關于雙星問題的幾點思考

王士昆

【摘要】本文從多個角度對雙星問題進行了深入的研究。研究結果表明，建立物理模型和靈活地運用物理方法是很重要的。這對新課標形式下的物理教學有一定的意義。

【關鍵詞】雙星模型 圓周運動 束縛態

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0176-01

一、問題的提出

在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為L，質量分別為M1和M2，試計算：

（1）雙星的軌道半徑；

（2）雙星的運行周期；

（3）雙星的角速度。

（4）雙星的線速度。

二、問題的求解

分析：雙星系統中，兩顆星球繞同一點做勻速圓周運動，且兩者始終與圓心共線，相同時間內轉過相同的角度，即角速度相等，則周期也相等。但兩者做勻速圓周運動的半徑不相等。

對M1：G■=M■r■■ 對M■：G■=M■r■■

由幾何關系：r1+r2=L

解得r1=■L，r■=■L，

T=2π■， ω=■=■。

v■=r■ω=M■■，v■=r■ω=M■■。

推論一：質量和M1+M2=■

推論二：v∝r∝■

a∝r∝■

（由M1r1=M2r2得r∝■，又v=rω，a=rω2，∴v∝r∝■，a∝r∝■）

三、應用

例1：我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.由此可求出S2的質量為 （D）

A.■ B.■ C.■ D.■

解析：雙星的運動周期是一樣的，選S1為研究對象，根據牛頓第二定律和萬有引力定律得■=m■r■■則m2=■故選項D正確。

例2：兩顆靠得很近的天體稱為雙星，它們都繞兩者連線上某點做勻速圓周運動，因而不至于由于萬有引力而吸引到一起，以下說法中正確的是（BD）

A.它們做圓周運動的角速度之比與其質量成反比

B.它們做圓周運動的線速度之比與其質量成反比

C、它們做圓周運動的加速度與其質量成正比

D、它們做圓周運動的半徑與其質量成反比

提示：由推論二知BD正確。

例3：雙星系統由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點做周期相同的勻速圓周運動。研究發現，雙星系統演化過程中，兩星的總質量、距離和周期均可能發生變化。若某雙星系統中兩星做圓周運動的周期為T，經過一段時間演化后，兩星總質量為原來的k倍，雙星之間的距離變為原來的n倍，則此時圓周運動的周期為（B）

A.■T B.■T C.■T D.■T

提示：由推論一知B正確。

例4：如右圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。

（1）求兩星球做圓周運動的周期。

（2）在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。

已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結果保留3位小數）

解：（1）（考題建模）

對A：■=mr（■）■①

對B：■=Mr（■）■② 解得T=2π■

對A、B：L=R+r ③

（考生建模）

a.建立雙星模型。由（1）的結論得：T=2π■④

b.建立行星模型

■=m′（■）■L′⑤ 解得T2=2π■⑥

由④⑥式得（■）2=1+■ ⑦，解得（■）2=1.012，結果只有1%的差別。

評價：同一情景建立不同模型，只要合理就不影響最后結果，因此模型越簡單越好，這就是我們經常把地月系統近似為行星模型的原因。

五、總結

本文以雙星模型為載體結合近幾年高考的相關習題滲透了高考的命題思想，這對新課標體系下的物理教學有一定的指導意義。