國的出口貿易帶來很大的影響，是人們以及各種媒體廣泛議論的事，對此同學們有哪些感興趣的問題？圍繞這一問題情境，學生提出來的問題主要有：

（1） 人民幣升值是通過什么數量來反映的？

（2） 人民幣升值是通過匯率的變化來反映的，那么匯率的含義是什么？

（3） 如果美元對人民幣的匯率為1∶a，那么人民幣對美元的匯率應怎樣表達？它的具體含義是什么？（4） 若美元對人民幣的匯率為1∶6.16，人民幣升值1%，則升值后美元對人民幣的匯率是多少？美元貶值1%與人民幣升值1%含義一樣嗎？

（5） 某外貿公司有一單出口貨物，與外商簽約時，美元對人民幣的匯率為1∶6.16，貨物定價為12萬美元. 簽約一個月后結匯時（外貿公司把貨款兌換成人民幣）人民幣升值3‰，那么該外貿公司將損失人民幣多少元？（提出此問的學生家長是開外貿公司的）

在啟發引導學生發現和提出問題的過程中，我們要著重引導學生發掘問題情境中蘊含的數和數量關系，在把實際問題抽象成數學問題時要著重啟發學生用數、字母以及數學符號使問題數學化，一般化.這一步往往是學生在探索中比較困難的一步，案例2中的第3問也是在教師啟發幫助下才提得出來的.這一問題的提出和解決，為后面的一系列問題的解決提供基本依據. 在把美元對人民幣的匯率表示為1∶a后，即表示1美元可兌換a元人民幣（指中間價），那么人民幣對美元的匯率為1∶，表示1元人民幣可兌換美元，人民幣升值1%后，人民幣對美元的匯率變為：1∶（1+1%）=，那么美元對人民幣的匯率變為1∶. 由此顯而易見，人民幣升值1%與美元貶值1%的匯率變化是不相同的，后者對人民幣的匯率則變為1∶. 對于第5問，人民幣升值3‰后美元對人民幣的匯率從1∶6.16變為1∶，即約為1∶6.14，由此可得該外貿公司結匯時損失的人民幣約為12×（6.16-6.14）=0.24（萬元）.

對問題情境的抽象不局限于“數與代數”，還包括“圖形與幾何”，也就是需要用幾何圖形來直觀、清晰地表達問題情境，通過對幾何圖形的性質和各部分位置關系的分析，揭示蘊含其中的數量關系，建立合適的數學模式，達到問題解決的目的.

案例3 ?問題情境：要從矩形的板材中裁取一塊圓形的板，怎樣裁材料的利用率會盡可能地大？這樣的問題可以抽象成如何在矩形內作出或結合剪拼等構造出一個半徑盡可能大的圓. 環繞著這樣的問題情境，我們可以啟發、引導學生提出并探索以下這些問題：

（1） 如果這個矩形是正方形，怎樣作這個最大的圓？如果不是正方形呢？兩者在思想方法上有什么共同之處？

（2） 設矩形的一組鄰邊長分別為a，b，且a>b，能否先作出圓的兩個部分，或者將矩形適當分割后作出圓的兩個部分，而這兩部分合起來成為一個半徑盡可能大的圓？還有其他方法嗎？

（3） 怎樣比較各種作法所得的圓的大小？怎樣分析圖形中的位置關系和圖形的性質，求出各種方案中所得圓的半徑？endprint

上述這些問題由淺入深，由簡單到復雜為學生數感的培養搭起合適的階梯. 第（1）問雖簡單，但給出一系列探索的基本思路——盡可能使圓與更多邊相切. 第（2）問為學生的思考帶來飛躍，激發學生想出一些有趣的問題解決方案. 例如以下這些方案都是學生曾經提出過的.

方案1：如圖1，圓心O1，O2分別在AB，CD上，等圓☉O1與☉O2相切.

方案2：如圖2，沿對角線把矩形先分割成兩個直角三角形，然后錯位，作出圓心為O分別位于不同的兩個直角三角形中的兩個半圓.

方案3：如圖3，考慮到矩形的對稱性，不妨設0

方案4：如圖4，同樣可設0

當然方案還有許多，比如有同學先把矩形割補成邊長為的正方形，然后作這個正方形的內切圓. 不妨設a=5，b=，作法如圖5. 在探索過程中我們的宗旨是讓學生學會發現，學會抽象，學會表達，學會探索，并不一定需要找出所有的可能. 當然這樣似乎有點意猶未盡，要知道這種“意猶未盡”卻給學生后續自主設問，自主探索，留下了懸念和空間. 把情境抽象成幾何圖形就為數量關系的研究提供了方便. 從圖1、圖2、圖3、圖4得到盡可能大的圓的半徑分別是，，，.有了圖3，圖4，我們還可以對方案3、方案4作進一步的研究. 方案3、方案4并不都是可行的. 對于方案3（如圖3），作圖存在的條件是弦AB≤b，即2≤b，4bx≤b2，0

如果我們能引導學生提出上述這些作圖的存在性問題，并予以解決，那么應該說我們對學生數感的培養已經取得很大的成功. 值得注意的是，為了讓學生能夠積極主動地提出問題，教師需要改變“光老師問，學生答”的啟發式教學模式，要多鼓勵學生自主提出問題.

