試論概率論在積分中的應用

鐘志波

【摘要】概率論是一門研究隨機現象統計規律的學科。概率論作為數學的一個分支和其它分支學科之間是相互交叉和滲透的。本文探討概率論在計算積分和多重積分極限等方面的應用，并通過實例進行了分析，進一步說明概率論在解決積分問題中的獨特性和簡捷性。

【關鍵詞】概率 積分 勒貝格控制收斂定理 辛欽大數定律

【中圖分類號】O211 【文獻 概率論是一門研究隨機現象統計規律的學科.概率論作為數學的一個分支和其它分支學科之間是相互交叉和滲透的.因為隨機現象的普遍性，使得概率論具有極其廣泛的應用.由于概率解法在其它方面的應用已成為數學研究的一個很重要的內容之一，因此學習概率論的解法具有一定的應用價值。

本文通過一些實例的分析，探討了概率論與積分兩者之間的聯系，進一步說明概率論在積分中的應用，一方面顯示出概率論的方法與思想在解決積分問題中的獨特性和簡捷性，另一方面也體現了數學學科間的深刻聯系。

1.預備知識

定義1 若隨機變量X的概率密度為f（x）=1/（b-a），a

則稱X在區間（a，b）上服從均勻分布，記為X～U（a，b）.此時X的數學期望E（X）為■，方差D（X）為■.

定義2 若隨機變量X的概率密度為f（x）=■e■，x>0，？茲>00，其它

則稱X服從參數為？茲的指數分布，簡記為X～e（？茲）.此時x的數學期望E（X）為？茲，方差D（X）為？茲2。

定義3 若隨機變量的概率密度為：

f（x）=■e■，-∞

則稱X服從參數為？滋和？滓2的正態分布，記為X-N（？滋，？滓2），其中？滋和？滓（？滓>0）都是常數，此時X的數學期望E（X）為？滋，方差D（X）為？滓2.

定義 4 若二維隨機變量（X，Y）具有概率密度

f（x，y）=■e■，

其中？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽均為常數，且？滓1>0，？滓2>0，？籽<1，則稱（X，Y）服從參數為？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，p的二維正態分布，記為（X，Y）～N（？滋1，？滋2，？滓1，？滓2，？籽），其中（X，Y）關于X，關于Y的邊緣分布均為正態分布，分別為X～N（？滋1，？滓12），X-N（？滋2，？滓22）。

引理1[1] 設？孜■，n≥1是獨立同分布隨機變量序列，服從[0，1]上的均勻分布，而f是R上的實值連續且周期為1的周期函數，則對？坌x∈R，有■■fx+？孜■→∫■■ f（u）du

注：當x=0時，如果f是[0，1]上的實值連續函數，那么結論亦成立.

引理2[2]（勒貝格控制收斂定理）設

（1）{fn}是可測集E上的可測函數數列；

（2）fn（x）≤F（x）幾乎處處收斂于E，n=1，2，…，且F（x）在E上可積分；

（3）fn（x）→f（x），

則f（x）在E上可積且■∫■fn（x）dx=∫■f（x）dx

引理3[3] （辛欽大數定律）

設{？孜■}為獨立同分布隨機變量序列，并且a=E？孜k（k=1，2，…，n）存在，則{？孜■}服從大數定律，即對任意？著>0，有■P（■■？孜k-a<？著）=1

2.構造概率模型計算積分

指數分布、正態分布都是概率論與數理統計中的重要分布，用它們的性質計算積分不但可以使積分運算過程簡單，而且還能夠解決微積分中原函數無法用初等函數表示的積分運算。

例1 計算∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx.

解： 如果用廣義積分的分布積分法可直接求解，但要用到兩次分布積分法，并要求極限.由于這里的被積函數中含有因式e-3x，可看作是參數為？姿=3的指數分布概率密度函數的一部分，故利用指數分布隨機變量X～e（3），得

∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx

=■∫■■（6x2+7x+8）3e-3xdx

=■E（6X■+7X+8）=2E（X■）+■E（X）+■

∵E（X）=■，D（X）=■，E（X■）=D（X）+E（X）■=■

∴ ■■∫■■（6x2+7x+8）e-3xdx=2·■+■·■+■=■.

