小量程擺式加速度計的小角度十二點翻滾測試方法

吳 畏，年海濤，劉寶鳳，崔 晶，蔣效雄

（1.天津航海儀器研究所，天津 300131;2.總裝備部駐天津地區軍事代表室，天津 300131）

0 引言

目前，以石英撓性加速度計為典型代表的擺式加速度計已得到十分廣泛的應用［1-3］。擺式加速度計通常可按照國軍標所介紹的十二點翻滾測試方法進行測試［4］。根據這種方法我們可將擺式加速度計安裝在分度頭上，分別測出0°、30°、60°、90°、 120°、 150°、 180°、 210°、 240°、 270°、300°、330°時加速度計的輸出，然后通過計算，得到加速度計的偏值K0、標度因數K1、二階非線性系數K2、三階非線性系數K3以及輸入軸和擺軸的交叉耦合系數Kip、輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數Kio。在這種方法中，當分度頭的讀數為90°和270°時，加速度計的輸入分別為 +1g和 －1g，因此加速度計的輸入量程必須大于等于 ±1g，這樣的加速度計在航海、船舶領域十分常見。但有些特殊用途的加速度計，為了追求某項指標的高精度，往往需要以犧牲輸入量程為代價，使其量程小于 ±1g。這種加速度計顯然不能直接按照國軍標所介紹的十二點翻滾測試方法進行測試。為了解決這一問題，在深入分析常規十二點翻滾測試基本原理的基礎上，對其進行了適當修改，從而提出了一種能夠適用于小量程擺式加速度計的小角度十二點翻滾測試方法。

1 小角度十二點測試方法

1.1 安裝狀態定義

在討論原理之前，有必要先對擺式加速度計的坐標系進行說明。加速度計的坐標軸分別為輸入軸、輸出軸和擺軸，這三個軸兩兩垂直。

在分度頭上進行加速度計測試時需要將分度頭的回轉軸調節到水平方向。加速度計在分度頭上的安裝方式有擺態和門態兩種，在擺態，加速度計的輸出軸平行于分度頭的回轉軸;而在門態則是擺軸平行于分度頭的回轉軸。不論哪一種安裝方式，分度頭轉角θ=0°都是對應于輸入軸處于水平方向，此時若為擺態，則擺軸垂直向下;而若為門態，則輸出軸垂直向下。當分度頭轉角θ=90°時，不論擺態還是門態，輸入軸的正方向都是垂直向上的。面向分度頭的安裝盤面，若所使用的分度頭安裝盤面順時針轉動時角度讀數增大，則在兩種安裝方式下，初始位置時加速度計各軸的指向分別如圖1（a）和圖1（b）所示。

圖1 面向分度頭盤面觀察時加速度計各軸初始方向示意圖Fig.1 Schematic illustration of the initial directions of the accelerometer axes which are observed by facing the dividing head plate

1.2 模型方程

加速度計在地球重力場測試中的靜態數學模型方程如式 （1）所示。

其中，E為加速度計的輸出，單位為輸出單位;K1為標度因數，單位為輸出單位 /g;K0為偏值，單位為 g;K2為二階非線性系數，單位為g/g2;K3為三階非線性系數，單位為g/g3;δo、δp分別為輸入軸繞輸出軸和擺軸相對于輸入軸的安裝誤差角，單位為rad;Kip為輸入軸和擺軸的交叉耦合系數，單位為g/g2;Kio為輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數，單位為g/g2;ai、ap和ao分別為輸入加速度沿輸入軸、擺軸和輸出軸的分量，單位為g。

對式 （1）中模型的各項系數值進行測試時，常規方法是將加速度計安裝在分度頭 （或精密端齒盤）上，繞水平軸沿360°旋轉。這要求加速度計的量程不小于±1g。對于量程小于 ±1g的加速度計，只能根據量程大小，在0°位置 （0g）和180°（－0g）位置的附近角度內來回轉動，利用重力加速度的分量作為輸入加速度，來對加速度計的數學模型系數進行標定。