二、幫助學生正確理解符號、使用符號，并學會創造

數學符號是刻劃、表現問題情境中的數學內涵的有力工具. “+”、“-”這兩個符號看似簡單，其實不然. 有不少學生就是因為對這兩個符號理解不透徹、不全面，造成有理數運算的許多差錯. 教學中教師要幫助學生認識這兩個符號的雙重性，作為性質符號它們表示一個數的正、負，作為運算符號它們又表示數與數的“加”“減”. 算式11+（-4）-（-9）-（+6）表示“正11加負4減負9減正6”，在學生對“+”“-”意義的正確理解基礎上，學生才能把算式簡化成省略加號的和式子“11-4+9-6”，才能正確使用運算律簡化運算：11-4+9-6=（11+9）+（-4-6）=0.

在講三角形相似符號“∽”時，教師不僅要講清它的意義是表示兩個三角形之間的一種關系，還要掌握它與符號“△”以及三角形頂點字母一起表示兩個三角形相似時課本中的一些具體的約定，而且不同版本的課本對符號的約定也許不甚相同. 在浙教版課本中這種約定要把對應頂點寫在對應的位置上. 例如對于“已知D，E分別是AB，AC上的點，△ADE與△ABC相似”的語句在用符號“∽”表示時，就應分兩種情況：（1）如圖7，△ADE∽△ABC;（2）如圖8，△AED∽△ABC.

為了更有效地培養學生的數感和符號意識，我們不僅要幫助學生透徹地理解，正確地使用課本中已有的符號，還需要幫助學生逐步學會根據研究的需要創造符號，在符號創新中感受符號的魅力.

案例4 ? 提供的問題情境是：把一個正奇數乘以3，再加1，約去所有的偶因數，然后重復前面的結果，這樣一直反復繼續下去，經有限次反復之后，這個正奇數將變為1.這在國外叫角谷猜想，是一個至今未能證明的世界難題，我們能否通過創設符號，使表述簡化，給問題的深入研究帶來方便？

在教學中我們這樣啟發學生，“現在需要表達的是一個過程，你會創設怎樣的符號？”有的學生創設了如下的符號：他說每一次把一個正奇數乘以3，再加1，約去所有偶因數的過程定義為一個C變換，并用符號“[→][C]”表示，例如，對于正奇數3的一個C變換就可以簡單地表示成“3[→][C]5”（3×3+1，約去2）. 這樣對于17經過多次C變換變成1的過程就可以簡便地表示成“17[→][C]13[→][C]5[→][C]1”.

符號創新離不開新概念的定義，我們可以在教學中讓學生多經歷一些自定義的閱讀理解題.

案例5 ? 我們把代數式定義為x與y之間的一種運算，用符號“※”表示，即x※y=，并規定a※b※c=（a※b）※c.

（1）計算：（-1）※0= .

（2）判斷下列命題的真假：

①對于任何實數x，都有x※3﹦6;

②運算x※y使用交換律：x※y=y※x.

（3）計算：2015※2014※2013※…※4※3※2.

解答：（1）-96. （2）①真;②假（舉反例可得）. （3）原式=6※2=.

自定義的符號創新還廣泛地應用于圖形表示.

案例6 ? ?我們把長邊和短邊的比是2∶1的長方形稱為基本長方形. 用短邊互不相同的基本長方形拼出一個更大的矩形，要求：任意兩個基本長方形之間既沒有重疊部分，也沒有空隙. 記用來拼更大矩形的各個基本長方形的較短邊長為a1，a2，a3，…，an，且a1

（1） 若a2，a3都為正整數，求（1，a2，a3），并畫出拼成的矩形，把每個基本長方形的較短邊長填入所在基本長方形中.

（2） 任意寫出四個（1，a1，a2，a3，a4），并畫出拼成的矩形，把每個基本長方形的較短邊長填入所在的基本長方形中.

（3） 已知（1，a3，a4，a5）如圖9，求a2，a3，a4，a5的值，然后填入所在的基本長方形中.

簡解：（1） （1，a2，a3）如圖10，

（2）如圖11，（1，2，5，6），（1，2，2.25，2.5），（1，2，2.5，4.5），（1，2，2.5，5）.

（3）如圖12，設AB=x，由題意可得，2x+（2+2x）=+4+2x.

解得x=. ∴（1，a2，a3，a4，a5）=

1

，，

，

，

.endprint