關于拋物線的一個性質及其應用

張俊

性質過拋物線y?=2px的對稱軸上一定點（a，O）的直線與此拋物線相交于兩點，則這兩點的縱坐標之積為定值-2pa。

在處理拋物線問題時靈活運用這一性質效果奇佳，我們一起來看一看。

一、證明三點共線

例1 如圖1，過拋物線y?=4x交點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過點B作x軸的平行線BC與拋物線的準線相交于點C，證明：A，0，C三點共線.

說明 可以證明更一般的結論：過點M（m，0）的直線AB與拋物線y?=2px（p>0）交于A，B兩點，過點B作x軸的平行線BC與直線l：x=-m相交于點C，則A，0，C三點共線.

二、證明直線的斜率為定值

例2 過拋物線y?=x上一點A（4，2）作傾斜角互補的兩條直線AB，AC，交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率為定值。

三、證明直線過定點

例3 過拋物線y?=2px的頂點O作相互垂直的弦OA，OB，與拋物線相交于另兩點A，B，證明直線AB過定點。

四、證明直線斜率的比值為定值

說明在例4條件不變的前提下，可以證明直線CD經過定點。