由于加速度計在測試的過程中，不可避免地要受到地基振動、環境噪聲、溫度漂移等因素的影響，為了盡可能準確地測量模型系數，減小測量誤差，在加速度計量程范圍內，對稱地選取12個位置點，根據該位置處重力加速度計的分量（輸入加速度值）和加速度計的輸出值，按照最小二乘法進行擬合，計算出加速度計數學模型的各項系數。用這種方法測量出的模型系數值與理論值之間的標準差最小，模型系數的實測值最接近理論值。

1.3 原理分析

首先，對不同位置時各軸上的加速度分量進行分析。將重力加速度及其分量作為加速度計的輸入加速度，由圖1（a）易得出，擺態下，重力加速度g在加速度計各軸的分量與分度頭轉角θ（初始位置為0°）之間的關系為:

根據加速度計的量程，選取適當的分度頭轉角θ，在12個位置進行小角度十二點翻滾測試，測出各個位置時加速度計的輸出Ei（i=1，2，…，n;n=12，分別對應θ值由小到大的12個位置）。這時，加速度計的模型方程將取如式 （2）所示。

對三角函數進行變換并化簡，得到

而加速度計輸出E的傅氏級數形式可寫為［5］

比較傅里葉系數可得:

于是可以解得加速度計的模型方程系數見式（6）。

則在分度頭轉角不同位置處的傅氏級數為

利用最小二乘法，在各個分度頭角度設定處，辨識模型輸出與測試輸出的偏差平方和為

對每個參數取偏導數，并使它們等于零，則所得方程組的矩陣形式為

變換矩陣得到

根據加速度計在各位置的輸出電壓，利用該矩陣即可計算出傅氏展開的各個系數，進而可以得到偏值K0，標度因數K1，二階、三階非線性系數K2、K3，輸入軸安裝誤差角δo，輸入軸和擺軸的交叉耦合系數Kip。至于門狀態下輸入軸安裝誤差角δp和輸入軸相對于輸出軸的交叉耦合系數Kio，則需要在門狀態下的十二點翻滾測試方法中進一步得到。

在門狀態，由圖1（b）很容易看出，值為1g的重力加速度在加速度計各軸的分量與分度頭轉角θ之間的關系為:

在門狀態下的小角度十二點翻滾測試，可以求得擺態下所不能得到的輸入軸安裝誤差角δp和輸入軸與輸出軸的交叉耦合系數Kio。于是我們通過擺態和門態兩種方式的小角度十二點測試，可以得到加速度計數學模型的全部待定系數:偏值K0，標度因數K1，二階、三階非線性系數K2、K3，輸入軸安裝誤差角 δo、δp， 輸入軸和擺軸、輸入軸和輸出軸的交叉耦合系數Kip、Kio。

2 方法驗證

2.1 仿真分析

為了驗證小角度十二點翻滾測試方法測量加速度計模型系數的準確性，仿真計算加速度計在分度頭處于不同位置時的輸出信號，并人為加入一組隨機誤差作為噪聲，分別采用國軍標十二點和小角度十二點翻滾測試方法計算加速度計的模型方程，看兩種測試方法計算出的加速度計模型系數差別是否明顯。

以加速度計在擺態下為例，首先，假定加速度計模型系數的值:

根據式 （2）可以計算出加速度計在分度頭每個位置處的輸出信號的理論值。人為引入一組期望值為0、方差和標準差均為1并成正態分布的隨機信號Ri（i=1，2，…，12），考慮到實際噪聲的幅值，選取Ri（i=1，2，…，12）/107作為加速度計的噪聲［6］，那么加速度計的模型方程變為式（13）。

其中:i=1，2，…，12。

根據加速度計的輸入加速度和輸出信號Ei，分別利用國軍標十二點和小角度十二點翻滾測試方法仿真計算加速度計的模型系數，不同步長a情況下仿真結果如表1所示。

表1 不同步長a值時加速度計仿真結果Tab.1 Simulation data of accelerometer with different values of a

