盤點(diǎn)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)

翟愛(ài)國(guó)

二項(xiàng)式定理的實(shí)質(zhì)是多項(xiàng)式乘法公式（a+b）? =a?+2ab+b?，（a+b）? =a?+3a?b+3ab?+b?的推廣，它揭示了二項(xiàng)式的n次冪的展開(kāi)式在項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)等方面的特點(diǎn)，在利用二項(xiàng)式定理時(shí)，一些同學(xué)常因概念不清導(dǎo)致失誤，其中最易混淆的兩個(gè)術(shù)語(yǔ)是：二項(xiàng)式系數(shù)、項(xiàng)的系數(shù)。下面通過(guò)對(duì)一些典型例題的分析提高同學(xué)們的辨別能力。

一、混淆“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”

2.利用二項(xiàng)式定理采用“賦值法”求系數(shù)之和，是研究二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)性質(zhì)的重要方法，同學(xué)們要用心感情。實(shí)際上賦值法所體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，在高考題中屢見(jiàn)不鮮，特別是在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯，巧賦特殊值可減少運(yùn)算量。

二、混淆“二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)”與“系數(shù)最大項(xiàng)”

求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)時(shí)，除了采用列不等式，解不等式組的方法外，還有其他方法嗎？我們來(lái)思考下面的兩道例題，培養(yǎng)我們的創(chuàng)造性思維。

點(diǎn)評(píng)二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)也可通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析和推理，縮小比較的范圍，使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化，聰明的你想到了嗎？

2.本題解法“一題兩制”：對(duì)于問(wèn)題（1），我們運(yùn)用例3的一般方法進(jìn)行推導(dǎo)；對(duì)于問(wèn)題（2），我們運(yùn)用認(rèn)知、枚舉、比較的方法導(dǎo)出結(jié)論，特別地，當(dāng)指數(shù)n數(shù)值較小時(shí)，（2）的解法頗為實(shí)用.

由例3、例4、例5，可歸納出求系數(shù)最大項(xiàng)的方法：

1.當(dāng)二項(xiàng)式冪指數(shù)不是很大時(shí)，可由二項(xiàng)式定理一一展開(kāi)得到，此為列舉法；

2.可通過(guò)對(duì)題目的分析和推理，再通過(guò)作差或作商進(jìn)行比較得到，此為夾逼法；

3.當(dāng)冪指數(shù)較大時(shí)，宜采用列出不等式組的方法獲得，這是通法.

同學(xué)們有沒(méi)有思考過(guò)下面的問(wèn)題：當(dāng)所列不等式組無(wú)解時(shí)，難道二項(xiàng)展開(kāi)式中沒(méi)有系數(shù)最?。ù螅╉?xiàng)嗎？當(dāng)然不是，有限項(xiàng)中，肯定有最小（大）項(xiàng)。其實(shí)認(rèn)真想下就會(huì)明白：不等式組無(wú)解，這就意味著系數(shù)最小（大）項(xiàng)不在中間，也就是只可能在首尾取得。

我們?cè)谇蠼庥嘘P(guān)此類系數(shù)問(wèn)題時(shí)，既要弄清通項(xiàng)公式中二項(xiàng)式系數(shù)的上、下標(biāo)與各因式的次數(shù)及該項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系，又要正確區(qū)分二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)、項(xiàng)的系數(shù)、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)等概念的異同。在歸納中完善，在反思中提升，這樣同學(xué)們就一定能推開(kāi)一扇窗，看見(jiàn)滿園的春色！