千里之行 始于足下

蔣孝國(guó)

題記

合抱之木，生于毫末；

九層之臺(tái)，起于壘土；

千里之行，始于足下。

——老子

解答一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，都有一個(gè)起始，并繼續(xù)，最終結(jié)束于簡(jiǎn)單、合乎邏輯的步驟，只要有敏銳的目光，并以穩(wěn)健的步伐朝著明確的方向前進(jìn)，那么千里之行就將不需要走千千萬(wàn)萬(wàn)步，那么如何開(kāi)始，需要你的探索，“敢問(wèn)路在何方，路在腳下”，又如何繼續(xù)，需要你堅(jiān)持不懈，“路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索”，最后你需要將想法凝練、概括地表述出來(lái)。本文記述解決一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題的開(kāi)始、繼續(xù)及完成過(guò)程，我們可感受到復(fù)雜、艱難的問(wèn)題，通過(guò)不斷探索，可獲得優(yōu)美的解答。

一、“冰美人”出場(chǎng)

拿到本題，可能很多同學(xué)完全看不懂，或者不知道如何下手解決，該問(wèn)題有一定難度，出題人的意思可能一時(shí)看不出來(lái)，這真是一位“冷美人——理性美”，欣賞起來(lái)，要費(fèi)一番功夫。題目中指出{1，2，3，…，n}有2ⁿ個(gè)子集，同學(xué)們，你知道嗎？會(huì)證明嗎？我們先從有限集合子集的個(gè)數(shù)來(lái)開(kāi)始這次“千里之行”吧。

二、從有限集的子集個(gè)數(shù)談起

我們從最簡(jiǎn)單的情況開(kāi)始考慮，找出其一般的規(guī)律。

方法一：從特殊到一般

上述方法采用的是從特殊到一般，從特殊開(kāi)始，希望能找到一般性的“東西”，也就是將題日的本質(zhì)“暴露”出來(lái)，利用一般的規(guī)律再將問(wèn)題解決。希望同學(xué)們?cè)谧龈?jìng)賽題時(shí)，多從特殊性人手，試著找到自己的“解題道路”。

另外，我們也可以從元素的歸屬（是否在子集中）來(lái)考慮。

方法二：利用乘法原理

方法三：利用組合數(shù)

為加深對(duì)上述結(jié)論及過(guò)程的理解，“磨刀不誤砍柴工”，不急于去解救“冷美人”，先來(lái)試試手吧。例題后的變式，希望同學(xué)們能獨(dú)立給出解答，不要以為簡(jiǎn)單，“萬(wàn)丈高樓平地起”哦。

三、初試身手

解由題意知，集合P中必含有元素a，b，則P的個(gè)數(shù)就是集合{c，d，e}子集的個(gè)數(shù)，共8個(gè)。

四、搏擊長(zhǎng)空

初試身手后，我們對(duì)有限集合的子集個(gè)數(shù)，以及推導(dǎo)過(guò)程有所掌握，我們希望在下面的解題中能用到結(jié)論或者推導(dǎo)方法，或者上面的推導(dǎo)能給我們一些啟示、一點(diǎn)想法。下面我們來(lái)搏擊長(zhǎng)空，試著揭開(kāi)“冰美人”的面紗，欣賞“冰美人”的嚴(yán)肅美。

至此，我們完全揭開(kāi)“冰冷女王”的面紗，回味探究過(guò)程，總有一些東西讓我們激動(dòng)不已，無(wú)法釋?xiě)选?/p>

五、意猶未盡

同學(xué)們，如果你希望解題能力有所提高，你必須具備堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，充分多的解題，及時(shí)總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，切記“千里之行始于足下”，“不積跬步無(wú)以至千里”。數(shù)學(xué)的美是理性美，只有不停地思索才能欣賞其美，只有腳踏實(shí)地、永不言敗，你才能用智慧的火花溫暖“冰美人”的心，最終欣賞到“大美”。同學(xué)們，路就在腳下，邁開(kāi)你的腳步吧！