從仿真結果可知，小角度十二點法跟國軍標十二點法一樣，可以比較準確地標定加速度計的模型系數，其中偏值K0、標度因數K1和輸入軸安裝誤差角δo（門態為δp）的值與國軍標測出的系數值誤差均小于1.5‰;二階非線性系數K2在a≥4°時與國軍標系數的誤差小于13%;三階非線性系數K3和交叉耦合系數Kip（門態為Kio）有一定誤差，這是由于加速度計在小角度時對高次項和交叉耦合項不如大角度敏感 （加速度計的交叉耦合項在45°時最敏感［7］）。

2.2 測試結果

運用小角度十二點翻滾測試方法測試某擺式加速度計，從轉臺的0°開始，步長為a，先沿順時針方向轉動12個角位置，再沿逆時針方向轉動到這12個角位置，依次測量每個位置的加速度計輸出值。考慮到小量程加速度計基本都工作在0°位置，為了盡可能準確地反映加速度計的輸出情況，圍繞0°對稱地選取10個小角度位置點，再加上0°和180°，得到小角度十二點翻滾的12個位置:0°、0°+a、0°+2a、0°+3a、0°+4a、0°+5a、180°、360°－ 5a、360°－ 4a、360°－ 3a、360°－2a、360°－a（以a=2°為例，則這12個位置依次為 0°、2°、4°、6°、8°、10°、180°、350°、352°、354°、356°、358°）。

以加速度計在擺態下為例，分別選取不同的步長a值，得到加速度計模型系數的測試結果如表2所示。

表2 不同步長a值時加速度計標定結果Tab.2 Test data of accelerometer with different values of a

測試結果與理論仿真結果一致，偏值K0、標度因數K1和輸入軸安裝誤差角δo的值與國軍標測出的系數值的誤差分別為 0.36‰、0.09‰和3.24‰。證明小角度十二點翻滾測試方法能夠通過測試零位附近位置的加速度計輸出，來計算加速度計的模型系數。

根據不同步長下12個位置的最大加速度值，可以確定不同量程加速度計應該選取的步長a值，如表3所示。

表3 不同量程加速度計對應的步長a值Tab.3 Values of a of accelerometers with different ranges

3 結論

針對由于某些特殊原因量程小于 ±1g范圍的加速度計，提出了小角度十二點翻滾測試法，通過測試加速度計零位附近角度處的輸出來標定加速度計的模型方程。首先分析了小角度翻滾測試的原理，然后給出了模型系數計算公式，利用該公式進行了理論仿真研究，并按照此方法進行了實際測試，得出了可靠的測試結果，確定了加速度計量程與步長的關系，為小量程擺式加速度計的測試提出了一種可行的方法。

但是，對于小角度十二點翻滾測試過程中，轉臺的定位誤差相對較大的問題，尚無可行的解決方法，有待進一步的研究。

［1］吳書朝．小量程擺式加速度計的小角度四點翻滾測試方法［C］//．中國慣性技術學會第六屆學術年會論文集，2008，11:398-402．

［2］Anthony Lawrence．Modern inertial technology［M］．Navigation，Guidance，and Control，1993:57-71．

［3］Foote S A，Grindeland D B．Model QA3000 Q-Flex accelerometer high performance testresults［C］//．Aerospace and Electronic Systems Magazine，IEEE，1992，7（6）:59-67．

［4］GJB 1037A-2004．單軸擺式伺服線加速度計試驗方法［S］．

［5］王大千，張英敏．加速度計1g重力場靜態翻滾測試與誤差分析［J］．機械與電子，2009，（1）:34-36．

［6］許偉，李強，陳冬雪，等．基于小波降噪與最小二乘估計的石英撓性加速度計模型辨識［J］．傳感技術學報，2013，26（11）:1493-1498．

［7］孫楓，曹通．基于Kalman濾波的加速度計十位置標定方法［J］．系統工程與電子技術，2011，33（10）:2272-2276．