一類單控制方向已知的隨機不確定二階系統反演控制研究

晉玉強，李澤雪，雷軍委

（海軍航空工程學院，山東煙臺， 264001）

0 引言

二階系統具有豐富的動態特性，許多復雜的工程對象如導彈、飛機、火箭等航天飛行器在設計初期，均可以簡化為二階線性模型來設計。因此針對二階線性系統的研究是非常有意義的。尤其是針對一組隨機的二階系統，或者針對隨機的二階系統全體的控制魯棒性研究，是非常具有理論與應用價值的［1-5］。

在許多的工程實踐中，由于外部環境變化、器件老化磨損等原因造成被控系統參數的變化，導致設計與實際存在一定誤差，當對象的數學模型參數在小范圍內變化時，可用一般的反饋控制、最優控制或補償控制等方法來消除或減小參數變化對控制品質的有害影響。當控制對象的參數在大范圍變化時，上面這些方法就不能圓滿解決問題了［6-8］。

反演設計方法是一種反饋控制方法，它從系統的第一個狀態子系統開始設計，基于Lyarpunov穩定性理論“一步一步”地反推控制律，直到完成整個控制律的設計。反演控制方法因其獨特的構造性設計過程，可以有效解決模型參數未知這一問題，并且使被控系統獲得較好的魯棒性［9-11］。

本文針對簡單的二階系統，采用反演控制方法進行控制系統設計，通過與傳統PID控制方法對比，從而檢驗反演控制是否具有良好的控制效果。最后，通過設置模型參數與給定區間完全隨機選取，進行詳細的隨機仿真分析，通過全區間的隨機遍歷性的多次仿真結果，表明反演控制方法具有良好的普適穩定性和魯棒性。

1 問題描述

具有單控制方向的二階系統是所有二階系統中比較簡單的一種特殊情況。所謂控制方向是指模型的輸入量u的系數，也稱控制系數。其模型如下所示

模型的參數完全未知，且A為隨機定常矩陣。反演自適應控制的目標為設計反演自適應控制器，使得系統狀態x1跟蹤期望值xd1。

2 PID控制律設計

圖1所示為PID控制系統的結構圖，該系統由PID控制器和被控對象兩部分組成，PID控制器產生的控制信號對被控對象進行控制。其中PID控制器由比例 （P）、積分 （I）和微分 （D）三個環節組成。r（t）表示輸入量，y（t）表示輸出量，e（t）表示r（t）與y（t）的偏差。

圖1 PID控制系統結構圖Fig.1 Structure of PID control system

PID控制器是一種線性控制器，它根據給定期望值xd1與實際輸出值x1構成控制偏差

PID的控制規律如式 （3）所示。

寫成傳遞函數的形式

式中:kp為比例系數;TI為積分時間常數;TD為微分時間常數。

3 反演自適應控制律設計

針對被控系統的第一階子系統

4 仿真分析

由于二階線性被控系統模型參數未知，參數矩陣A的取值不能確定。參數矩陣A的不同取值也代表著不同的二階線性被控系統，為了簡化說明，并且不失一般性，本文選用期望xd1=1并對參數矩陣A在 （－10～10）的范圍內隨機賦值的方式進行仿真分析，觀察控制效果。

4.1 PID控制仿真結果

對參數矩陣A在 （－10～10）范圍內隨機賦值，參數矩陣A的賦值情況如下:

a11=8.7;a12=－3.6;a21=－9.3;a22=7

針對上述賦值結果設計PID控制參數，選取PID控制參數kp=－10，ki=－5，kd=－1，得到仿真結果如圖2。

圖2 PID控制仿真結果圖Fig.2 Simulation result of PID control

繼續采用上述PID控制參數，將參數矩陣A重新隨機賦值6次得到如圖3～圖8所示的仿真結果。

仿真結果表明，在被控系統參數取不同值時，PID控制不能有效地保證系統穩定。

4.2 反演控制仿真結果

由于k1，k3取值要足夠大才能保證系統的穩定，選取反演控制參數。

k1=30，k2=1，k3=30，k4=1，k5=40，k6=40。依然采用PID仿真時參數矩陣A的賦值方法，得到如圖9～圖14所示的仿真結果。

圖3 PID第一次仿真結果圖Fig.3 The first simulation result of PID

圖6 PID第四次仿真結果圖Fig.6 The fourth simulation result of PID

圖4 PID第二次仿真結果圖Fig.4 The second simulation result of PID

圖7 PID第五次仿真結果圖Fig.7 The fifth simulation result of PID

圖5 PID第三次仿真結果圖Fig.5 The third simulation result of PID

圖8 PID第六次仿真結果圖Fig.8 The sixth simulation result of PID

圖9 反演控制第一次仿真結果圖Fig.9 The simulation result of backstepping control（the 1st）

圖10 反演控制第二次仿真結果圖Fig.10 The simulation result of backstepping control（the 2nd）

圖11 反演控制第三次仿真結果圖Fig.11 The simulation result of backstepping control（the 3rd）

圖12 反演控制第四次仿真結果圖Fig.12 The simulation result of backstepping control（the 4th）

圖13 反演控制第五次仿真結果圖Fig.13 The simulation result of backstepping control（the 5th）

圖14 反演控制第六次仿真結果圖Fig.14 The simulation result of backstepping control（the 6th）

仿真結果表明，反演控制可以在不同被控參數取值的情況下，都能保證系統的穩定，具有不錯的控制效果。

4.3 對比與分析

通過上述仿真結果發現，由于PID控制參數是針對某一參數矩陣A設計的，當參數矩陣A發生變化時，原來設計的PID控制參數就有可能不能適應新的參數矩陣A，從而不能控制系統達到設定的期望值。反演控制參數設計時，針對于整個系統，并沒有針對于某一特定的參數矩陣A設計，所以當參數矩陣A發生變化時，依然可以適應新的參數矩陣A，控制系統達到預期的控制效果。

5 結束語

在被控對象為已知單控制方向二階線性系統時，采用傳統的PID控制方法需要知道被控系統的標稱數學模型，這樣設計的PID控制系統可以較好地實現控制目標。但是在二階模型參數未知的情況下，尤其是參數完全隨機非均勻分布情況下，標稱數學模型無法較好地定義，采用PID控制效果并不能保證所有情況均有理想的控制性能。然而采用反演法控制時，可以在并不精確地知道二階系統模型參數的情況下，依然獲得不錯的控制效果，使系統具有較好的魯棒性。在工程實踐中，由于種種原因可能不能得到準確的被控模型參數，被控模型參數由于外部因素也可能發生變化，由此采用反演法設計的控制系統在模型參數完全隨機分布的情況下，會有較好的應用前景。

值得補充說明的是，本文的模型參數完全隨機分布，是指在某一給定區間內，符合某種概率函數分布規律來設置、選取模型參數。顯然在無窮大的區間設置模型參數，討論普遍適用的控制器設計與參數選取方法是沒有意義的。

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