考慮扭轉和畸變效應的薄壁箱梁超收斂單元研究

陳建芳，李 偉，謝雯馨，羅振先

(1.廣西大學土木建筑工程學院工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西 南寧 530004；2.鄭州市市政工程勘測設計研究院廣州分院，廣東 廣州 510640)

考慮扭轉和畸變效應的薄壁箱梁超收斂單元研究

陳建芳1，李 偉2，謝雯馨1，羅振先1

(1.廣西大學土木建筑工程學院工程防災與結構安全教育部重點實驗室，廣西 南寧 530004；2.鄭州市市政工程勘測設計研究院廣州分院，廣東 廣州 510640)

文章基于Benscoter梁理論和箱梁畸變理論，建立了一個關于薄壁箱梁約束扭轉問題的2節點8自由度的超收斂單元，該單元可以精確考慮薄壁箱梁的扭轉和畸變效應，只需一個單元就可得到精確解。通過與Vlasov的廣義坐標法進行算例比較，證明該單元有較高的精度。

薄壁箱梁；約束扭轉；畸變；單元

0 引言

薄壁梁由于其強度高、重量輕和材料利用率高的特點，被廣泛用于許多工程應用中。特別是具有封閉橫截面的薄壁梁，具有較高的抗扭和抗彎性能。由于閉口薄壁截面變形的復雜性，在橋梁結構和一些重要結構的設計中，扭轉和畸變效應是非常重要的考慮因素。

有許多良好的有限梁單元都是基于Timoshenko梁理論，但是這些梁單元不能較為全面地考慮閉口薄壁梁[1]，傳統的梁單元通常具有六個自由度，三個平動位移和三個轉角位移，而忽略了橫截面的變形，導致高估了梁的剛度。Vlasov提出了一套較為全面的關于矩形薄壁箱梁的翹曲和畸變研究理論，在此基礎上，對于薄壁梁的翹曲和畸變效應已經進行了大量研究，Vlasov提出了關于閉口薄壁梁計算的廣義坐標法，該方法放棄了開口薄壁梁理論中的“剛周邊”和“中面無剪應變”兩個假定，利用變量分離法將二維問題轉化成一維問題[2]，該理論計算精度高，但計算費時[3]。Kim[1]基于廣義坐標法利用拉格朗日插值推導出的單元剛度矩陣方便了計算，但仍需劃分較多單元才能得到收斂解。韋芳芳[4]在廣義坐標法初參數方程的基礎上，通過矩陣子塊轉換的方式推導出在均布扭矩作用下薄壁箱梁翹曲分析的單元剛度矩陣。對于閉口薄壁箱梁的畸變效應，文獻[5]介紹的傳統的箱梁畸變微分方程已廣泛用于箱梁的畸變分析。本文基于Benscoer梁理論和傳統的箱梁畸變計算理論，采用非多項式插值，建立了一個2節點8自由度的約束扭轉梁單元。

1 基于廣義坐標法的單元剛度矩陣

Vlasov提出的廣義坐標法適用于由平板圍成的閉口截面梁考慮截面變形的約束扭轉分析，該理論推導的箱梁約束扭轉微分方程如下[6]：

f(6)-2r2f(4)+s4f(2)=0

(1)

式(1)可通過初參數法求的解析解，但對于一些復雜結構，很多時候求解是較為困難的，因此，常需用數值方法來計算，文獻[1]采用拉格朗日插值推導出薄壁箱梁約束扭轉下的單元剛度矩陣：

(2)

該單元剛度矩陣可以同時考慮扭轉和畸變效應，以及兩者之間的耦合作用，但需要劃分較多單元時才能得到收斂解。

2 基于Benscoter梁理論的扭轉單元剛度矩陣

傳統的Vlasov開口薄壁梁理論考慮了約束扭轉引起的翹曲位移，但忽略了截面在厚度方向的橫向剪應變，對于開口薄壁截面影響較小，但對于閉口薄壁截面將產生較大的誤差。

Vlasov給出的開口薄壁桿件的翹曲位移：

ux=ω(y，z)θ′(x)

(3)

Benscoter采取一個翹曲函數Ψ替換扭率θ′，縱向的翹曲位移則為[7]：

u=ω(s，ζ)Ψ(x)

(4)

其中ω仍為Vlasov理論中假設的廣義扇形坐標，但考慮了厚度方向的橫向剪切變形。

圖1 薄壁梁截面曲線坐標圖

薄壁梁截面的曲線坐標如圖1所示，假設薄壁梁截面上任意一點p的位移為：

u(x，s，ζ)=ω(s，ζ)Ψ(x)

vqt(x，s，ζ)=-(rn(s))+ζ)θx(x)

(5)

vqn(x，s，ζ)=rt(s)θx(x)

式(5)中u為縱向翹曲位移，vqt為s方向的切向位移，vqn為法向位移。

由位移函數根據幾何方程和物理方程得到應變和應力，再應用虛功原理得到微分方程：

Ψ=θ′+αθ?

