課堂實錄——對求橢圓離心率范圍問題的探究

劉華榮

橢圓的離心率問題為高考命題中的熱點內容，它重視橢圓幾何性質探索的同時還參人一些不太復雜的代數運算，多數屬于中檔題范疇。教學中我們發現很多同學對求離心率值的問題表現得游刃有余，但對求離心率的范圍問題卻望而生畏.本文在一道題的背景下探索了如何去尋找和建立基本量a，b，c的不等關系，希望能協助大家突破此處的瓶頸。

一、抽絲剝繭，課堂討論

師：此題是課本中一道習題的改編，求離心率的值只要尋找基本量a，b，c的等式，自然求離心率的范圍問題只要尋找基本量a，b，c的一組不等關系式即可。通過同學們對此題的思考和探討，相信在解法上已有很多不同的看法。

師：很不錯，比較簡單。此法是充分運用焦點三角形中邊與邊的關系，結合基本不等式尋找基本量a，b，c的不等關系.可以歸納為涉及橢圓焦點三角形的問題要充分挖掘解三角形、橢圓的定義（包括圓錐曲線的統一定義）及基本不等式的相關知識，尋找邊長與慕本量的相百關系。

師：大家回答得非常好，此法與生4的解法實質是一樣的，屬于填空題解法中常見的臨界法，解題較為方便。我們將此題加以推廣，應該也可以解決鈍角、銳角以及其他特殊角的問題，選擇動點運動的臨界位置有時能讓解題事半功倍。

二、取精用弘，小試牛刀

根據上面引例的分析，在眾多的解法中，臨界法在解題中效率甚高，我們可以小試身手。

三、得心應手，不忘本質

在用動點的特殊位置解題得心應手的同時，卻不可一味處處套用，更多的是要考慮到橢網本身蘊含的本質知識，如橢網的定義、橢網的焦半徑、焦點三角形中關聯的知識等。

四、靜心思考，總結心得

解決橢圓離心率的取值范圍問題時，要學會在題目中尋找基本量a，b，c之間的一組不等關系，而常見的橢圓（雙曲線）上存在一點滿足某條件去求離心率的范圍問題我們可以嘗試以下的思考途徑：

（3）焦點三角形中運用橢網的定義、余弦定理結合基本不等式尋找基本量的不等關系。

（4）結合題干中的幾何特性尋找動點運動的臨界位置。

以上的內容希望能助大家對橢網離心率范圍問題有系統的認識，能準確地分析題意并正確解答，掃清復習路上的障礙。