捷聯慣性導航算法研究

邢晨++王潤濤

摘要：本文介紹了慣性導航系統基本原理，分析了慣性導航與其他導航方式的不同之處。分別闡述了平臺式慣性導航系統與捷聯式慣性導航系統的實現原理，并分析了各自特點。之后推導了捷聯式慣性導航系統中姿態、速度與位置的計算公式，描述了捷聯式慣性導航系統基本的數學實現方法。

關鍵字：導航；捷聯慣導；四元數；姿態矩陣；

中圖分類號：U463 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）06（b）-0000-00

1. 引言

導航就是通過一定的手段或措施指引運載體從某位置出發，延預定航線在規定時間內到達目的地，其中最關鍵的就是實時的獲取載體的姿態、速度和位置等運動參數。測定載體運動參數運動參數的方法有多種，例如光電碼盤測角度；測速電機測角速度；測速計測量相對速度；雷達、衛星和天文定位等技術用來測量載體位置。但上述技術都不能單獨的測量出載體的速度，角速度等信息。另外，慣性導航技術的最大特點是完全自主，在使用過程中慣導器件不需要接收任何外部信息源提供的信息，也不需要對外發射任何信息，因而慣性導航的工作不受任何外界干擾。慣性導航的這個特點使慣導技術在高度安全性（戰爭）和強烈干擾（惡劣氣候、深海環境）的場合具有任何其他導航技術都無法替代的重要作用。

2. 捷聯慣導基本原理

慣性導航是建立在牛頓力學定律基礎上的，在運載體內用加速度計測量運載體運動的加速度，對加速度進行積分，獲得運載體的速度和位置信息。圖1為慣性導航系統基本概念圖。

圖1

在慣導系統中放置一個穩定的平臺，將加速度計等慣性測量器件安裝在其中，用該平臺模擬當地水平面建立空間直角坐標系，通常三個坐標軸分別指向東向、北向、天向，坐標系稱為東北天坐標系。在載體運動過程中，利用陀螺儀測量相對旋轉角度，控制平臺始終跟蹤當地水平面，三個軸始終指向東北天方向，在這三個軸上安裝三個加速度計即可測出運載體沿東西方向的加速度、沿南北方向的加速度、沿天頂方向的加速度。由慣導基本方程算出運載體在東北天三個方向上的速度和相對位置。

慣性導航系統的另一種實現方式是捷聯式慣導系統，捷聯式慣導系統取消了固定平臺，系統中的慣性器件直接安裝在運載體（如飛行器、陸地機動車輛、水面艦船或水下潛艇）上，由數學算法取代了固定平臺，為實現與平臺上慣導系統相同的功能，導航計算機通過陀螺儀測量出的角速度與加速度計測量出的加速度計算出運載體的角度、速度及相對位置。因此捷聯式慣性導航系統不需要安裝復雜的高速回轉裝置，進而節約了安裝步驟及成本。

捷聯慣導系統中比力加速度矢量首先在一個“捷聯式傳感器坐標系”下通過捷聯加速度計測量出來，然后使用導航計算機軟件將其轉換到慣性坐標系，以便積分為載體的速度和位置。為了實現這個矢量轉換，導航計算機需要知道捷聯傳感器和慣性坐標系之間的角度方位，這一信息的獲取通過軟件積分陀螺儀測量出來的角速度和導航系統軟件給出的慣性坐標系角速度來實現。如圖二為捷聯式慣性導航系統的基本結構框圖。

圖二

3. 捷聯慣導算法

捷聯慣導系統的導航解算主要包括三部分：利用陀螺儀輸出的角度計算姿態矩陣，同時通過姿態矩陣中的元素提取姿態信息（即姿態解算）；利用姿態矩陣將加速度計輸出的加速度變換到導航坐標系下，通過計算得出速度信息（即速度解算）；利用得到的速度通過導航計算的出位置信息（即位置解算）

3.1姿態更新

捷聯慣導算法流程如圖三所示：

圖三

根據四元數的乘積鏈規則得四元數更新算法如下：

其中 表示 時刻機體坐標系到 時刻當地坐標系的四元數。 表示 時刻機體系到 時刻當地坐標系下的四元數。 表示 時刻機體系到 時刻機體系的四元數。 表示 時刻到當地坐標系到 時刻當地系的姿態變化四元數。

根據式子 可完成姿態四元數到姿態矩陣的轉換。

3.2速度更新

通常捷聯慣導系統中計算的速度是載體相對于地心坐標系的速度。由與速度微分方程在導航坐標系表示為 。其中 表示載體對于地球的速度在導航坐標系中的投影， 表示比力加速度， 表示載體所在位置的重力加速度在導航坐標系的投影， 表示平移角速度， 表示地球自轉角速率。

在速度的一個更新周期內，對上式進行積分可得當前時刻載體在導航坐標系下的速度 。

3.3位置更新

由于慣性器件的測量結果輸出是增量式的，所以速度和姿態只在其更新時間點上是有效的，所以位置解也只能是根據離散的速度、角速度、加速度求取。

導航坐標系選為地理坐標系后，相應的位置速率為

其中 、 、 分別為載體在東、北、天方向的速度分量； 、 分別為載體所在子午圈和卯酉圈曲率半徑； 、 為載體所在緯度和高度。

設位置跟新周期內位置速率 足夠小，即此時間段內載體速率近似不變，所以上一時刻至此時刻坐標系旋轉矢量為 。若得 則

又因為 時刻位置矩陣可由 得，式中 為上一時刻位置矩陣。可求得此時刻載體位置矩陣。由位置矩陣與載體所在經緯度關系即可得在地球上的相對位置。

4. 小結

本文分析介紹了捷聯式慣性導航系統的基本原理，并推導了捷聯慣導中姿態更新、速度更新、位置更新的計算步驟。但是導航系統的導航參數在實時更新過程中存在著不可避免的誤差，對于姿態計算的圓錐誤差，對于速度計算的劃船誤差，對于位置計算的渦卷誤差，如何避免這些誤差，從中提出真實數據才是導航算法研究的重點。本文只是明確捷聯慣導的基本計算流程，為誤差分析做好鋪墊。

參考文獻：

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