聽故事 賞概率

甘志國

庫珀教授的數學課

一天，美國斯坦福大學商學院的數學教授庫珀讓同學們把自己的生日寫在小紙片上，然后把所有的小紙片都折起來放在講臺上。他拿出一張5美元的鈔票放在講臺上，問：“我用5美元打賭，你們中至少有兩個人同月同日生.有人敢跟我賭嗎？”

“我賭！”三個男同學同時舉起手來.另外還有七八個同學也各掏出 5美元放在桌子上。

有的同學暗想：一年有365天，我們班只有50個同學，在同一天過生日的可能性也太小了，教授這不是白送別人錢嗎？

教授打開第一張紙，讀出上面寫的日期，馬上就有三個同學舉起手來表示那是他們的生日。打賭的同學嘟囔了幾句：“怎么會這么巧？”周圍的同學都大笑起來。

接著，教授用他那明晰的語言把同學們帶入了數學的王國：

“解決這個問題最好用反證法，即證明50個人中沒有兩個人在同一天過生日的概率非常小。

“為了簡便，我們可以假設一年為365天（即不考慮閏年的情形）。把365天看成365間房，現在要給50個人按照生日安排住房，必須保證沒有兩個人住在同一間房（即沒有兩人的生日在同一天）。對于第一個人來說，他正確選擇房間的概率是365/365，因為所有的房間都是空的，他都可以入住；第一個人入住后，第二個人正確選擇房間的概率是364/365，因為有一間房已經住了人，他只能住另外的364間中的一間；接下來的第三個人，正確選擇房間的概率就更小一些，是363/365，因為只剩下363間房可以住。

說完，教授扔下粉筆，得意洋洋地收繳他的戰利品——十幾張5美元的鈔票。

“各位，你們來商學院就是為了將來能夠賺大錢，概率就是商學院傳授給你們的一個制勝法寶。”

同學們哈哈大笑，這堂課的效果好極了。庫珀教授下課后，用贏來的錢請全班同學吃了頓快餐。

注1.讀者還可算出，在n（n=1，2，…，365）個人中至少有兩人在同一天過生日的概

3.我們在武俠言情小說中經常見到“兩人生日恰好相同，真是有緣……最終結為金蘭之好”這樣的描寫，其中的“生日相同”應不足為奇，“結為金蘭”的美好結局也是概率幫的忙。

能打開所有門的鑰匙

我的一個朋友在一所大學里當宿舍管理員，有一次聊天，她告訴我一件有趣的事情。

她管理的那個樓住著一群男生，每個宿舍四個人，每個人有一把該宿舍的鑰匙。這些學生很愛睡懶覺，總愛拖到快上課了才匆匆忙忙地起來刷牙洗臉，然后直奔教室。等到下課回來，一摸口袋，壞了，鑰匙忘在宿舍里了，于是只能等其他同學回來開門：四個人中總有一兩個人帶著鑰匙。可總有那么幾次，四個人全忘了帶鑰匙，于是全被堵在宿舍外了.沒辦法，只能來找宿舍管理員，也就是我的朋友，她保管著整個樓所有宿舍的備份鑰匙。

次數多了，朋友便覺得麻煩。她定了個規矩，每個宿舍每學期來找她要鑰匙的次數不得超過三次，超過三次者，自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的。

期末的時候，朋友把所有宿舍的情況做了一次統計，她發現了一個有趣的現象：5樓幾個連在一起的宿舍，501到506，居然一次也沒來麻煩她開過門！一次記錄也沒有的宿舍不是沒有，可現在有六個宿舍，而且還是連在一起的。這引起了朋友的興趣。

為了解開心里的疑團，朋友特地敲開了504的門，終于知道了他們的秘密。原來，他們每個宿舍都另外配了一把開自己宿舍門的新鑰匙，存放到下一個宿舍中，這么說吧，把六個宿舍和六把鑰匙分別編上號，他們的辦法就是：把鑰匙一存放到宿舍二，把鑰匙二存放到宿舍三，依此類推，最后把鑰匙六存放到宿舍一。這么一來，二十四個人中只要有一個人帶了鑰匙，那所有人都不會被堵在宿舍外：因為只要有一把鑰匙，就能先打開一道門，然后取得第二把鑰匙打開第二道門，就這樣，一直到打開所有的門。

聽到這里，我忍不住拿出筆來算了一下，假設每個學生忘記帶鑰匙的幾率是50%（實際上應該小于這個數字），那么會不會出現二十四個學生都不帶鑰匙的情況呢？理論上是可能的，由概率論可以算出，這個幾率應該是1/16777216——幾近于零！

我不禁佩服起這一群聰明的小伙子來。他們互相信任，彼此合作，一盤散沙，各自為戰時，每個人都有手忙腳亂的時候；而只有并肩站到一起，共同面對問題，才能挖掘出最大的潛能，這時候，問題往往變得不堪一擊，因為這時候，每個人手里都多了一把鑰匙，一把能打開所有門的鑰匙。

閱讀完上面的文字后，我們還可解答下面的三個小問題（假設每個學生忘記帶鑰匙的概率是50%）：

（1）同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙的概率是多少？

（2）同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙達到四次（自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的）的概率是多少？

（3）采取上文中的防范措施后，同一宿舍的四個人都忘記帶鑰匙達到四次（自己找工具把鎖撬開，然后再掏錢買把新的鑰匙）的概率是多少？

概率幫了盟軍

1943年，正值第二次世界大戰.在此之前，在大西洋上的英、美運輸船隊常常受到德國潛艇的襲擊.當時，英、美兩國限于實力，無力增派更多的護航艦，一時間，德軍的“潛艇戰”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國海軍將領專門去請教了幾位數學家，數學家們運用概率論分析后發現，艦隊與德軍潛艇相遇是一個隨機事件。按數學角度來看這一問題，有一定的規律，一定數量的船只（如100艘）編隊規模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。美國海軍接受了數學家的建議，命令船隊在指定海域集合，再集體通過危險海域，然后各自駛向自己預定的港口，結果奇跡出現了：盟軍艦隊遭襲被擊沉的概率由原來的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了物資的及時供應。