淺談分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王芳芳

摘要：隨著課程改革的發(fā)展，加大了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)，在近幾年的高考中對(duì)應(yīng)用分類討論思想解題體現(xiàn)出了一定的要求。為了能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)并掌握這一重要的數(shù)學(xué)思想，文章重新分析了分類討論思想，重點(diǎn)探究了分類討論思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，為學(xué)生能夠更好的理解和運(yùn)用分類思想解題奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；分類討論；應(yīng)用

中圖分類號(hào)：C41文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2015）06-0041-01

引言

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，分類討論思想是一種普遍應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)用較為廣泛。作為數(shù)學(xué)教師，如何發(fā)現(xiàn)并挖掘分類討論思想，并將這一思想傳遞給學(xué)生，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教師普遍關(guān)注的問(wèn)題。在新課程中，分類思想在教材中的體現(xiàn)是豐富多彩的，在整個(gè)初中、高中階段很多問(wèn)題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點(diǎn)及內(nèi)在的規(guī)律性。

一、分類討論思想概述

1.分類討論的定義

分類討論思想是指在解決問(wèn)題時(shí)，研究對(duì)象存在多種情況，不能一并解決，要求我們搞清研究問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類劃分，然后根據(jù)分類情況分別討論研究，最后將各類結(jié)果匯總，得到解決問(wèn)題的最終結(jié)果。

2.分類討論的類型

（1）概念型。所研究問(wèn)題所涉及的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|m|的定義分為m>0、m=0、m<0三種情況。（2）條件型。所研究問(wèn)題涉及到的數(shù)學(xué)問(wèn)題有范圍或者條件約束的。如推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分m=1和m≠1兩種情況。（3）含參型。解含參變量的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍分別進(jìn)行討論。如解不等式mx>4時(shí)分m>0、m=0和m<0三種情況討論。

3.分類討論解題步驟

（1）確定討論對(duì)象和確定研究的全域；（2）對(duì)研究問(wèn)題進(jìn)行分類（分類時(shí)注意做到不重和不漏）；（3）分類討論：即對(duì)各類問(wèn)題進(jìn)行討論，然后分類解決；（4）歸納匯總，整理得出結(jié)論。

二、分類討論思想在解題中的應(yīng)用

1.分類討論思想在集合中的應(yīng)用

例1.已知集合P={m2，m+1，-3}，Q={m-3，2m-1，m2+1}，若P∩Q={-3}，則m的值（）

A.0B.-1C.1D.2

解：選B；∵P∩Q={-3}，

∴-3∈Q={m-3，2m-1，m2+1}，

當(dāng)m-3=-3時(shí)，m=0，P={0，1，-3}，Q={-3，-1，1}，則P∩Q={-3，1}，與題設(shè)矛盾，

當(dāng)2m-1=-3時(shí)，m=-1，P={1，0，-3}，Q={-4，-3，2}，

當(dāng)m2+1=-3時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。

小結(jié)：該題考查了集合在運(yùn)算時(shí)的分類討論思想，分類的標(biāo)準(zhǔn)為集合的性質(zhì)：確定性、無(wú)序性、互異性。

2.分類討論思想在解不等式中的應(yīng)用

例2.解不等式（x24m）（x26m）2m21>0（其中m為常數(shù)，m≠-12）

剖析：此題主要考察含參數(shù)不等式的解法，參數(shù)m決定了2m+1的正負(fù)和兩根-4m、6m的大小，所以要對(duì)參數(shù)m分四種情況加以討論（m>0、m=0、-12

解：2m+1>0，m>-12；又因?yàn)?4m<6m，故m>0。

分以下四種情況討論：

（1）當(dāng)m>0時(shí)，（x+4m）（x-6m）>0，解得：x<-4m或x>6m；（2）當(dāng)m=0時(shí)，x2>0，解得：x≠0；（3）當(dāng)-120，解得：x<6m或x>-4m；（4）當(dāng)m>-12時(shí)，（x+4m）（x-6m）<0，解得：6m

綜上得：當(dāng)m>0時(shí)，x<-4m或x>6m；當(dāng)m=0時(shí)，x≠0；當(dāng)-12-4m；當(dāng)m>-12時(shí)，6m

小結(jié)：做含參變量的題目時(shí)，要分清參量和變量，做到合理有效的分類，不重不漏。

3.分類討論思想在方程和函數(shù)中的應(yīng)用

例3.（2011天津文16）設(shè)函數(shù).對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是；

【解析】解法1。顯然，由于函數(shù)對(duì)是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，不恒成立，因此。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是減函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，于是恒成立等價(jià)于的最大值，即，解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。

小結(jié)：含有參數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題是一類常見(jiàn)問(wèn)題，分類的關(guān)鍵是抓住對(duì)稱軸，對(duì)其在不同的區(qū)間進(jìn)行分類討論。

三、小結(jié)

分類討論思想的應(yīng)用非常廣泛，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，這里不能一一列舉出來(lái)，分類討論思想的關(guān)鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標(biāo)準(zhǔn)，按可能出現(xiàn)的所有情況做出準(zhǔn)確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結(jié)論綜合歸納，得出正確答案。分類討論思想是一類重要的數(shù)學(xué)思想，教師一方面引導(dǎo)學(xué)生理解其分類精髓，學(xué)會(huì)運(yùn)用分類思想解題，另一方面也要不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)思想會(huì)產(chǎn)生積極作用。

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