θ″″-γ2θ″=0，

(6)

采用式(4)的齊次解作為插值函數，再由內外虛功相等得到控制方程：

[kθ]{uθ}={fθ}

(7)

其中

(8)

{uθ}=[θx1Ψ1θx2Ψ2]T；

當單元上作用均布扭矩mx時，等效節點荷載：

[fθ]=[Mθ1Bθ1Mθ2Bθ2]T

3 畸變荷載下的畸變計算理論

(9)

采用齊次解作為插值函數，得到單元剛度矩陣方程：

[kχ]{uχ}={fχ}

(10)

(11)

4 建立同時考慮扭轉和畸變效應的閉口薄壁梁單元剛度矩陣

Vlasov的廣義坐標法已成為閉口薄壁梁的扭轉和畸變效應研究的基礎，并且計算精度高，但計算費時，盡管在廣義坐標法的基礎上推導出的有限元格式方便了計算，但對單元劃分數要求較高，本文結合前面推導的扭轉單元剛度矩陣和畸變理論下的單元剛度矩陣，建立了一個2節點8自由度的閉口薄壁梁單元。

在此不考慮扭轉與畸變之間的耦合作用，采用直接剛度法，形成單元剛度矩陣：

(12)

節點位移列陣和均布扭矩下等效節點荷載列陣分別為：

{u}=[θx1Ψ1χ1χ′1θx2Ψ2χ2x′2]T；

{f}=[Mθ1Bθ1Mχ1Bχ1Mθ2Bθ2Mχ2Bχ2]T。

5 算例分析

為了驗證本文推導出的單元剛度矩陣的正確性，采用文獻[3]的算例與廣義坐標法的解析解進行比較，矩形閉口薄壁梁一端固定，一端自由，尺寸如圖2所示，自由端受一集中扭矩Mx=1 000N·cm，其中彈性模量E=2.1×107N/cm2，泊松比μ=0.25，均勻等壁厚t=1cm。

圖2 懸臂梁所受荷載和尺寸圖

采用文獻[6]的單元剛度矩陣計算結果如表1(表中只列出自由端的扭轉角和畸變角)所示：

表1 文獻[6]方法計算結果分析比較表

從表1中的計算結果可以看出，按文獻[6]方法計算，當劃分到20個單元時畸變角的計算結果才收斂，即逼近廣義坐標法的解析解2.628×10-5rad。

表2 本文方法與廣義坐標法解析解的比較表

從表2中的計算結果可以看出，采用本文單元計算時，只劃分了一個單元就可以得到自由端的收斂解，與廣義坐標法解析解的計算結果相當吻合。當劃分10個單元時，本文方法與廣義坐標法解析解的比較如圖3所示，顯然，在梁的各個橫截面上，用本文方法計算得到的扭轉角與畸變角的值與廣義坐標法解析解的計算結果幾乎完全吻合。

圖3 懸臂梁扭轉角和畸變角比較示意圖

再看一個源自文獻[6]的算例，兩端固支受均布扭矩mx=1 000 N·cm/cm，如圖4所示，比較梁各橫截面上的扭轉角和畸變角。

圖4 兩端固支梁受均布扭矩圖

本文方法劃分10個單元時，與廣義坐標法的解析解比較扭轉角和畸變角的計算結果，如圖5所示。

圖5 兩端固支梁受均布扭矩計算結果對比圖

從圖5的計算結果可以看出，在均布扭矩作用下，本文方法的計算結果與廣義坐標法的解析解非常吻合，具有較高的計算精度和效率。

6 結語

從算例分析結果可以看出，本文推導的2節點8自由度的閉口薄壁扭轉梁單元計算的結果與Vlasov的廣義坐標法計算結果相當吻合，可以同時考慮扭轉和畸變效應，是一個超收斂單元，對于工程應用具有較高的實用價值，計算效率高，并且有較高的計算精度。

[1]Kim Y Y，Kim J H.Thin-walled Closed Box Beam Element for Static and Dynamics Analysis[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，1999，45(4)：473-490.

[2]楊綠峰，趙艷林，李桂青.閉口薄壁桿件約束扭轉計算的樣條里茲法[J].工程力學，1999，1(1)：181-187.

[3]鮑永方，黃文彬.矩形箱梁約束扭轉理論的分析與比較[J].工程力學，1997，14(3)：132-137.

[4]韋芳芳，吳 京，馮 健，等.薄壁箱梁廣義坐標法剛度矩陣的推導及應用[J].計算力學學報，2007，24(5)：693-697.

[5]周 履.單室矩形箱梁畸變計算[J].橋梁建設，1980(4)：1-45.

[6]包世華，周 堅.薄壁桿件結構力學[M].北京：中國建筑工業出版社，2006.

[7]Shakourzadeh H，Guo Y Q，Batoz J L.A Torsion Bending Element for Thin-walled Beams with Open and Closed Cross Sections[J].Computers & Structures，1995，55(6)：1045-1054.

[8]謝 旭，黃劍源.薄壁箱形梁橋約束扭轉下翹曲、畸變和剪滯效應的空間分析[J].土木工程學報，1995，28(4)：3-14.

Research on Super-convergent Element of Thin-walled Box Girder Considering the Torsion and Distortion Effects

CHEN Jian-fang1，LI Wei2，XIE Wen-xin1，LUO Zhen-xian1

(1.Key Laboratory of Disaster Prevention and Structural Safety of Ministry of Education，College of Civil Engineering and Architecture，Guangxi University，Nanning 530004，China)

2.Guangzhou Branch of Zhengzhou City Municipal Engineering Design & Research Institute，Guangzhou 510640，China)

This article，based on Benscoter beam theory and box girder distortion theory，established a 2-node super-convergent element with 8 degrees of freedom about restrained torsion problem of thin-walled box girder，this element can accurately consider the torsion and distortion effect of thin-walled box girders，only one element is needed to get the exact solution.Through calculation comparison with Vlasov’s generalized coordinate method，it proved that this element has a higher accuracy.

Thin-walled box girder；Restraint torsion；Distortion；Element

陳建芳(1962—)，副教授，碩士生導師，主要從事計算結構力學及其工程應用方面的研究工作。

廣西理工科學實驗中心重點項目(LGZX20 1101)；廣西自然科學基金項目(2013GXNSF BA019237)

U448.21+3

A

10.13282/j.cnki.wccst.2015.07.008

1673-4874(2015)07-0029-05

2015-06-08