基于復(fù)利的基金投資數(shù)學(xué)模型構(gòu)建

沈慧 李雙東

摘要：按照最優(yōu)化原則，對(duì)基金投資規(guī)劃的問(wèn)題進(jìn)行了分析和處理，建立了通用的數(shù)學(xué)模型，對(duì)存款按復(fù)利計(jì)算和按購(gòu)買國(guó)庫(kù)券的兩種情形進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，探討了模型所反映的數(shù)據(jù)規(guī)律，根據(jù)基金的使用情況，分析利率的最優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：年利率；數(shù)學(xué)模型；最優(yōu)化庫(kù)券；復(fù)利；國(guó)庫(kù)券

1問(wèn)題的引入

對(duì)于一筆資金如何確定其投資方案是數(shù)學(xué)模型研究的熱點(diǎn)，眾多學(xué)者建立多種數(shù)學(xué)模型探討投資方案。在此我們針對(duì)這一模型研究以下問(wèn)題：某企業(yè)拿出[W]元基金，計(jì)劃若干年內(nèi)將其投資，每年固定時(shí)間用部分本息捐贈(zèng)給慈善基金會(huì)，所捐款額大致相同，若干年年末仍保留原有基金數(shù)額。本文考慮的投資方式若為存入銀行，而銀行存款按復(fù)利計(jì)算（注：銀行有自動(dòng)滾存業(yè)務(wù)到期后自動(dòng)滾存時(shí)是將本金和利息相加視同本金存入的，形成一種事實(shí)上的按年計(jì)算的復(fù)利形式）。投資方式除了存入銀行，還可用來(lái)購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。現(xiàn)在要求根據(jù)現(xiàn)有銀行存款及國(guó)庫(kù)券利率，分兩種情況設(shè)計(jì)基金的投資方案，使得每年的捐款盡量多，兩種方式主要有：①只存款不購(gòu)買國(guó)庫(kù)券；②可存款也可購(gòu)買國(guó)庫(kù)券。查得人民幣存款利率和國(guó)庫(kù)券利率如表1所示。

表1 2015年人民幣銀行存款年利率及國(guó)庫(kù)券年利率

[項(xiàng)目＼&活期＼&半年期＼&一年期＼&二年期＼&三年期＼&五年期＼&銀行存款年利率/%＼&0.35＼&2.55＼&2.75＼&3.25＼&3.75＼&4.00＼&國(guó)庫(kù)券年利率/%＼&＼&＼&＼&＼&4.92＼&5.32＼&]

2主要結(jié)論及證明

針對(duì)這一問(wèn)題的分析可知，解決這一問(wèn)題就是求解一定條件約束下的利益最大化問(wèn)題，將這一問(wèn)題化為多階段配置的線性規(guī)劃問(wèn)題。由于企業(yè)每年都要捐贈(zèng)一定數(shù)額的捐款，故需要以1年為單位進(jìn)行分階段處理。要求經(jīng)過(guò)若干年之后原有基金數(shù)額不變，這樣每年的捐款額即為基金的利息所得。由最優(yōu)化原則可知，使定期的捐款額盡量高也就是“使基金的投資收益損失額盡量低”。記：[W]為現(xiàn)有基金總額，[M]為每期的捐款額，[r1]為活期存款年利率，[r0]為半年定期存款年利率，[rj]為[j]年定期的存款年利率，[Rj]為[j]年期國(guó)庫(kù)券的年利率（[j>0]）。

2.1存款模型

為了建立模型，我們引入一些記號(hào)，第[t]個(gè)[5]年中，首年年初存款[j]年定期的金額記為[xtj]，第[t]個(gè)[5]年首年的可用金額記為[Wt]，其中[t，j]均為非負(fù)的整數(shù)，容易得到[W1=M]。

設(shè)[n=5t+N，1≤N≤5，t≥0]（[t，N]均為整數(shù)）。由利息損失最小原則，對(duì)前[t]個(gè)[5]年，在第[j]個(gè)[5]年（[0；五年期本息和部分作為第五年的捐款，剩余的本息自動(dòng)轉(zhuǎn)為下一個(gè)五年的初始資金。于是在前[t]個(gè)5年中，便可以得到如下[5t]個(gè)方程

[xj1+xj2+xj3+xj5=W1xj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[xj3（1+r3）3-M]（1+r1）=M[xj5（1+r5）5-M]=M]

其中，[1≤j≤t]。

對(duì)最后[N]年，分別做如下處理：

若[N=1]，一年期本息作為第[t+1]個(gè)[5]年首年捐款及歸還本金，即

[xt+1，2=xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1=Wt+1xt+1，1（1+r1）-M=W]

若[N=2]，則第[t+1]個(gè)[5]年的第一年捐款可由一年期本息支付，二年期本息除了用來(lái)支付第[t+1]個(gè)[5]年第二年捐款外，應(yīng)該還保有本金[W]，即

[xt+1，3=xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2-M=W]

若[N=3]，一，二期本息作為第[t+1]個(gè)[5]年第三年捐款及歸還本金[W]，即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=Mxt+1，3（1+r3）3-M=W]

若[N=4]，一、二年本息作為第[t+1]個(gè)[5]年首年、次年的捐款，三年本息作為第[t+1]個(gè)[5]年第三年捐款，余額存一年的定期，作為第[t+1]個(gè)[5]年第四年捐款及歸還本金[W]， 即

[xt+1，5=0xt+1，1+xt+1，2+xt+1，3=Wt+1xt+1，1（1+r1）=Mxt+1，2（1+r2）2=M[xt+1，3（1+r3）3-M]（1+r1）-M=W]

若[N=5]，令[Wt+2=W]，由第[t+1]個(gè)[5]年可得到[5]個(gè)方程。

綜上所述，總共得到[5（t+1）]個(gè)方程。

2.2存款和購(gòu)國(guó)庫(kù)券兼容模型

同樣地，在第[t]個(gè)年[6]年中，第一年年初[j]年定期的存款額記為[xtj]；第一年購(gòu)[j]年期國(guó)庫(kù)券的金額記為[Xtj]；第一年可用的投資金額記為[Wk]。設(shè)[n=6t]，由所獲利潤(rùn)最高原則可得

[xj1+xj2+xj3+xj5=Wjxj1（1+r1）=Mxj2（1+r2）2=M[Xj3（1+R3）3-M]（1+R1）=M[Xj5（1+R5）5-M]=Wj+1]

參考文獻(xiàn)：

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