例2 ■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx的值。

解： 直接計算是比較麻煩的。現利用隨機變量的數學期望與方差公式以及分布函數的性質進行計算。

如果隨機變量？孜服從正態分布N（？滋，？滓2），則E（？孜）=？滋，D（？孜）=？滓2，于是

■（ax2+bx+c）e-（ix■+jx+k）dx

=e■a■x2e■dx+b■xe■■dx+c■e■dx

=e■a■■x2■dx+b■■x■dx+c■

=e■a■E（？孜■）+B■E（？孜）+C■

=e■a■（D（？孜■）+[E（？孜）■]■）+b■E（？孜）+c■

=e■[a■■+■+b■-■+c■]

=e■■■+■-■+c. （？鄢）

以此結果可計算■e■dx的值。將a=0，b=0，c=1，i=1，j=0，k=0代入（？鄢）可求出此積分結果為■，這在數學積分中是一種很重要的積分。

運用概率積分的特性，引進正態隨機變量不僅可以簡化積分的運算，而且可求出數學分析中原函數無法用初等函數表示的積分。

3.構造概率模型求多重積分極限

求多重積分時，用普通的近似方法往往無法實現，因為，這時所需的運算次數是非常驚人的.通過構造獨立同分布的隨機變量運用辛欽大數定律與勒貝格控制收斂定理，可獲得n重積分（n很大時）的近似值，從而解決一些分析中較難處理的多重積分問題。

例3 證明 ■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

證： 構造如下概率模型：設隨機變量？孜1，？孜2，…，？孜n相互獨立且服從相同的均勻分布U[0，1].則？孜1，？孜2，…，？孜n服從分布

f（x1，x2，…xn）=1，當0≤x■≤1，i=1，2，…，n0，其它.

而■■…■■dx■dx■…dxn-■≤■■…■■-■dx■dx■…dxn

=■■■■■-■dx■dx■…dxn+■■■■■-■dx■dx■…dxn

其中

A=（x■，x■，…，x■）■■x■■-■≤？著，■■x■■-■≤？著，0≤x■≤1，i=1，2，…，n，？坌？著≥0（？鄢？鄢）

當0≤x■≤1，i=1，2，…，n時，■-■有界，即存在常數M>0，使■-■≤M

故■■■■■-■dx■dx■…dxn≤M■■■■dx■dx■…dxn

≤M·P■■x■■-■≥？著+M·P■■x■■-■≥？著

又 E（x■■）=■， E（x■■）=■

由引理3可知

■P■■x■■-■≥？著=0，■P■■x■■-■≥？著=0

于是得

■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

另一方面，■■■■■■-■dx■dx■…dxn=■■■■■dx■dx■…dxn= ■■■■■

■dx■dx■…dxn≤■

所以■■■■■■■-■dx■dx■…dxn=0

因此由（？鄢？鄢）式可得■■■…■■dx■dx■…dxn=■.

注：可加以推廣，得■■■…■■dx■dx■…dxn=■（q>p>0）.

例4 證明■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■ln2.

證：作變換y=■x，x∈（0，■]

則 x=■y，y∈（0，1]

于是■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■■…■■dy■dy■…dyn考慮獨立同分布隨機變量序列{？孜n，n≥1}，且？孜n-U[0，1]，令ηn=■■■？孜i，？孜n=■■■？孜i

因f（y）=tan■y，g（y）■y是[0，1]上的連續函數，由引理1，得

ηn→■tan■ydy=-■lncos x│■■=■ln2

？孜n→■■ydy=■

從而序列{ηn/？孜n，n≥1}依概率收斂，且ηn/？孜n→■

又當y∈（0，1]時，0

由引理2，得E（ηn/？孜n）→E■=

■=■ln2/■=■ln2

故

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn

■■■…■■dy■dy■…dyn

■E（ηn/？孜n）=■=■ln2.

類似還可以證明

■■■…■（■）n■dx■dx■…dxn=■.

參考文獻：

[1]徐向紅.求無窮級數和以及多重積分極限的概率方法[J].工科數學，2002，18（1） ：105-108.

[2]程其襄.實變函數與泛函分析基礎[M].北京：高等教育出版社.2003.

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