分段函數之小議

張永清

【摘要】分段函數是一個函數而非幾個函數，是其定義域被劃分為若干部分，不同部分的x值依據不同的對應法則與y相對應。本文從分段函數的定義域為出發點簡單討論分段函數的值域、解析式、圖像、函數值、單調性等。

【關鍵詞】分段函數 定義域 值域 函數值 單調性

【中圖分類號】O17 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0155-02

1.分段函數的定義域與值域

分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域也是各段值域的并集。

例1 求函數f（x）=x2+4x（x≤-2）2x （x>-2） 的值域。

解：當x≤-2時，y=x2+4x=（x+2）2-4 所以y≥-4

當x>-2時，，y=2x，所以y>2-2=■

∵[-4，+∞）∪（■，+∞）=[-4，+∞）

∴函數f（x）的值域是[-4，+∞）

2.分段函數的解析式

分段函數解析式的求法很多，要根據題設條件選取合理的方法。通常情況下要按其定義域開展分類討論，各個擊破，最終寫出表達式。

例2 設g（x）=0 （x≤0）1 （x>0），求函數y=g（x-1）的解析式。

解：令t-1=x，則當x≤0，即t≤1時，g（t-1）=0；

當x>0，即t>1時，g（t-1）=1，

故y=g（x-1）=0 （x≤1）1 （x>1）

3.分段函數的圖象

作出分段函數的圖象其分段函數的定義域是關鍵要素，通常用列表法畫出對應的圖象；畫圖的關鍵是根據定義域的不同范圍，分別由表達式作出對對應的圖象。畫圖時要注意各段自變量的取值范圍，并且要標明關鍵點的坐標。

例3 已知函數f（x）=2x （x≤-1） 1 （-11），畫出這個函數的圖象。

解析：該函數圖象由一條線段、兩條射線組成。如圖所示，其中一條射線沒有端點，另一條線段沒有左端點。

例3圖

一、分段函數的函數值

求分段函數的函數值時，應先確定自變量的取值在其定義域內的哪個子區間，然后再用與這個子區間相應的對應法則來求解函數值。

例4 已知f（x）=■x （x≤-2） ？仔 （-2

解：∵3∈[2，+∞） ∴f（3）=32-4×3=-3

∵-3∈（-∞，-2] ∴f[f（3）]=f（-3）=■×（-3）=-■

∵-■∈（-2，2） ∴f{f[f（3）]}=f（-■）=π

4.分段函數的單調性

判斷一個分段函數的單調性，首先應對各段函數進行單調性的研究，然后再綜合求解。

例5 求函數f（x）=x■+2x （x≤0）x-1 （x>0）的單調區間。

解：當x≤0時，y=x■+2x，由圖象可知：在（-∞，-2]、[-1，0]上函數單調遞減；在[-2，-1]上函數單調遞增。

當x>0時，y=x-1 ，由圖象可知：在（0，1]上函數單調遞減；在[1，+∞）上函數單調遞增。

綜上所述，所求函數的單調遞增區間是：[-2，-1]，[1，+∞）；單調遞減區間是：（-∞，-2]、[-1，0]，（0，1]。

參考文獻：

[1]數學①普通高中課程標準實驗教科書.人民教育出版社2007.1

[2]孔黎.高等數學中國建筑工業出版社2000.12